四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·武侯开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·武侯开学考）在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·武侯开学考）已知，，则的值是（ ）
A．14 B．36 C．48 D．64
4．（2024九上·武侯开学考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·武侯开学考）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4
6．（2024九上·武侯开学考）如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2024九上·武侯开学考）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
8．（2024九上·武侯开学考）已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024九上·武侯开学考）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
10．（2024九上·武侯开学考）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．
11．（2024九上·武侯开学考）分解因式： ．
12．（2024九上·武侯开学考）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ．
13．（2024九上·武侯开学考）如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为 ．
14．（2024九上·武侯开学考）解答题
（1）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：；
（3）解方程：．
15．（2024九上·武侯开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
16．（2024九上·武侯开学考）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
17．（2024九上·武侯开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
18．（2024九上·武侯开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
19．（2024九上·武侯开学考）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
20．（2024九上·武侯开学考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 .
21．（2024九上·武侯开学考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
22．（2024九上·武侯开学考）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ．
23．（2024九上·武侯开学考）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ．
24．（2024九上·武侯开学考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
25．（2024九上·武侯开学考）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
26．（2024九上·武侯开学考）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
（1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：；
（2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由；
（3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、表示的不等式解集为x≥4，A错误；
B、表示的不等式解集为x≤4，B错误；
C、表示的不等式解集为x<4，C错误；
D、表示的不等式解集为x>4，D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，观察四个选项，把各个选项所表示的不等式解集求出来，注意点是实心或空心，以及方向的左右等，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据坐标平移的规律，得平移后的点坐标为（2-2，3+1），即（0，4），
故答案为：B.
【分析】由坐标平移规律：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b=8，ab=6，
∴，
故答案为：C．
【分析】先提公因式ab，将原式转化为ab（a+b），然后再整体代入a+b、ab的值进行计算，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】先将分式进行通分，然后将分式进行减法运算，最后将分子分母进行化简即可.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘x（x+1）得，mx 2（x＋1）＝0，
∴（m 2）x＝2，
∵方程的解为负数，
∴，
∴m＜2，
∵x（x+1）=0，分式方程有增根，
∴x≠0，x≠1，
∴m≠0，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠0．
故答案为：B．
【分析】把分式方程化为整式方程，得（m 2）x＝2，然后根据方程的解为负数得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围，接下来由分式方程的解不能是增根求出x≠0，x≠1，从而得m≠0，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为16，
∴OA=OC，AD+CD=8，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=8，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质以及周长求出OA=OC，AD+CD=8，从而得OE垂直平分AC，进而由垂直平分线的性质得AE=EC，最后即可将的周长转化为AD+CD的长.
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选D．
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得，，从而有.
9．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且k≠0，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，得关于k的不等式，同时注意一元二次方程二次项系数k≠0，解不等式即可求出k的取值范围.
10．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，，
解得：x=-m+1，
∵关于x的分式方程有增根，
∴2x-1=0，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先解分式方程得x=-m+1，由分式方程有增根问题得2x-1=0，从而求出增根为，进而得，即可求出m的值.
11．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵以AM为边作正方形AMEF，且，
∴，
∵M是BC的中点，
∴，
∵AB=4，
∴在中，根据勾股定理得：，
，
故答案为：.
【分析】由正方形的面积求出AM=4，然后利用直角三角形斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BC=2AM=8，从而利用勾股定理求出AC的值，进而利用三角形面积公式求出的值.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，连接，
∴∠ADH=90°，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是中位线，
∴，
∴要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，
∵N为AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大，
∴EF的最大值为，
又∵∠ADH=90°，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
∵AD=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：.
【分析】过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而可知要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，进而得当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大值为，接下来求出∠ADH=30°，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出DH，从而由勾股定理得BD的值，最后即可求出EF的最大值.
14．【答案】（1）解：，
由①可知：x≥-2，
由②可知：x<3，
∴原不等式组的解集是：-2≤x＜3，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
（2）解：∵a=2，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=（-3）2-4×2×（-1）=17>0，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
去分母，得：，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x-5≠0，
∴原分式方程的解为x=1.
【知识点】公式法解一元二次方程；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求不等式①、②的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定一元一次不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可；
（2）”公式法“解一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定一元二次方程中a、b、c的值；③求出的值，注意，否则方程无实数根；④把a、b、的值代入求根公式.根据解法步骤进行求解即可；
（3）先将分式方程去分母化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，接下来检验x的值是否为分数方程的增根，即可求解.
（1）解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：
（2）解：∵，
在这里，
∴，
解得，．
（3）解：，
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
经检验：是原分式方程的根．
15．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴实数m的取值范围为：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，且，
∴，
解得：，，
由（1）得，
∴实数m的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、，得，，然后利用完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值，最后m最后的值要在（1）中的取值范围内.
16．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，CD=BC，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵，
∴，
∵DE=4，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴CE的长为3．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质得∠ABD=∠DBC=∠ADB，从而由“等角对等边”得AB=AD=BC，进而证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论；
（2）根据菱形的性质得BO=DO，CD=BC，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得BD=2EO的值，从而由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程求出x的值即可求解.
17．【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
19．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
20．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 已知，是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根 ，
∴，，
∴
∴.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义可得，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a≠0）”根与系数的关系可得，然后将待求式子拆项后整体代入计算可得答案.
21．【答案】12
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
∵，
两边同乘2-y得，，
解得：，
∵关于y的分式方程有整数解，
∴或或或，
解得：或或或，
∵，
∴a的值为2或3或4或7，
∵当2-y=0，即y=2时，分式方程有增根，
∴，
解得：，
∴a的值为2或3或7，
∴满足条件的所有整数a的和为2+3+7=12，
故答案为：12．
【分析】先解一元一次不等式组，由不等式组无解得a的取值范围为，然后解分式方程得，再由分式方程的整数解确定a的值，接下来根据分式方程的解不能是增根求出a≠4，从而确定满足条件的所有整数a的值，最后求和即可.
22．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接，交于，
∴∠AHB=∠AHE=90°，
∵正方形的面积为50，
∴，，
∵，，，
∴，平分，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
又∵∠AHE=90°，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，∠DOG=∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在和中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，交于，得∠AHB=∠AHE=90°，根据正方形的性质得，，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出FH、AH的值，∠EAH=45°，从而求出，进而得EF的值，接下来证出，根据全等三角形的性质、勾股定理求出DF的值，从而得OD的值，进而得OA的值，设，则，在和中，由勾股定理得，解方程求出x的值，即可得OG的值，进而得DG的值.
23．【答案】3；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD=2AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=8，
∵四边形关于直线对称后得到四边形，AE=CF，
∴AE=A'E=CF，BF=B'F，
①如图，当与点 重合时，有，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：x=3，
∴AE=3；
②如图，连接BD交EF于O，连接B'O、GO、CO，过点O作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
在和中，
，
∴，
∴OD=OB，OE=OF，
∴无论点E、F如何变动，经过点，
在△中，，故只有当、、 三点共线时，长度最大，
∵四边形关于对称得到四边形，
，
∴当、、 三点共线时，有，
又∵OD=OB，即点O是矩形ABCD对角线交点，
∴OC=OB，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴OH是中位线，
∵BC=8，CD=4，
∴，，
，
∵BG=2，
∴GH=BH-GH=2，
，
，
故答案为：3；．
【分析】根据矩形的性质得AB=CD=4，AD=BC=8，根据轴对称的性质得AE=A'E=CF，BF=B'F.
①当与点 重合时，有，设，则，，然后利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得AE的值；
②连接BD交EF于O，连接B'O、GO、CO，过点O作OH⊥BC于H，根据矩形的性质证出，从而得OD=OB，OE=OF，进而有无论点E、F如何变动，经过点，然后根据轴对称的性质得OB=OB'，接下来可知当、、 三点共线时，有，此时长度最大，利用矩形的性质证出OC=OB，由等腰三角形“三线合一”性质得BH=CH，从而得OH是中位线，利用三角形中位线定理求出，，从而根据勾股定理得OB的长，求出GH的长，利用勾股定理求出OG的长，最后计算GB'=OB+OG的值即可.
24．【答案】（1）解：根据题意，得AB=EF=x，则BC=18-2x，
∴，
解得：0∵ 矩形苗圃ABCD面积为y，
∴y=x（18-2x）=-2x2+18x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+18x（0（2）解：由（1）得y=-2x2+18x（0∴令y=40，有-2x2+18x=40，
解得：，，
∴当x为4或5时，所围矩形花圃ABCD的面积为40m2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得AB=EF=x，则BC=18-2x，然后得关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，接下来利用矩形面积求出y关于x的函数关系式；
（2）令y=40，则由（1）有-2x2+18x=40，解方程求出x的值即可求解.
25．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵BC=5，
∴
，
解得：或（舍去），
∴当m=6时，是以为斜边的直角三角形；
（3）解：①当为腰长时，则方程有一个根为5，
∴，
解得：，
∴方程整理得，，
解得：，
∴的三边是5，5，3，
∴周长为：5+5+3=13；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
由（1）得，
解得：，
∴方程整理得，，
解得：，
∴的三边是5，3，3，
∴的周长为：5+3+3=11；
综上所述，的周长为13或11.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得，接下来利用勾股定理得，从而结合完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）分情况讨论：①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程求出m的值，然后解一元二次方程得，即可求出三角形的周长；②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，由（1）得，从而求出m的值，然后解一元二次方程得，即可求出三角形的周长.
（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
26．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，CD=AB，
∴，∠PDA+∠PDN=∠ADC=90°，
∴∠PDA+∠DAP=90°，
∴∠PDA+∠PDN=∠PDA+∠DAP，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：（1）的结论依然成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，取AN的中点W，连接WM，过M作MV⊥DC，交DC延长线于V，
∴∠V=90°，
∵AB∥CD，M是BC中点，∠ABC=60°，BC=4，
∴WM为梯形ABCN中位线，∠VCM=∠ABC=60°，，
∴∠CMV=30°，WM∥AB，，
∴，WM∥CD，CN=2WM-AB，
∴，
∴，
∵PM=2DP，
∴，
设DN=x、DP=y，则WM=2x，PM=2y，
∴CN=2WM-AB=4x-8，DM=DP+PM=y+2y=3y，
∴CD=DN+CN=x+4x-8=5x-8，
由（2）得，
∴，
∴①，
∵∠V=90°，CD=5x-8，CV=1，
∴DV=CD+CV=5x-8+1=5x-7，
∴由勾股定理得：，
∴②，
由①、②解得：或，
∴CD=5x-8=2或5，
∵CD>4，
∴CD的长为5.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 1四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·武侯开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、表示的不等式解集为x≥4，A错误；
B、表示的不等式解集为x≤4，B错误；
C、表示的不等式解集为x<4，C错误；
D、表示的不等式解集为x>4，D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，观察四个选项，把各个选项所表示的不等式解集求出来，注意点是实心或空心，以及方向的左右等，即可求解.
2．（2024九上·武侯开学考）在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据坐标平移的规律，得平移后的点坐标为（2-2，3+1），即（0，4），
故答案为：B.
【分析】由坐标平移规律：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，即可求解.
3．（2024九上·武侯开学考）已知，，则的值是（ ）
A．14 B．36 C．48 D．64
【答案】C
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b=8，ab=6，
∴，
故答案为：C．
【分析】先提公因式ab，将原式转化为ab（a+b），然后再整体代入a+b、ab的值进行计算，即可求解.
4．（2024九上·武侯开学考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】先将分式进行通分，然后将分式进行减法运算，最后将分子分母进行化简即可.
5．（2024九上·武侯开学考）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘x（x+1）得，mx 2（x＋1）＝0，
∴（m 2）x＝2，
∵方程的解为负数，
∴，
∴m＜2，
∵x（x+1）=0，分式方程有增根，
∴x≠0，x≠1，
∴m≠0，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠0．
故答案为：B．
【分析】把分式方程化为整式方程，得（m 2）x＝2，然后根据方程的解为负数得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围，接下来由分式方程的解不能是增根求出x≠0，x≠1，从而得m≠0，即可求解.
6．（2024九上·武侯开学考）如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为16，
∴OA=OC，AD+CD=8，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=8，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质以及周长求出OA=OC，AD+CD=8，从而得OE垂直平分AC，进而由垂直平分线的性质得AE=EC，最后即可将的周长转化为AD+CD的长.
7．（2024九上·武侯开学考）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选D．
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
8．（2024九上·武侯开学考）已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得，，从而有.
9．（2024九上·武侯开学考）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且k≠0，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，得关于k的不等式，同时注意一元二次方程二次项系数k≠0，解不等式即可求出k的取值范围.
10．（2024九上·武侯开学考）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，，
解得：x=-m+1，
∵关于x的分式方程有增根，
∴2x-1=0，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先解分式方程得x=-m+1，由分式方程有增根问题得2x-1=0，从而求出增根为，进而得，即可求出m的值.
11．（2024九上·武侯开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
12．（2024九上·武侯开学考）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵以AM为边作正方形AMEF，且，
∴，
∵M是BC的中点，
∴，
∵AB=4，
∴在中，根据勾股定理得：，
，
故答案为：.
【分析】由正方形的面积求出AM=4，然后利用直角三角形斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BC=2AM=8，从而利用勾股定理求出AC的值，进而利用三角形面积公式求出的值.
13．（2024九上·武侯开学考）如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，连接，
∴∠ADH=90°，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是中位线，
∴，
∴要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，
∵N为AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大，
∴EF的最大值为，
又∵∠ADH=90°，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
∵AD=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：.
【分析】过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而可知要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，进而得当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大值为，接下来求出∠ADH=30°，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出DH，从而由勾股定理得BD的值，最后即可求出EF的最大值.
14．（2024九上·武侯开学考）解答题
（1）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：；
（3）解方程：．
【答案】（1）解：，
由①可知：x≥-2，
由②可知：x<3，
∴原不等式组的解集是：-2≤x＜3，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
（2）解：∵a=2，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=（-3）2-4×2×（-1）=17>0，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
去分母，得：，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x-5≠0，
∴原分式方程的解为x=1.
【知识点】公式法解一元二次方程；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求不等式①、②的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定一元一次不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可；
（2）”公式法“解一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定一元二次方程中a、b、c的值；③求出的值，注意，否则方程无实数根；④把a、b、的值代入求根公式.根据解法步骤进行求解即可；
（3）先将分式方程去分母化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，接下来检验x的值是否为分数方程的增根，即可求解.
（1）解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：
（2）解：∵，
在这里，
∴，
解得，．
（3）解：，
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
经检验：是原分式方程的根．
15．（2024九上·武侯开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴实数m的取值范围为：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，且，
∴，
解得：，，
由（1）得，
∴实数m的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、，得，，然后利用完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值，最后m最后的值要在（1）中的取值范围内.
16．（2024九上·武侯开学考）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，CD=BC，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵，
∴，
∵DE=4，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴CE的长为3．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质得∠ABD=∠DBC=∠ADB，从而由“等角对等边”得AB=AD=BC，进而证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论；
（2）根据菱形的性质得BO=DO，CD=BC，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得BD=2EO的值，从而由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程求出x的值即可求解.
17．（2024九上·武侯开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．（2024九上·武侯开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
19．（2024九上·武侯开学考）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
20．（2024九上·武侯开学考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 已知，是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根 ，
∴，，
∴
∴.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义可得，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a≠0）”根与系数的关系可得，然后将待求式子拆项后整体代入计算可得答案.
21．（2024九上·武侯开学考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】12
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
∵，
两边同乘2-y得，，
解得：，
∵关于y的分式方程有整数解，
∴或或或，
解得：或或或，
∵，
∴a的值为2或3或4或7，
∵当2-y=0，即y=2时，分式方程有增根，
∴，
解得：，
∴a的值为2或3或7，
∴满足条件的所有整数a的和为2+3+7=12，
故答案为：12．
【分析】先解一元一次不等式组，由不等式组无解得a的取值范围为，然后解分式方程得，再由分式方程的整数解确定a的值，接下来根据分式方程的解不能是增根求出a≠4，从而确定满足条件的所有整数a的值，最后求和即可.
22．（2024九上·武侯开学考）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接，交于，
∴∠AHB=∠AHE=90°，
∵正方形的面积为50，
∴，，
∵，，，
∴，平分，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
又∵∠AHE=90°，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，∠DOG=∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在和中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，交于，得∠AHB=∠AHE=90°，根据正方形的性质得，，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出FH、AH的值，∠EAH=45°，从而求出，进而得EF的值，接下来证出，根据全等三角形的性质、勾股定理求出DF的值，从而得OD的值，进而得OA的值，设，则，在和中，由勾股定理得，解方程求出x的值，即可得OG的值，进而得DG的值.
23．（2024九上·武侯开学考）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ．
【答案】3；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD=2AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=8，
∵四边形关于直线对称后得到四边形，AE=CF，
∴AE=A'E=CF，BF=B'F，
①如图，当与点 重合时，有，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：x=3，
∴AE=3；
②如图，连接BD交EF于O，连接B'O、GO、CO，过点O作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
在和中，
，
∴，
∴OD=OB，OE=OF，
∴无论点E、F如何变动，经过点，
在△中，，故只有当、、 三点共线时，长度最大，
∵四边形关于对称得到四边形，
，
∴当、、 三点共线时，有，
又∵OD=OB，即点O是矩形ABCD对角线交点，
∴OC=OB，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴OH是中位线，
∵BC=8，CD=4，
∴，，
，
∵BG=2，
∴GH=BH-GH=2，
，
，
故答案为：3；．
【分析】根据矩形的性质得AB=CD=4，AD=BC=8，根据轴对称的性质得AE=A'E=CF，BF=B'F.
①当与点 重合时，有，设，则，，然后利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得AE的值；
②连接BD交EF于O，连接B'O、GO、CO，过点O作OH⊥BC于H，根据矩形的性质证出，从而得OD=OB，OE=OF，进而有无论点E、F如何变动，经过点，然后根据轴对称的性质得OB=OB'，接下来可知当、、 三点共线时，有，此时长度最大，利用矩形的性质证出OC=OB，由等腰三角形“三线合一”性质得BH=CH，从而得OH是中位线，利用三角形中位线定理求出，，从而根据勾股定理得OB的长，求出GH的长，利用勾股定理求出OG的长，最后计算GB'=OB+OG的值即可.
24．（2024九上·武侯开学考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
【答案】（1）解：根据题意，得AB=EF=x，则BC=18-2x，
∴，
解得：0∵ 矩形苗圃ABCD面积为y，
∴y=x（18-2x）=-2x2+18x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+18x（0（2）解：由（1）得y=-2x2+18x（0∴令y=40，有-2x2+18x=40，
解得：，，
∴当x为4或5时，所围矩形花圃ABCD的面积为40m2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得AB=EF=x，则BC=18-2x，然后得关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，接下来利用矩形面积求出y关于x的函数关系式；
（2）令y=40，则由（1）有-2x2+18x=40，解方程求出x的值即可求解.
25．（2024九上·武侯开学考）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵BC=5，
∴
，
解得：或（舍去），
∴当m=6时，是以为斜边的直角三角形；
（3）解：①当为腰长时，则方程有一个根为5，
∴，
解得：，
∴方程整理得，，
解得：，
∴的三边是5，5，3，
∴周长为：5+5+3=13；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
由（1）得，
解得：，
∴方程整理得，，
解得：，
∴的三边是5，3，3，
∴的周长为：5+3+3=11；
综上所述，的周长为13或11.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得，接下来利用勾股定理得，从而结合完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）分情况讨论：①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程求出m的值，然后解一元二次方程得，即可求出三角形的周长；②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，由（1）得，从而求出m的值，然后解一元二次方程得，即可求出三角形的周长.
（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
26．（2024九上·武侯开学考）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
（1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：；
（2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由；
（3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，CD=AB，
∴，∠PDA+∠PDN=∠ADC=90°，
∴∠PDA+∠DAP=90°，
∴∠PDA+∠PDN=∠PDA+∠DAP，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：（1）的结论依然成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，取AN的中点W，连接WM，过M作MV⊥DC，交DC延长线于V，
∴∠V=90°，
∵AB∥CD，M是BC中点，∠ABC=60°，BC=4，
∴WM为梯形ABCN中位线，∠VCM=∠ABC=60°，，
∴∠CMV=30°，WM∥AB，，
∴，WM∥CD，CN=2WM-AB，
∴，
∴，
∵PM=2DP，
∴，
设DN=x、DP=y，则WM=2x，PM=2y，
∴CN=2WM-AB=4x-8，DM=DP+PM=y+2y=3y，
∴CD=DN+CN=x+4x-8=5x-8，
由（2）得，
∴，
∴①，
∵∠V=90°，CD=5x-8，CV=1，
∴DV=CD+CV=5x-8+1=5x-7，
∴由勾股定理得：，
∴②，
由①、②解得：或，
∴CD=5x-8=2或5，
∵CD>4，
∴CD的长为5.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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