广东省深圳市南山为明学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南山开学考）若分式 有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·南山开学考）年月日时分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·南山开学考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·南山开学考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·南山开学考）给出下列判断，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形
6．（2024九上·南山开学考）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
8．（2024九上·南山开学考）在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·南山开学考）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
10．（2024九上·南山开学考）已知一元二次方程的两根分别为，，则 ．
11．（2024九上·南山开学考）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
12．（2024九上·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为 ．
13．（2024九上·南山开学考）如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ．
14．（2024九上·南山开学考）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．（2024九上·南山开学考）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：
16．（2024九上·南山开学考）已知 ．
（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形．
17．（2024九上·南山开学考）某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次．
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？
18．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
19．（2024九上·南山开学考）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，D点为伞圈．伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且三点共线．测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小田站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ▲，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
20．（2024九上·南山开学考）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角．
（1）【特例分析】
如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为 度．
（2）【类比分析】
如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
（3）【延伸应用】
在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，它是中心对称图形，故符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用中心对称图形的定义，判断四个图形是否是中心对称图形．
3．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：是因式分解，故A正确；
，右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故B错误；
是整式的乘法，不是因式分解，故C错误；
是整式的乘法，不是因式分解，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的概念求解.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项可得：，配方得：，整理可得：，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法中的配方法，完全平方公式，按照移项，利用完全平方公式配方，整理得到结果的步骤进行解题即可.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的四边形不一定是矩形，故A错误；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故B错误；
有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故C正确；
一组对边平行，另一组对边相等四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定，依次判别再作判断.
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得， ．
故答案为：C．
【分析】本题已知路程，还知道汽车和自行车两者之间的速度关系，所以让时间相等，即可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，时，有最小值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴有最小值，
故答案为：．
【分析】先求出BG，再说明当点三点共线，时，有最小值，然后利用勾股定理求得AG即为最小值．
9．【答案】
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：∵不等式（m为常数，且）的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据“不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，转化为关于字母参数的不等式求解．
10．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程的两根分别为，，
∴
故答案为：-3.
【分析】根据韦达定理求解.
11．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
解得：，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出方程的解，再根据方程有增根，得到关于字母参数的方程求解．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，过作轴于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过作轴于点，先根据一组邻边相等的四边形是菱形，证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得，，利用30度角的直角三角形的性质求得OD，再用勾股定理求得DF，就可得到F点的坐标．
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作于点F，连，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【分析】先求出，可说明，再利用等腰直角三角形的性质求得DF，再说明，利用勾股定理求得EF，再根据BE=BF+EF，求得BE．
14．【答案】解：解不等式，得；
解不等式，得.
所以不等式组的解集为.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后把它画在数轴上.
15．【答案】（1）解：
=
=
=
=
当时，
原式=
（2）解：将方程左边分解因式，得（x-4）（x+2）=0，
所以x-4=0或x+2=0，
解得x1=4，x2=-2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先将分式化简，再代入求值；
（2）利用因式分解法求解.
16．【答案】（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵D，E是，的中点，
∴，，
∴DF=BE，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交点就是所求作的点；
（2）通过证明四边形BEDF有一组对边平行且相等，来证明四边形BEDF是平行四边形．
（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，，
又∵D，E是，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
17．【答案】（1）解：设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，
则可列方程为1000（1+x)2=1690，
解得x1=-2.3(舍去)，x2=0.3.
答：2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为0.3.
（2）(2)设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
(a-6)[300+30(25-a)]=6300，
解得a1=20，a2=21(舍去)，
答：当每碗售价定为20元时，店家能实现每天盈利6300元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，根据“2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次”列出方程求解；
（2）设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，根据“ 若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗 ”列出方程求解，解根据“ 规定每碗售价不得超过20元 ”要求取舍.
18．【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°，
∴BD=AC.
∵AG//BD，
∵FG=BD ，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵点D是AC的中点，
∴DF=AC.
∴BD=DF.
（2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形；
（3）解：设GF=x，
∵ AG=13，
∴AF=13-x，
∵四边形BDFG为菱形
∴FD=GF=x，
∴AC=2FD=2x，
∵CF2+ AF2=AC2，CF=6，
∴62+(13-x)2=(2x)2，
解得x=5.
∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF.
（2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理；
（3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长.
19．【答案】解：任务1：∵AB=AC，AE=EB.AF=FC，
∴2AE=2AF，
∴AE=AF，
在ΔAED和ΔAFD中，
，
∴ΔAED≌△AFD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AP是∠BAC的角平分线.
任务2：如图：过点E作EQ⊥AP于点Q，
∵∠BAC=120°，∠BAD=∠CAD
∴∠DAE=60°，
∵∠AEQ+∠DAE=90°，
∴∠AEQ+60°=90°，
解得∠AEQ=30°，
∵AE=30cm，
∴AQ=AE=15cm，
∴EQ=（cm）.
∵图2中，AE=30cm，=59cm，
∴=ED=59-30=29(cm）.
∴DQ=（cm）.
∴AD=AQ+QD=15+（cm）.
∴(cm).
即伞圈D移动的距离为31.1cm.
任务3：72
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：任务3：如图：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，
∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°.
∵AB=60cm，
∴AO=AB=15(cm).
∴BO=(cm).
∴NG=BO=30(cm).
∵∠N=90°，∠BMN=60°，
∴∠NBM=30°，
∴BM=2MN.
∵，
∴，解得MN=54（cm).
∴MG=MN-NG=24（cm).
∵∠QGM=90°，∠GQM=30°，
∴QM=2MG，
∴QG=MG=24×=72（cm).
【分析】任务1：先说明AE=AF，再利用SSS证明ΔAED≌△AFD，根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，从而可得结果成立；
任务2：过点E作EQ⊥AP于点Q，先求出∠DAE，再求出∠AEQ，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得AQ，再用勾股定理求得EQ，再在图2中求得，然后利用勾股定理求得DQ，就可求得AD，与求得结果；
任务3：多次利用30度角的直角三角形的性质求解，求得BO，再在Rt三角形BMN中求得MN，再在Rt三角形GMQ中求得QG.
20．【答案】（1）30；70
（2）如图， ∵和所在直线互相垂直，
∴∠G=90°.
∵是等边三角形，，
∴是等边三角形，∠BAC=60°.
∴∠DAE=60°.
∵将绕点A逆时针旋转，
∴∠ADG=∠EAC=，
∴∠DAC=∠EAC+∠DAE=60°+.
∵在四边形DAGC中，∠DAC+∠ADG+∠G+∠ACG=360°，
∴60°++60°+90°+∠ACG=360°，解得∠ACG=90°，
∴AE2+AC2=EC2.
（3）如图.
当DE在直线AC的上方时，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=4，
∴AC=AB=4，∠EAD=60°.
∵ 将绕点A逆时针旋转 ，和所在直线互相垂直 ，
∴∠EAC=90°，
∵∠DAH+∠DAE+∠EAC=180°，
∴∠DAH+60°+90°=180°，解得∠DAH=30°，
∵，
∴DG=AD=.
∴AH=.
∴CH=AC+AH=7.
∴CD=.
当DE在直线AC下方时，
过点D作DHAC于点H，ED延长线交BC的延长线于点G.
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADE+∠ADG=180°，
∴∠B+∠ADG=180°，
∴∠DAB+∠G=180°，
∵∠G=90°，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=60°
∴∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∴DH=AD=，
∴AH=
∴CH=AC-AH=4-3=1，
∴CD=
综上所述，CD的长为2或2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）如图.
∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到ΔADE，BC与DE是对应边，
∴∠FME=30°.
∴线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为30度，
故答案为30；
∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到ΔADE，
∴∠EAC=110°，∠DAE=∠C=∠D=60°，
∴∠DAC=∠DAE+∠EAC=170°，
∵∠DAC+∠C+∠D+∠DMC=360°，
∴170°+60°+60°+∠DMC=360°，解得∠DMC=70°，
∴线段与线段所在直线的夹角度数为70°.
故答案为70；
【分析】（1）图1，根据旋转的意义，利用对应边的夹角就是旋转角说明；
图2 ，利用四边形的内角和这360°，得到关于待求角的方程求解；
（2）先用表示出∠DAC，再利用四边形内角和求解得∠ACG，就可说明三线段的关系；
（3）分“DE在直线AC的上方”和“DE在直线AC下方”两种情况，计算后得出结论.
1 / 1广东省深圳市南山为明学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南山开学考）若分式 有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解．
2．（2024九上·南山开学考）年月日时分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，它是中心对称图形，故符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，它不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用中心对称图形的定义，判断四个图形是否是中心对称图形．
3．（2024九上·南山开学考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：是因式分解，故A正确；
，右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故B错误；
是整式的乘法，不是因式分解，故C错误；
是整式的乘法，不是因式分解，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的概念求解.
4．（2024九上·南山开学考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项可得：，配方得：，整理可得：，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法中的配方法，完全平方公式，按照移项，利用完全平方公式配方，整理得到结果的步骤进行解题即可.
5．（2024九上·南山开学考）给出下列判断，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的四边形不一定是矩形，故A错误；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故B错误；
有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故C正确；
一组对边平行，另一组对边相等四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定，依次判别再作判断.
6．（2024九上·南山开学考）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得， ．
故答案为：C．
【分析】本题已知路程，还知道汽车和自行车两者之间的速度关系，所以让时间相等，即可列出方程.
7．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
8．（2024九上·南山开学考）在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，时，有最小值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴有最小值，
故答案为：．
【分析】先求出BG，再说明当点三点共线，时，有最小值，然后利用勾股定理求得AG即为最小值．
9．（2024九上·南山开学考）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：∵不等式（m为常数，且）的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据“不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，转化为关于字母参数的不等式求解．
10．（2024九上·南山开学考）已知一元二次方程的两根分别为，，则 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程的两根分别为，，
∴
故答案为：-3.
【分析】根据韦达定理求解.
11．（2024九上·南山开学考）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
解得：，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出方程的解，再根据方程有增根，得到关于字母参数的方程求解．
12．（2024九上·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，过作轴于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过作轴于点，先根据一组邻边相等的四边形是菱形，证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得，，利用30度角的直角三角形的性质求得OD，再用勾股定理求得DF，就可得到F点的坐标．
13．（2024九上·南山开学考）如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作于点F，连，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【分析】先求出，可说明，再利用等腰直角三角形的性质求得DF，再说明，利用勾股定理求得EF，再根据BE=BF+EF，求得BE．
14．（2024九上·南山开学考）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式，得；
解不等式，得.
所以不等式组的解集为.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后把它画在数轴上.
15．（2024九上·南山开学考）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：
【答案】（1）解：
=
=
=
=
当时，
原式=
（2）解：将方程左边分解因式，得（x-4）（x+2）=0，
所以x-4=0或x+2=0，
解得x1=4，x2=-2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先将分式化简，再代入求值；
（2）利用因式分解法求解.
16．（2024九上·南山开学考）已知 ．
（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵D，E是，的中点，
∴，，
∴DF=BE，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交点就是所求作的点；
（2）通过证明四边形BEDF有一组对边平行且相等，来证明四边形BEDF是平行四边形．
（1）解：点D即为所作；
（2）证明：∵，
∴，，
又∵D，E是，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
17．（2024九上·南山开学考）某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次．
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？
【答案】（1）解：设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，
则可列方程为1000（1+x)2=1690，
解得x1=-2.3(舍去)，x2=0.3.
答：2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为0.3.
（2）(2)设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
(a-6)[300+30(25-a)]=6300，
解得a1=20，a2=21(舍去)，
答：当每碗售价定为20元时，店家能实现每天盈利6300元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为x，根据“2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次”列出方程求解；
（2）设每碗售价定为a元，店家才能实现每天利润6300元，根据“ 若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗 ”列出方程求解，解根据“ 规定每碗售价不得超过20元 ”要求取舍.
18．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°，
∴BD=AC.
∵AG//BD，
∵FG=BD ，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵点D是AC的中点，
∴DF=AC.
∴BD=DF.
（2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形；
（3）解：设GF=x，
∵ AG=13，
∴AF=13-x，
∵四边形BDFG为菱形
∴FD=GF=x，
∴AC=2FD=2x，
∵CF2+ AF2=AC2，CF=6，
∴62+(13-x)2=(2x)2，
解得x=5.
∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF.
（2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理；
（3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长.
19．（2024九上·南山开学考）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，D点为伞圈．伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且三点共线．测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小田站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ▲，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
【答案】解：任务1：∵AB=AC，AE=EB.AF=FC，
∴2AE=2AF，
∴AE=AF，
在ΔAED和ΔAFD中，
，
∴ΔAED≌△AFD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AP是∠BAC的角平分线.
任务2：如图：过点E作EQ⊥AP于点Q，
∵∠BAC=120°，∠BAD=∠CAD
∴∠DAE=60°，
∵∠AEQ+∠DAE=90°，
∴∠AEQ+60°=90°，
解得∠AEQ=30°，
∵AE=30cm，
∴AQ=AE=15cm，
∴EQ=（cm）.
∵图2中，AE=30cm，=59cm，
∴=ED=59-30=29(cm）.
∴DQ=（cm）.
∴AD=AQ+QD=15+（cm）.
∴(cm).
即伞圈D移动的距离为31.1cm.
任务3：72
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：任务3：如图：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，
∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°.
∵AB=60cm，
∴AO=AB=15(cm).
∴BO=(cm).
∴NG=BO=30(cm).
∵∠N=90°，∠BMN=60°，
∴∠NBM=30°，
∴BM=2MN.
∵，
∴，解得MN=54（cm).
∴MG=MN-NG=24（cm).
∵∠QGM=90°，∠GQM=30°，
∴QM=2MG，
∴QG=MG=24×=72（cm).
【分析】任务1：先说明AE=AF，再利用SSS证明ΔAED≌△AFD，根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，从而可得结果成立；
任务2：过点E作EQ⊥AP于点Q，先求出∠DAE，再求出∠AEQ，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得AQ，再用勾股定理求得EQ，再在图2中求得，然后利用勾股定理求得DQ，就可求得AD，与求得结果；
任务3：多次利用30度角的直角三角形的性质求解，求得BO，再在Rt三角形BMN中求得MN，再在Rt三角形GMQ中求得QG.
20．（2024九上·南山开学考）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角．
（1）【特例分析】
如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为 度．
（2）【类比分析】
如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
（3）【延伸应用】
在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长．
【答案】（1）30；70
（2）如图， ∵和所在直线互相垂直，
∴∠G=90°.
∵是等边三角形，，
∴是等边三角形，∠BAC=60°.
∴∠DAE=60°.
∵将绕点A逆时针旋转，
∴∠ADG=∠EAC=，
∴∠DAC=∠EAC+∠DAE=60°+.
∵在四边形DAGC中，∠DAC+∠ADG+∠G+∠ACG=360°，
∴60°++60°+90°+∠ACG=360°，解得∠ACG=90°，
∴AE2+AC2=EC2.
（3）如图.
当DE在直线AC的上方时，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=4，
∴AC=AB=4，∠EAD=60°.
∵ 将绕点A逆时针旋转 ，和所在直线互相垂直 ，
∴∠EAC=90°，
∵∠DAH+∠DAE+∠EAC=180°，
∴∠DAH+60°+90°=180°，解得∠DAH=30°，
∵，
∴DG=AD=.
∴AH=.
∴CH=AC+AH=7.
∴CD=.
当DE在直线AC下方时，
过点D作DHAC于点H，ED延长线交BC的延长线于点G.
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADE+∠ADG=180°，
∴∠B+∠ADG=180°，
∴∠DAB+∠G=180°，
∵∠G=90°，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=60°
∴∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∴DH=AD=，
∴AH=
∴CH=AC-AH=4-3=1，
∴CD=
综上所述，CD的长为2或2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）如图.
∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到ΔADE，BC与DE是对应边，
∴∠FME=30°.
∴线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为30度，
故答案为30；
∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到ΔADE，
∴∠EAC=110°，∠DAE=∠C=∠D=60°，
∴∠DAC=∠DAE+∠EAC=170°，
∵∠DAC+∠C+∠D+∠DMC=360°，
∴170°+60°+60°+∠DMC=360°，解得∠DMC=70°，
∴线段与线段所在直线的夹角度数为70°.
故答案为70；
【分析】（1）图1，根据旋转的意义，利用对应边的夹角就是旋转角说明；
图2 ，利用四边形的内角和这360°，得到关于待求角的方程求解；
（2）先用表示出∠DAC，再利用四边形内角和求解得∠ACG，就可说明三线段的关系；
（3）分“DE在直线AC的上方”和“DE在直线AC下方”两种情况，计算后得出结论.
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