江西省赣州市赣州中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·章贡开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、，错误，不符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘方法则可判断A；根据二次根式的性质=|a|可判断B；根据算术平方根的概念以及立方根的概念可判断C、D.
2．（2024八上·章贡开学考）如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B错误，符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项A正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质，逐一进行计算并判断即可．
3．（2024八上·章贡开学考）如图的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，∠1是边a和b的夹角，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算即可．
4．（2024八上·章贡开学考）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=250°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
5．（2024八上·章贡开学考）将一个含有的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：延长直角边交a于点B，如图，
∵，
∴∠3=∠2，
∵∠3+∠1=90°，∠1=20°，
∴；
∴∠2=70°.
故答案为：C．
【分析】延长直角边交a于点B，根据平行线的性质得∠3=∠2.根据三角形外角的性质得∠3+∠1=90°，代入数据求解即可．
6．（2024八上·章贡开学考）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴是的角平分线，故①符合要求；
∵，，
∴是的角平分线，故②符合题意；
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故③符合要求；
∵，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故④符合要求；
故选：D．
【分析】根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；利用HL证明可判断③的正误；利用AAS证明，可判断④的正误．
7．（2024八上·章贡开学考）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】2；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【分析】先计算，再求其平方根即可；先计算，再求的算术平方根．
平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
算术平方根：一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．
8．（2024八上·章贡开学考）已知直线轴，且、，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：直线轴，且、，
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】平行于轴的点的纵坐标相同，据此列出关于m的方程，求解即可．
9．（2024八上·章贡开学考）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、、，第五组的频率是0.1，则的值为 .
【答案】6
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率
【解析】【解答】解：第组的频数为：，
所以，
故答案为：6.
【分析】先根据“频数=样本容量×频率”求出第五组数的频数，然后根据样本容量减去其他组的频数，即可得出x的值.
10．（2024八上·章贡开学考）若的不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式的解集为：
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为，
∴不等式有两个整数解，为和，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，再次求解即可．
11．（2024八上·章贡开学考）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】由第1个图形可得5个长方形的宽=3个长方形的长，可得3x=5y；由第2个图形可得2个长方形的宽=1个长方形的长+2，可得2y=x+2，即可得到二元一次方程组.
12．（2024八上·章贡开学考）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【答案】或或
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意舍去；
②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
【分析】本题分两种情况：①当 P在线段上，②当 P在射线上，再分别分和两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长.
13．（2024八上·章贡开学考）（）计算：；
（）解方程组：．
【答案】解：（）原式
，
；
（）由①得，y=3x－2③；
把③代入②得，，
解得：，
把x=6代入①得：
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（）先利用绝对值的性质、算式平方根的定义、乘方的定义、立方根的定义去绝对值，开平方和开立方，作乘方运算，再进行加减运算合并即可；
（）可以利用代入消元法求解这个二元一次方程组.
14．（2024八上·章贡开学考）解不等式：并求它的所有整数解的和．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：．
则不等式组的解集是：．
∴它的所有整数解为：，0，1，
∴它的所有整数解的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求每个不等式的解集，然后再确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集．从中得出不等式组的整数解，继而可求所有整数解的和．
15．（2024八上·章贡开学考）（）如图①，矩形的一条对称轴已经作好，请用一把无刻度的直尺作出矩形的另一条对称轴．
（）在图②中，矩形的边、上分别有、两点，且；请用一把无刻度的直尺作出矩形的一条对称轴．
【答案】解：（）如图①所示，直线即为所求；
（）如图②所示，直线即为所求．
【知识点】矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（）连接对角线，和对称轴交于一点，该点为矩形的中心，再连接对称轴上面的矩形的两条对角线，得到该矩形的中心，作过两个中心的直线即可得到对称轴；
（）利用矩形的性质，连接AF，AC，DE，DB，作过两组对角线的交点的直线即可得到对称轴.
16．（2024八上·章贡开学考）【综合与实践】如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片．
（1）求大正方形纸片的边长；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为．
（2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）先计算出大正方形的面积，再由大正方形的面积公式即可求解；
（2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，进而得3x，与6比较即可得到结论.
（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为．
（2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
17．（2024八上·章贡开学考）已知，，，求证：．
【答案】证明：∵，，
∴∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°，进而可得，利用等量代换得，根据平行线的判定得，再根据平行线的性质即可得．
18．（2024八上·章贡开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，将平移，使点与点重合，得到，点，的对应点分别为、．
（1）画出并写出点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）若直线经过点且与轴垂直，点在直线l上，且的面积等于1，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得三角形ABC向右平移4个单位，向上平移1个单位，可得，
故可画 如图所示：
，
（2）解：．
（3）点的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（3）∵， 直线经过点且与轴垂直， 点在直线l上 ，
∴A1P⊥x轴，∴，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，可得出△ABC的平移规律，即可得，再根据点的位置写出坐标即可；
（2）用大长方形的面积减四个三角形的面积即可得到S；
（3）根据题意可知A1P⊥x轴，得，根据A1P的长，即可得点P的坐标，需注意点P的位置.
19．（2024八上·章贡开学考）为鼓励居民节约用电，某市对居民用电采用阶梯电价，制定电价收费方案如表一，为了解该市某小区居民用电情况，在该小区随机抽查了50户居民某月平均用电量（单位：千瓦时）记录数据如下：
155，158，175，158，158，124，154，148，169，120，150，133，160，215，172．
126，145，130，131，118，108，157，145，165，122，106，165，150，136，144．
140，159，110，134，170，168，162，170，175，186，182，156，138，157.100，
142，168，218，175，146．
整理数据后得频数分布表如表二．
表一
阶梯电价方案表
档次 月平均用电量（千瓦时） 电价（元千瓦时）
第一档 0.52
第二档
第三档 大于280 0.82
表二
某月平均用电量（千瓦时） 频数
5
10
13
2
b
（1）写出______，______；
（2）若根据表二制成扇形统计图，全年月平均用电是不低于140千瓦时的部分所对圆心角的度数为______；
（3）请根据抽查的数据判断，全市是否有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
【答案】（1）18；2
（2）
（3）解：由表二可得，抽查的50户居民每月全部用电支出可用第一档标准计费的有（户），
占样本总数的：，
故全市有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵所给的数据中，的个数为：18个，
∴的个数为：50－5－10－18－13－2=2（个）
∴，，
故答案为：18；2；
（2）解：全年月平均用电量不低于140千瓦时的部分所对应的数据为2，10，
故所对圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的数据统计出的频数，再用50减其他各组数据即可；
（2）用乘以不低于140千瓦时的部分所占的百分比即可；
（3）求出第一档的户数，计算出所占的百分比，并与90%比较即可．
（1）解：∵所给的数据中，的个数为：18个，的个数为：2个
∴，，
故答案为：18；2；
（2）解：全年月平均用电量不低于140千瓦时的部分所对圆心角的度数为
，
故答案为：；
（3）解：由表二可得，抽查的50户居民每月全部用电支出可用第一档标准计费的有户，
占样本总数的：，
故全市有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
20．（2024八上·章贡开学考）如图，在中，于，分别交、于、两点，且，，求证：．
【答案】证明：，
，
在和中，
，
，
，
∵∠CDF=90°，∠AFE=∠CFD，
，
，
．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先利用HL证明，得出，然后利用三角形的内角和定理和对顶角的性质即可得出结论．
21．（2024八上·章贡开学考）某市为了提高市民的交通安全意识，要求骑行过程中必须佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，进价、售价见下表．
甲 乙
进价（元/顶） 40 30
售价（元/顶） 60 m
（1）若该商店进货甲、乙两种安全头盔共100顶，一共花费了3700元，求甲、乙两种安全头盔分别进货多少顶？
（2）在（1）的条件下，将头盔全部售出，商家把乙种安全头盔的售价m至少定为多少元，才能保证利润不低于1700元？
【答案】（1）解：设购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶
故：购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶
（2）解：由题意得：
故商家把乙种安全头盔的售价至少定为元，才能保证利润不低于1700元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶，由进货总价=进货单价×进货数量，根据甲、乙两种头盔共花费了3700元 ，列出方程并解之即可；
（2）根据总利润=没顶头盔的销售利润×销售数量，结合总利润不低于1700元 ，列出关于m的一元一次不等式并求出最小值即可.
22．（2024八上·章贡开学考）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
（1）下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）
（2）综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积；
（3）小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【答案】（1）①②③
（2）①484；②立方厘米
（3）（3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米，
①展开图如图所示，则底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
该方程无解；
②展开图如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
③如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
④如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑥，展开图如图所示：
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米．
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题；已知展开图进行几何体的相关的计算；制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒
【解析】【解答】解：（1）解：根据展开图的折叠，
④不能折成一个长方体纸盒，
①②符合“二三一”型，③符合“一四一”型，都可以折成一个长方体纸盒.
故答案为：①②③；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米）
故答案为：484；
②如图，∵AB=3AD，设，则，
∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且原本是正方形纸板，
由图可得：
解得：，
∴，
∴长方形纸盒的体积为：（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
【分析】（1）参考正方形的三种类型的展开图来寻找长方体的展开图即可；
（2）①根据图一得长方体纸盒的地面为正方形，且边长为（30－4×2），利用面积公式即可得解；
（2）②根据AB=3AD，设，则，根据题意可得，，求解得到x的值继而求出长方体的长，宽，高，根据长方体的体积公式即可得解；
（3）列出无盖长方形纸盒的所有展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可．
（1）解：根据展开图的折叠，
④不能折成一个无盖长方体纸盒，
①②③才能折成一个无盖长方体纸盒，
故答案为：①②③；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米）
故答案为：；
②如图，设，，
∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且，
∴，
∴，，
即，
解得：，
∴（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
（3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米，
①如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
该方程无解；
②如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
③如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
④如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米．
23．（2024八上·章贡开学考）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．
【答案】（1）；；
（2）解：过点E作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）过E点作，如图，
∵，FH//AB，
∴，
∴，，
∵，∠BFC=36°，
∴.
即∠ABF－∠GCD=36°.
∵平分，平分，
∴，，
∴∠ABE－∠DCE=2∠ABF－2∠GCD=2×36°=72°.
由（2）可得：∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC，
∴180°－∠BEC=72°，
∴∠BEC=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）解：过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到；
（2）过点E作，如图2，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得；
（3）过E点作，根据平行线的性质得到，从而，，∠ABF－∠GCD=36°.根据角平分线的定义得到，，计算出∠ABE－∠DCE=72°，由（2）的结论可得∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC，
对比即可得到∠BEC的度数.
1 / 1江西省赣州市赣州中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·章贡开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·章贡开学考）如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·章贡开学考）如图的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
4．（2024八上·章贡开学考）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
5．（2024八上·章贡开学考）将一个含有的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·章贡开学考）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024八上·章贡开学考）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
8．（2024八上·章贡开学考）已知直线轴，且、，则的值为 ．
9．（2024八上·章贡开学考）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、、，第五组的频率是0.1，则的值为 .
10．（2024八上·章贡开学考）若的不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
11．（2024八上·章贡开学考）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ．
12．（2024八上·章贡开学考）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
13．（2024八上·章贡开学考）（）计算：；
（）解方程组：．
14．（2024八上·章贡开学考）解不等式：并求它的所有整数解的和．
15．（2024八上·章贡开学考）（）如图①，矩形的一条对称轴已经作好，请用一把无刻度的直尺作出矩形的另一条对称轴．
（）在图②中，矩形的边、上分别有、两点，且；请用一把无刻度的直尺作出矩形的一条对称轴．
16．（2024八上·章贡开学考）【综合与实践】如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片．
（1）求大正方形纸片的边长；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
17．（2024八上·章贡开学考）已知，，，求证：．
18．（2024八上·章贡开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，将平移，使点与点重合，得到，点，的对应点分别为、．
（1）画出并写出点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）若直线经过点且与轴垂直，点在直线l上，且的面积等于1，直接写出点的坐标．
19．（2024八上·章贡开学考）为鼓励居民节约用电，某市对居民用电采用阶梯电价，制定电价收费方案如表一，为了解该市某小区居民用电情况，在该小区随机抽查了50户居民某月平均用电量（单位：千瓦时）记录数据如下：
155，158，175，158，158，124，154，148，169，120，150，133，160，215，172．
126，145，130，131，118，108，157，145，165，122，106，165，150，136，144．
140，159，110，134，170，168，162，170，175，186，182，156，138，157.100，
142，168，218，175，146．
整理数据后得频数分布表如表二．
表一
阶梯电价方案表
档次 月平均用电量（千瓦时） 电价（元千瓦时）
第一档 0.52
第二档
第三档 大于280 0.82
表二
某月平均用电量（千瓦时） 频数
5
10
13
2
b
（1）写出______，______；
（2）若根据表二制成扇形统计图，全年月平均用电是不低于140千瓦时的部分所对圆心角的度数为______；
（3）请根据抽查的数据判断，全市是否有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
20．（2024八上·章贡开学考）如图，在中，于，分别交、于、两点，且，，求证：．
21．（2024八上·章贡开学考）某市为了提高市民的交通安全意识，要求骑行过程中必须佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，进价、售价见下表．
甲 乙
进价（元/顶） 40 30
售价（元/顶） 60 m
（1）若该商店进货甲、乙两种安全头盔共100顶，一共花费了3700元，求甲、乙两种安全头盔分别进货多少顶？
（2）在（1）的条件下，将头盔全部售出，商家把乙种安全头盔的售价m至少定为多少元，才能保证利润不低于1700元？
22．（2024八上·章贡开学考）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
（1）下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）
（2）综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积；
（3）小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
23．（2024八上·章贡开学考）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、，错误，不符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘方法则可判断A；根据二次根式的性质=|a|可判断B；根据算术平方根的概念以及立方根的概念可判断C、D.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B错误，符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项A正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质，逐一进行计算并判断即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，∠1是边a和b的夹角，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=250°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：延长直角边交a于点B，如图，
∵，
∴∠3=∠2，
∵∠3+∠1=90°，∠1=20°，
∴；
∴∠2=70°.
故答案为：C．
【分析】延长直角边交a于点B，根据平行线的性质得∠3=∠2.根据三角形外角的性质得∠3+∠1=90°，代入数据求解即可．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴是的角平分线，故①符合要求；
∵，，
∴是的角平分线，故②符合题意；
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故③符合要求；
∵，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故④符合要求；
故选：D．
【分析】根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；利用HL证明可判断③的正误；利用AAS证明，可判断④的正误．
7．【答案】2；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【分析】先计算，再求其平方根即可；先计算，再求的算术平方根．
平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
算术平方根：一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．
8．【答案】2
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：直线轴，且、，
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】平行于轴的点的纵坐标相同，据此列出关于m的方程，求解即可．
9．【答案】6
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率
【解析】【解答】解：第组的频数为：，
所以，
故答案为：6.
【分析】先根据“频数=样本容量×频率”求出第五组数的频数，然后根据样本容量减去其他组的频数，即可得出x的值.
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式的解集为：
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为，
∴不等式有两个整数解，为和，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，再次求解即可．
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】由第1个图形可得5个长方形的宽=3个长方形的长，可得3x=5y；由第2个图形可得2个长方形的宽=1个长方形的长+2，可得2y=x+2，即可得到二元一次方程组.
12．【答案】或或
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意舍去；
②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
【分析】本题分两种情况：①当 P在线段上，②当 P在射线上，再分别分和两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长.
13．【答案】解：（）原式
，
；
（）由①得，y=3x－2③；
把③代入②得，，
解得：，
把x=6代入①得：
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（）先利用绝对值的性质、算式平方根的定义、乘方的定义、立方根的定义去绝对值，开平方和开立方，作乘方运算，再进行加减运算合并即可；
（）可以利用代入消元法求解这个二元一次方程组.
14．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：．
则不等式组的解集是：．
∴它的所有整数解为：，0，1，
∴它的所有整数解的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求每个不等式的解集，然后再确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集．从中得出不等式组的整数解，继而可求所有整数解的和．
15．【答案】解：（）如图①所示，直线即为所求；
（）如图②所示，直线即为所求．
【知识点】矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（）连接对角线，和对称轴交于一点，该点为矩形的中心，再连接对称轴上面的矩形的两条对角线，得到该矩形的中心，作过两个中心的直线即可得到对称轴；
（）利用矩形的性质，连接AF，AC，DE，DB，作过两组对角线的交点的直线即可得到对称轴.
16．【答案】（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为．
（2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）先计算出大正方形的面积，再由大正方形的面积公式即可求解；
（2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，进而得3x，与6比较即可得到结论.
（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为．
（2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
17．【答案】证明：∵，，
∴∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°，进而可得，利用等量代换得，根据平行线的判定得，再根据平行线的性质即可得．
18．【答案】（1）解：由题意可得三角形ABC向右平移4个单位，向上平移1个单位，可得，
故可画 如图所示：
，
（2）解：．
（3）点的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（3）∵， 直线经过点且与轴垂直， 点在直线l上 ，
∴A1P⊥x轴，∴，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）点向上移动个单位长度、向右移动个单位长度，可到到对应点，可得出△ABC的平移规律，即可得，再根据点的位置写出坐标即可；
（2）用大长方形的面积减四个三角形的面积即可得到S；
（3）根据题意可知A1P⊥x轴，得，根据A1P的长，即可得点P的坐标，需注意点P的位置.
19．【答案】（1）18；2
（2）
（3）解：由表二可得，抽查的50户居民每月全部用电支出可用第一档标准计费的有（户），
占样本总数的：，
故全市有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵所给的数据中，的个数为：18个，
∴的个数为：50－5－10－18－13－2=2（个）
∴，，
故答案为：18；2；
（2）解：全年月平均用电量不低于140千瓦时的部分所对应的数据为2，10，
故所对圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的数据统计出的频数，再用50减其他各组数据即可；
（2）用乘以不低于140千瓦时的部分所占的百分比即可；
（3）求出第一档的户数，计算出所占的百分比，并与90%比较即可．
（1）解：∵所给的数据中，的个数为：18个，的个数为：2个
∴，，
故答案为：18；2；
（2）解：全年月平均用电量不低于140千瓦时的部分所对圆心角的度数为
，
故答案为：；
（3）解：由表二可得，抽查的50户居民每月全部用电支出可用第一档标准计费的有户，
占样本总数的：，
故全市有的居民每月全部用电支出均可用第一档标准计费．
20．【答案】证明：，
，
在和中，
，
，
，
∵∠CDF=90°，∠AFE=∠CFD，
，
，
．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先利用HL证明，得出，然后利用三角形的内角和定理和对顶角的性质即可得出结论．
21．【答案】（1）解：设购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶
故：购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶
（2）解：由题意得：
故商家把乙种安全头盔的售价至少定为元，才能保证利润不低于1700元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲安全头盔顶，则乙安全头盔顶，由进货总价=进货单价×进货数量，根据甲、乙两种头盔共花费了3700元 ，列出方程并解之即可；
（2）根据总利润=没顶头盔的销售利润×销售数量，结合总利润不低于1700元 ，列出关于m的一元一次不等式并求出最小值即可.
22．【答案】（1）①②③
（2）①484；②立方厘米
（3）（3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米，
①展开图如图所示，则底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
该方程无解；
②展开图如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
③如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
④如图所示，底面边长为（30－2m）厘米，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑥，展开图如图所示：
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米．
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题；已知展开图进行几何体的相关的计算；制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒
【解析】【解答】解：（1）解：根据展开图的折叠，
④不能折成一个长方体纸盒，
①②符合“二三一”型，③符合“一四一”型，都可以折成一个长方体纸盒.
故答案为：①②③；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米）
故答案为：484；
②如图，∵AB=3AD，设，则，
∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且原本是正方形纸板，
由图可得：
解得：，
∴，
∴长方形纸盒的体积为：（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
【分析】（1）参考正方形的三种类型的展开图来寻找长方体的展开图即可；
（2）①根据图一得长方体纸盒的地面为正方形，且边长为（30－4×2），利用面积公式即可得解；
（2）②根据AB=3AD，设，则，根据题意可得，，求解得到x的值继而求出长方体的长，宽，高，根据长方体的体积公式即可得解；
（3）列出无盖长方形纸盒的所有展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可．
（1）解：根据展开图的折叠，
④不能折成一个无盖长方体纸盒，
①②③才能折成一个无盖长方体纸盒，
故答案为：①②③；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米）
故答案为：；
②如图，设，，
∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且，
∴，
∴，，
即，
解得：，
∴（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
（3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米，
①如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
该方程无解；
②如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
③如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
④如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米．
23．【答案】（1）；；
（2）解：过点E作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）过E点作，如图，
∵，FH//AB，
∴，
∴，，
∵，∠BFC=36°，
∴.
即∠ABF－∠GCD=36°.
∵平分，平分，
∴，，
∴∠ABE－∠DCE=2∠ABF－2∠GCD=2×36°=72°.
由（2）可得：∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC，
∴180°－∠BEC=72°，
∴∠BEC=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）解：过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到；
（2）过点E作，如图2，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得；
（3）过E点作，根据平行线的性质得到，从而，，∠ABF－∠GCD=36°.根据角平分线的定义得到，，计算出∠ABE－∠DCE=72°，由（2）的结论可得∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC，
对比即可得到∠BEC的度数.
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