四川省绵阳市游仙区2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·游仙开学考）在实数中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八上·游仙开学考）要调查下列两个问题：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯．这两个问题分别采用什么调查方式更合适（ ）
A．全面调查，全面调查 B．抽样调查，抽样调查
C．抽样调查，全面调查 D．全面调查，抽样调查
3．（2024八上·游仙开学考）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·游仙开学考）如图，点E在延长线上，下列条件：①，②，③，④，不能判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八上·游仙开学考）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
6．（2024八上·游仙开学考）点到x轴的距离是（ ）
A．4 B．7 C．5 D．11
7．（2024八上·游仙开学考）如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
8．（2024八上·游仙开学考）如图，在中，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，记旋转角为，为，当旋转后满足时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·游仙开学考）五四青年节临近，小强在准备爱心捐助义卖活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5％，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）．
A．8折 B．7折 C．85折 D．75折
10．（2024八上·游仙开学考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2024八上·游仙开学考）关于 的不等式组 有且只有三个整数解， 则 的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2024八上·游仙开学考）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八上·游仙开学考）已知，，且，则
14．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
15．（2024八上·游仙开学考）要了解七年级学生的身体发育情况，量得60名男生的身高，绘制成频数分布直方图，从左至右的5个小长方形的高度比为，则第5个小组的频数为 ．
16．（2024八上·游仙开学考）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
17．（2024八上·游仙开学考）某初中举行知识抢答赛，总共20道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于50分，那么小刚至少要答对 道题．
18．（2024八上·游仙开学考）如图，在△ABC中，A，B两点的坐标分别为A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），则△ABC的面积是 .
19．（2024八上·游仙开学考）计算
20．（2024八上·游仙开学考）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
21．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（a，a﹣1），点C到x轴的距离是到y轴距离的．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标： ．
22．（2024八上·游仙开学考）疫情期间我市为加强学生的安全防护意识．组织了全市学生参加防护知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
组别 成绩x/分 频数
甲组 10
乙组 a
丙组 14
丁组 8
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中 ；组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
23．（2024八上·游仙开学考）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元．
（1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元，请问有哪几种购买方案
24．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：为分数，属于有理数；
为有限小数，属于有理数，
开方开不尽的数，属于无理数；
为整数，属于有理数；
为整数，属于有理数，
故属于无理数的只有：，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义找出无理数即可。
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多适合采用全面调查，（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯适合采用抽样调查，
故答案为：D
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义结合题意进行判断即可求解。
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：因为数轴上1处为空心点，线的方向向左，
所以该数轴表示的不等式的解集为．
故答案为：B．
【分析】根据“，要用实心圆点表示；，要用空心圆点表示”求解．
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，∴AC//BD，不能得到AB//CD，故①错误；，∴ （内错角相等，两直线平行），故②正确；，∴ （内错角相等，两直线平行），故③正确；，∴（同旁内角互补，两直线平行），故④正确.
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定方法，逐一推理，再作出判断．
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，∴ac＜bc，∴c＜0．
故选：B．
【分析】不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点的纵坐标为7，
点到轴的距离为|7|=7．
故答案为：B．
【分析】根据点P的纵坐标，求出点P到x轴的距离．
7．【答案】A
【知识点】探索规律-数阵类规律
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵以点为旋转中心，把顺时针旋转得， 旋转角为，
∴AB＝AC，∠BAC＝，
∴∠ACB＝（180° ），
∵为，
∴∠BAO＝90° ，
∴∠OAC=∠BAC+∠BAO=＋（90° ）
∵BC∥OA，
∴∠ACB＋∠OAC＝180°，
∴（180° ）＋＋（90° ）＝180°，
解得.
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AC，∠BAC＝，从而可根据等腰三角形的性质用表示出∠ACB，再用表示出∠BAO，接着利用平行线的性质，得到关于与的关系式，化简即可．
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
可列不等式：90×-60≥60×5%，
解得：x≥7．
所以该书包最多可以打7.
故选B．
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润=售价-成本，结合利润率不低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解不等式并取最小值．
10．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
11．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得x>1；
解不等式，得x
所以不等式的解集为1因为关于 的不等式组 有且只有三个整数解，
所以这三个整数解为2，3，4，
所以a ≤5，即的最大值是5.
故答案为：C.
【分析】先分别求出两个不等的解，得到不等式的解集，再根据不等式组只有三个整数解结合解集，得到这三个整数，由此可得到a的范围，再求a的最值.
12．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∵，
∴，解得.
故选：C．
【分析】先利用直角三角尺中的角求出∠1，再利用平行线的性质，求出，再根据平角的意义求出∠2的度数．
13．【答案】3
【知识点】二次根式的定义；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据已知确定x，y的值，再代入求值．
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
15．【答案】
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵量得60名男生的身高，绘制成频数分布直方图，从左至右的5个小长方形的高度比为，
∴第五个小组的频数为：．
故答案为：．
【分析】根据5个小长方形的高度比及总数，列出第五个小组的频数的算式计算出结果．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∵，
，
∵，，
∴，解得，
，
，
故答案：．
【分析】先利用平行线的性质，求出∠POB，再利用角的和差求出∠AOP，再根据平行线的性质求出∠OAC．
17．【答案】18
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小军答对x道题，
可列出一元一次不等式：，
解得：，
为正整数，
的最小正整数是18，
∴小军至少要答对18道题.
故答案为：．
【分析】设小军答对x道题，根据“总共20道抢答题，抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，使最后得分不少于50分”，列出一元一次不等式，解这个不等式，并求出最小值．
18．【答案】5
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），
∴△ABC的面积=3×4-×4×2-×3×1-×1×3=5．
故答案为：5.
【分析】用大长方形的面积减去周围3个直角三角形面积求解．
19．【答案】解：
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
20．【答案】（1），
由①，得，
把代入②，得
，
解得，
把代入，得
，
方程组的解为；
（2），
，得10x+4y=8③，
③-②，得，解得，
把代入②，得，解得．
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1），
由①得③，
把③代入②，得
，
解得，
，
方程组的解为；
（2），
，得
，
解得，
把代入②，得
，
解得．
方程组的解为．
21．【答案】（1）∵点C到x轴的距离是到y轴距离的，C（a，a﹣1），
∴a﹣1＝a，解得a＝4，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E.
则∠CEO=∠CDO=90°，
又∠EOD=90°，
∴四边形DCEO为矩形，
∴S△ABC＝S矩形DCEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3
＝4；
（3）（10，0）或（﹣6，0）
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（x，0），
则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣2|＝4，
解得：x＝10或x＝﹣6，
∴点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0），
故答案为：（10，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）根据“点C到x轴的距离是到y轴距离的”，列出关于a的方程求出a，再写出点C的坐标；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，先证明四边形DCEO为矩形，再根据S△ABC＝S矩形DCEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解．
（3）设点P的坐标为（x，0），可用x表示出BP，根据“△ABP与△ABC的面积相等”，列出关于x的方程求出x，再写出点P的坐标．
22．【答案】（1）40，8，10
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）∵甲组的频数为10，总数为40，
∴扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：；
（4）∵所抽取学生成绩为“优”的频数为14+8=22，
∴所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵丙组的频数为14，占35%，∴一共抽取的参赛学生有：（人），
∵甲组的频数为10，丁组的频数为8，
∴ 乙组的频数为，
∵甲组的成绩的范围是，
∴组距是；
【分析】（1）先根据丙组的人数与所占的百分比求出总人数，再用总去减去甲、丙、丁三组的人数求出乙组的人数a，然后根据组距的概念求解；
（2）根据频数分布表补全频数分布直方图；
（3）根据甲组的频数与总数，求出“甲”对应的圆心角度数；
（4）先求出所抽取学生成绩为“优”的人数除以总人数，再乘以100%求出优秀率．
（1）一共抽取的参赛学生有：（人），
，
组距是；
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：；
（4）所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是．
23．【答案】（1）设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买一本笔记本需15元，购买一个夹子需5元．
（2）设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，由题意得，
，
解得38≤a≤40．
∴有三种购买方案：①购买38个笔记本，购买82个夹子；
②购买39个笔记本，购买81个夹子；
③购买40个笔记本，购买80个夹子．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，根据题中两个等量关系列出二元一次方程组求解；
（2）设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，根据题中不等量关系，列出一元一次不等式组，并求出不等式组的整数解，再写出购买方案．
（1）解：设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买一本笔记本需15元，购买一个夹子需5元．
（2）解：设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，由题意得，
，
解得38≤a≤40．
∴有三种购买方案：①购买38个笔记本，购买82个夹子；
②购买39个笔记本，购买81个夹子；
③购买40个笔记本，购买80个夹子．
24．【答案】解：（1）；理由如下，
如下图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
，
∴.
；
（2）；
（3）由（2）得，，
.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（2）关系：
如图，过点M作MG∥AB交PN于点G
同理可得∠PMN=∠AEM+∠MOC
∵∠PFC=∠FON+∠FNO
∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°
∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°
化简得：∠PFD－∠AEM=90°.
故答案为：；
【分析】（1）先用平行线的性质分别说明再根据得出结论；
（2）∠PFD和∠PFO互补，将∠PFO转化为∠FON和∠FNO，结合（1）的结论可证明结论成立；
（3）利用（2）的结论，代入计算可得结果.
1 / 1四川省绵阳市游仙区2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·游仙开学考）在实数中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：为分数，属于有理数；
为有限小数，属于有理数，
开方开不尽的数，属于无理数；
为整数，属于有理数；
为整数，属于有理数，
故属于无理数的只有：，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义找出无理数即可。
2．（2024八上·游仙开学考）要调查下列两个问题：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯．这两个问题分别采用什么调查方式更合适（ ）
A．全面调查，全面调查 B．抽样调查，抽样调查
C．抽样调查，全面调查 D．全面调查，抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多适合采用全面调查，（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯适合采用抽样调查，
故答案为：D
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义结合题意进行判断即可求解。
3．（2024八上·游仙开学考）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：因为数轴上1处为空心点，线的方向向左，
所以该数轴表示的不等式的解集为．
故答案为：B．
【分析】根据“，要用实心圆点表示；，要用空心圆点表示”求解．
4．（2024八上·游仙开学考）如图，点E在延长线上，下列条件：①，②，③，④，不能判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，∴AC//BD，不能得到AB//CD，故①错误；，∴ （内错角相等，两直线平行），故②正确；，∴ （内错角相等，两直线平行），故③正确；，∴（同旁内角互补，两直线平行），故④正确.
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定方法，逐一推理，再作出判断．
5．（2024八上·游仙开学考）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，∴ac＜bc，∴c＜0．
故选：B．
【分析】不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（2024八上·游仙开学考）点到x轴的距离是（ ）
A．4 B．7 C．5 D．11
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点的纵坐标为7，
点到轴的距离为|7|=7．
故答案为：B．
【分析】根据点P的纵坐标，求出点P到x轴的距离．
7．（2024八上·游仙开学考）如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】探索规律-数阵类规律
8．（2024八上·游仙开学考）如图，在中，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，记旋转角为，为，当旋转后满足时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵以点为旋转中心，把顺时针旋转得， 旋转角为，
∴AB＝AC，∠BAC＝，
∴∠ACB＝（180° ），
∵为，
∴∠BAO＝90° ，
∴∠OAC=∠BAC+∠BAO=＋（90° ）
∵BC∥OA，
∴∠ACB＋∠OAC＝180°，
∴（180° ）＋＋（90° ）＝180°，
解得.
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AC，∠BAC＝，从而可根据等腰三角形的性质用表示出∠ACB，再用表示出∠BAO，接着利用平行线的性质，得到关于与的关系式，化简即可．
9．（2024八上·游仙开学考）五四青年节临近，小强在准备爱心捐助义卖活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5％，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）．
A．8折 B．7折 C．85折 D．75折
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
可列不等式：90×-60≥60×5%，
解得：x≥7．
所以该书包最多可以打7.
故选B．
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润=售价-成本，结合利润率不低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解不等式并取最小值．
10．（2024八上·游仙开学考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
11．（2024八上·游仙开学考）关于 的不等式组 有且只有三个整数解， 则 的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得x>1；
解不等式，得x所以不等式的解集为1因为关于 的不等式组 有且只有三个整数解，
所以这三个整数解为2，3，4，
所以a ≤5，即的最大值是5.
故答案为：C.
【分析】先分别求出两个不等的解，得到不等式的解集，再根据不等式组只有三个整数解结合解集，得到这三个整数，由此可得到a的范围，再求a的最值.
12．（2024八上·游仙开学考）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∵，
∴，解得.
故选：C．
【分析】先利用直角三角尺中的角求出∠1，再利用平行线的性质，求出，再根据平角的意义求出∠2的度数．
13．（2024八上·游仙开学考）已知，，且，则
【答案】3
【知识点】二次根式的定义；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据已知确定x，y的值，再代入求值．
14．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
15．（2024八上·游仙开学考）要了解七年级学生的身体发育情况，量得60名男生的身高，绘制成频数分布直方图，从左至右的5个小长方形的高度比为，则第5个小组的频数为 ．
【答案】
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵量得60名男生的身高，绘制成频数分布直方图，从左至右的5个小长方形的高度比为，
∴第五个小组的频数为：．
故答案为：．
【分析】根据5个小长方形的高度比及总数，列出第五个小组的频数的算式计算出结果．
16．（2024八上·游仙开学考）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∵，
，
∵，，
∴，解得，
，
，
故答案：．
【分析】先利用平行线的性质，求出∠POB，再利用角的和差求出∠AOP，再根据平行线的性质求出∠OAC．
17．（2024八上·游仙开学考）某初中举行知识抢答赛，总共20道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于50分，那么小刚至少要答对 道题．
【答案】18
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小军答对x道题，
可列出一元一次不等式：，
解得：，
为正整数，
的最小正整数是18，
∴小军至少要答对18道题.
故答案为：．
【分析】设小军答对x道题，根据“总共20道抢答题，抢答对1题得3分，抢答错或不抢答1题扣1分，使最后得分不少于50分”，列出一元一次不等式，解这个不等式，并求出最小值．
18．（2024八上·游仙开学考）如图，在△ABC中，A，B两点的坐标分别为A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），则△ABC的面积是 .
【答案】5
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），
∴△ABC的面积=3×4-×4×2-×3×1-×1×3=5．
故答案为：5.
【分析】用大长方形的面积减去周围3个直角三角形面积求解．
19．（2024八上·游仙开学考）计算
【答案】解：
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
20．（2024八上·游仙开学考）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【答案】（1），
由①，得，
把代入②，得
，
解得，
把代入，得
，
方程组的解为；
（2），
，得10x+4y=8③，
③-②，得，解得，
把代入②，得，解得．
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1），
由①得③，
把③代入②，得
，
解得，
，
方程组的解为；
（2），
，得
，
解得，
把代入②，得
，
解得．
方程组的解为．
21．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（a，a﹣1），点C到x轴的距离是到y轴距离的．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标： ．
【答案】（1）∵点C到x轴的距离是到y轴距离的，C（a，a﹣1），
∴a﹣1＝a，解得a＝4，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）如图，过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E.
则∠CEO=∠CDO=90°，
又∠EOD=90°，
∴四边形DCEO为矩形，
∴S△ABC＝S矩形DCEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3
＝4；
（3）（10，0）或（﹣6，0）
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（x，0），
则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣2|＝4，
解得：x＝10或x＝﹣6，
∴点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0），
故答案为：（10，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）根据“点C到x轴的距离是到y轴距离的”，列出关于a的方程求出a，再写出点C的坐标；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，先证明四边形DCEO为矩形，再根据S△ABC＝S矩形DCEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解．
（3）设点P的坐标为（x，0），可用x表示出BP，根据“△ABP与△ABC的面积相等”，列出关于x的方程求出x，再写出点P的坐标．
22．（2024八上·游仙开学考）疫情期间我市为加强学生的安全防护意识．组织了全市学生参加防护知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
组别 成绩x/分 频数
甲组 10
乙组 a
丙组 14
丁组 8
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中 ；组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
【答案】（1）40，8，10
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）∵甲组的频数为10，总数为40，
∴扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：；
（4）∵所抽取学生成绩为“优”的频数为14+8=22，
∴所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵丙组的频数为14，占35%，∴一共抽取的参赛学生有：（人），
∵甲组的频数为10，丁组的频数为8，
∴ 乙组的频数为，
∵甲组的成绩的范围是，
∴组距是；
【分析】（1）先根据丙组的人数与所占的百分比求出总人数，再用总去减去甲、丙、丁三组的人数求出乙组的人数a，然后根据组距的概念求解；
（2）根据频数分布表补全频数分布直方图；
（3）根据甲组的频数与总数，求出“甲”对应的圆心角度数；
（4）先求出所抽取学生成绩为“优”的人数除以总人数，再乘以100%求出优秀率．
（1）一共抽取的参赛学生有：（人），
，
组距是；
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：；
（4）所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是．
23．（2024八上·游仙开学考）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元．
（1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元，请问有哪几种购买方案
【答案】（1）设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买一本笔记本需15元，购买一个夹子需5元．
（2）设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，由题意得，
，
解得38≤a≤40．
∴有三种购买方案：①购买38个笔记本，购买82个夹子；
②购买39个笔记本，购买81个夹子；
③购买40个笔记本，购买80个夹子．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，根据题中两个等量关系列出二元一次方程组求解；
（2）设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，根据题中不等量关系，列出一元一次不等式组，并求出不等式组的整数解，再写出购买方案．
（1）解：设购买一本笔记本x元，购买一个夹子需y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买一本笔记本需15元，购买一个夹子需5元．
（2）解：设购买了a个笔记本，购买了（120-a）个夹子，由题意得，
，
解得38≤a≤40．
∴有三种购买方案：①购买38个笔记本，购买82个夹子；
②购买39个笔记本，购买81个夹子；
③购买40个笔记本，购买80个夹子．
24．（2024八上·游仙开学考）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
【答案】解：（1）；理由如下，
如下图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
，
∴.
；
（2）；
（3）由（2）得，，
.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（2）关系：
如图，过点M作MG∥AB交PN于点G
同理可得∠PMN=∠AEM+∠MOC
∵∠PFC=∠FON+∠FNO
∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°
∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°
化简得：∠PFD－∠AEM=90°.
故答案为：；
【分析】（1）先用平行线的性质分别说明再根据得出结论；
（2）∠PFD和∠PFO互补，将∠PFO转化为∠FON和∠FNO，结合（1）的结论可证明结论成立；
（3）利用（2）的结论，代入计算可得结果.
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