中小学教育资源及组卷应用平台
24章《圆》24.1阶段测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝65°，则∠MON的度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．（3分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（3分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
5．（3分）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E的度数是（ ）
A．36° B．30° C．24° D．18°
6．（3分）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．若∠ABE＝30°，AD，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（3分）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40° B．25° C．20° D．15°
8．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连AC、OD．若2∠CAB＝∠BOD，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．10
10．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝6，EG＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．16 D．14
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 ．
12．（3分）如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC＝6，CD平分∠ACB，BD＝5，则BC的长等于 ．
13．（3分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C＝43度，则∠AOB＝ 度．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，连接AD、BC．求证：AD＝BC．
17．（6分）已知：如图，点A、B、C、D是⊙O上四点，且．
求证：△ABC≌△DCB．
18．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO．
（1）求证：AO⊥BC；
（2）若OA＝5，BC＝8，求AB的长．
19．（8分）如图，在⊙O中，弦AC＝4，点B是⊙O上一点，且∠ABC＝45°．
（1）求OA的长；
（2）若∠BAC＝15°，求AB的长．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，，D是BC上一点，，E是AC的中点，连接OC，OD，DE．
（1）求∠COD的大小；
（2）求证：DE∥AB．
21．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若，AE＝4，求弦BC的长．
22．（10分）如图，已知OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）若∠BOC＝46°，求∠AOB的度数．
（2）若，求⊙O的半径．
23．（11分）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
24．（12分）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝BD+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝BD+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG，
∵M是的中点，
∴，
∴MA＝MC（相等的弧所对的弦相等），
又∵∠A＝∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△MAB≌△MCG，∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG，即CD＝BD+BA．
（1）【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝8，BC＝12，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD的长为 ；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝12，⊙O的半径为10，求AD长．中小学教育资源及组卷应用平台
24章《圆》24.1阶段测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝65°，则∠MON的度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【思路点拔】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝65°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝65°，
∴∠MON＝180°﹣2×65°＝50°．
故选：A．
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【思路点拔】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
3．（3分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA10，即可求出答案．
解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
4．（3分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【思路点拔】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
5．（3分）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E的度数是（ ）
A．36° B．30° C．24° D．18°
【思路点拔】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案．
解：如图：
∵CE＝OB＝CO，
∴∠E＝∠1．
∵∠2是△EOC的外角，
∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠2＝2∠E．
∵∠3是三角形△ODE的外角，得
∴∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：C．
6．（3分）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．若∠ABE＝30°，AD，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】连接CD，根据圆周角定理可得∠BDC＝∠BEC＝90°，所以∠BEA＝90°，∠ADC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得答案．
解：连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠BEA＝90°，∠ADC＝90°，
∵∠ABE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∵AD，
∴AC＝2，
故选：C．
7．（3分）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40° B．25° C．20° D．15°
【思路点拔】根据直角所对的圆周角是90°得出∠ACB的度数，再由∠CAB＝50°得出∠ABC的度数，最后根据所画射线为∠ABC的角平分线即可解决问题．
解：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝40°．
根据作图步骤可知，
BP平分∠ABC，
∴∠ABP．
故选：C．
8．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【思路点拔】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连AC、OD．若2∠CAB＝∠BOD，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．10
【思路点拔】先根据2∠CAB＝∠BOD得到，由垂径定理求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解：∵2∠CAB＝∠BOD，
∴，
∴AB⊥CD，
∴CE＝DECD8＝4，
设OD＝r，则OE＝OB﹣BE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝r﹣2，OD2＝DE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5．
故选：A．
10．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝6，EG＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．16 D．14
【思路点拔】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
解：如图，连接CD，
∵∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝4，
∴EF＝2，
∵AE＝ED＝6，
∴CF＝AF＝8，
∴AC＝16，EC＝10，
∴BC＝10，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝5，，
∴AM＝AC﹣CM＝11，
∴．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 110° ．
【思路点拔】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠ABC＝180°，再求出答案即可．
解：∵BC＝CD，
∴，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAC＝20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
12．（3分）如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC＝6，CD平分∠ACB，BD＝5，则BC的长等于 8 ．
【思路点拔】连接AD，由AB是直径知∠ACB＝∠ADB＝90°，由CD是∠ACB平分线得∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABD＝45°，根据BD的长度可得AB＝10，再根据勾股定理可得答案．
解：如图所示，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∵BD＝5，
∴ABBD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝8，
故答案为：8．
13．（3分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C＝43度，则∠AOB＝ 86 度．
【思路点拔】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解．
解：∠AOB＝2∠C＝2×43＝86°．
故答案为：86．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 4 ．
【思路点拔】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB13，根据三角形中位线定理得ODBC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
解：∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴ODBC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴O、D、M三点共线，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案为：4．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 或或2 ．
【思路点拔】根据DE≤AB，可得DE＝1或2，利用勾股定理进行解答即可．
解：∵AB为直径，DE为弦，
∴DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，
当DE＝2时，即DE为直径，
∴DE⊥AB，
∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB＝2；
当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，
此时，
∵DE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴；
当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
同理可得，
∴；
综上，可得线段FB的长为或或2，
故答案为：或或2．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，连接AD、BC．求证：AD＝BC．
【思路点拔】根据AB＝CD，得出，进而得出，即可解答．
解：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AD＝BC．
17．（6分）已知：如图，点A、B、C、D是⊙O上四点，且．
求证：△ABC≌△DCB．
【思路点拔】由，根据圆周角定理，可求得∠ACB＝∠DBC，然后由AAS，可判定：△ABC≌△DCB．
证明：∵，
∴∠ACB＝∠DBC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS）．
18．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO．
（1）求证：AO⊥BC；
（2）若OA＝5，BC＝8，求AB的长．
【思路点拔】（1）延长AO交BC于D，由AB＝AC，得到，根据垂径定理得到AD⊥BC；
（2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BD4，根据勾股定理得到结论．
（1）证明：延长AO交BC于D，
∵AB＝AC，
∴，
∴AD⊥BC；
（2）解：连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD4，
∴OD3，
∴AD＝OA+OD＝8，
∴AB4．
19．（8分）如图，在⊙O中，弦AC＝4，点B是⊙O上一点，且∠ABC＝45°．
（1）求OA的长；
（2）若∠BAC＝15°，求AB的长．
【思路点拔】（1）连接OC，先由圆周角定理得∠AOC＝2∠ABC＝90°，则△AOC是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）过O作OD⊥AB于D，则AD＝BD，由（1）得：OA＝2，△AOC是等腰直角三角形，则∠1OAC＝45°，求出∠OAD＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得ODOA，ADOD＝3，即可得出答案．
解：（1）连接OC，如图所示：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OA＝OCAC42；
（2）过O作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD，
由（1）得：OA＝2，△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵∠BAC＝15°，
∴∠OAD＝45°﹣15°＝30°，
∴ODOA，ADOD＝3，
∴AB＝2AD＝6．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，，D是BC上一点，，E是AC的中点，连接OC，OD，DE．
（1）求∠COD的大小；
（2）求证：DE∥AB．
【思路点拔】（1）由CD＝OC＝OD，得到△OCD是等边三角形，因此∠COD＝60°；
（2）延长CD交AB延长线于P，由直角三角形的性质，等边三角形的性质，推出∠P＝∠DOB，得到OD＝PD，而CD＝OD，因此CD＝PD，即可证明DE是△CAP的中位线，因此ED∥AB．
（1）解：∵CDAB，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°；
（2）证明：延长CD交AB延长线于P，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠OCP＝∠COD＝60°，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠COB＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠OCP＝30°，∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝30°，
∴∠P＝∠DOB，
∴OD＝PD，
∵CD＝OD，
∴CD＝PD，
∵CE＝AE，
∴DE是△CAP的中位线，
∴ED∥AB．
21．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若，AE＝4，求弦BC的长．
【思路点拔】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝4，根据勾股定理即可得出答案．
（1）证明：∵OA⊥BD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝4，
∴BC4．
22．（10分）如图，已知OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）若∠BOC＝46°，求∠AOB的度数．
（2）若，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可得到结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径．
解：（1）∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC＝92°
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
23．（11分）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【思路点拔】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
解：任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连接AO，如图，
设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴，
∴m，
∵OD＝6m，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度m．
∵，
∴吨，
∴至少要增加吨的货物才能通过．
24．（12分）综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝BD+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝BD+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG，
∵M是的中点，
∴，
∴MA＝MC（相等的弧所对的弦相等），
又∵∠A＝∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△MAB≌△MCG，∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG，即CD＝BD+BA．
（1）【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝8，BC＝12，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD的长为 2 ；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝12，⊙O的半径为10，求AD长．
【思路点拔】（1）由“问题”呈现结论即可求解；
（2）在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，证明△MAB≌△MGB（SAS）可得MA＝MG，由等腰三角形的性质可得DG＝DC，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解．
解：（1）由题意得：CD＝BD+BA，即CD＝BC﹣CD+AB，
∴CD＝12﹣CD+8，
∴CD＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝12﹣10＝2，
故答案为：2；
（2）DB＝CD+BA，
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，如图3，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又∵MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又∵DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
（3）如图4，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，连接AD1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝12，圆的半径为10，
∴BC＝20，
∴，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴，
∴，
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，
同理得，
综上所述：AD的长为或．
