湖南省长沙市-长郡外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2024九上·长沙开学考）化简的结果是( )
A．10 B． C． D．20
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题应将根号内的数进行化简，化成两个数的积，使其中一个因数为平方数，再对原式开方即可。
【解答】，
故选B.
【点评】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目常常是先将根号内的数拆成两个相乘的数再开方。
2．（2024九上·长沙开学考）二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次函数图象顶点坐标为： .
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的顶点坐标为（h，k）即可直接得出答案.
3．（2024九上·长沙开学考）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（2024九上·长沙开学考）一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵-3＜0，∴图象经过二、四象限；
又∵5＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限.
所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】一次项系数-3＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限.
5．（2024九上·长沙开学考）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x>0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使式子有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
6．（2024九上·长沙开学考）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别取OA、OB的中点C、D，
∴CD是的中位线，
∵CD=20，
∴AB=2CD=2×20=40，即A、B之间的距离为40m，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理得AB=2CD，即可求解.
7．（2024九上·长沙开学考）一组数据：5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．4. 5，4 B．3.5，4 C．4，4 D．5，4
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据按从小到大排列得，3、4、4、5、6、8，∴这组数据的中位数是：，众数是：4，
故答案为：A.
【分析】先把这组数据按从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数的定义进行求解.
8．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，6） D．（6，2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
9．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴根据图象得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】由函数图象，直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围，即可求出关于x的不等式的解集.
10．（2024九上·长沙开学考）如图，为等边三角形，点从点出发沿路径匀速运动到点，到达点时停止运动，过点作于点.若的面积为，的长为，则下列能反映与之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①如图，当点P从点A出发运动到点B之前，
∵为等边三角形，
∴∠A=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=30°，
∵AQ=x，
∴AP=2AQ=2x，
∴由勾股定理，得，
∴，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，A、B不符合题意；
②当点P过了B点向C点运动，如图，
∵为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵PQ⊥AC，
∴∠PQC=90°，
∴∠CPQ=30°，
设的边长为m，则AC=m，
∵AQ=x，
∴CQ=m-x，
∴PC=2CQ=2（m-x），
∴由勾股定理，得，
∴，
∴此时函数图象为开口向下的抛物线，C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先分类讨论：①当点P从点A出发运动到点B之前，根据等边三角形的性质、三角新内角和定理得∠APQ=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得AP=2AQ=2x，利用勾股定理求出PQ的值，接下来利用三角形面积公式得y关于x的函数表达式，即可判断A、B不符合题意；②当点P过了B点向C点运动，同理求出y关于x的函数表达式，即可判断C不符合题意，D符合题意.
11．（2024九上·长沙开学考）若 ，则 = ．
【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴=(x-1+1)2=1
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式分解因式，然后再整体代入即可算出答案。
12．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
13．（2024九上·长沙开学考）二次函数y=2x2
-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 ，最小值是 .
【答案】35；3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ∵y=2x2 -4x+5=2（x-1）2+3
∵a=2＞0
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大
∴在-3≤x≤4时
当x=1时，y有最小值为3
当x=-3时，y有最大值为：2×9+12+5=35
故答案为：35；3
【分析】.先将二次函数的解析式转化为顶点式，求出对称轴，再根据二次函数的增减性及x的取值范围，就可得出y的最大值及最小值。
14．（2024九上·长沙开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
15．（2024九上·长沙开学考）设，是方程的两个实数根，则的值为 .
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意
，是方程的两个实数根
故答案为：2023
【分析】根据韦达定理可知两根之和，根据一元二次方程根的意义可知a2+a的和，利用等量代换和整体代换的思想可求代数式的值。
16．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图，设AB、EF分别于y轴交于点M、N，
∵点A（2，4）在抛物线上，
∴4=4a，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：，
∴抛物线的对称轴为x=0，
根据抛物线的对称性，得DN=CM，FN=EN，
当四边形CDFE为正方形时，易证四边形MNEC为矩形，
∴设CD=CE=EF=MN=2x，
∴EN=FN=CM=DM=x，
∵A（2，4），
∴MO=4，
∴NO=MO-MN=4-x，
∴E(x，4-2x)，代入抛物线中，得，
解得：，(舍去)，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB、EF分别于y轴交于点M、N，把点A坐标代入抛物线表达式求出a的值，得抛物线的表达式为：，根据抛物线的对称性得DN=CM，FN=EN，然后根据正方形的性质易证四边形MNEC为矩形，从而设CD=CE=EF=MN=2x，得EN=FN=CM=DM=x，进而求出E点的坐标，代入抛物线表达式得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，即可求解.
17．（2024九上·长沙开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“直接开平方法”对一元二次方程进行求解；
（2）利用“因式分解法”对一元二次方程进行求解.
（1）解：
；
（2）解：
或
．
18．（2024九上·长沙开学考）近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、B为比较满意、C为一般、D为不太满意．并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题：
“课后服务满意度调查”条形统计图 “课后服务满意度调查”扇形统计图
（1）参与这次调查的学生家长共计______人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是______．
（2）将图中的统计图补充完整．
（3）若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？
【答案】（1）60，54°；
（2）解：补全的统计图如下：
（3）解：（人），
∴若该校学生共有900名，则估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）36÷60%=60（人），
∴类别C的人数为：60-（10+36+5）=9（人），
∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：60，54°.
【分析】（1）根据类别B的人数和所占的百分比得到参加此次调查的总人数，然后用总人数减去其它类别的人数和，即可求出类别C的人数，接下来即可据此求得C所对应扇形的圆心角的度数；
（2）由（1）中求得的数据补全统计图；
（3）用样本估计总体，用样本所占比乘总人数900进行求解.
（1）解：（人），即参与这次调查的学生家长共计60人，
C的人数（人），
，即扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是．
故答案为：60，；
（2）解：补全条形统计图如图所示，
；
（3）解：（人），
答：估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.
19．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵M、N分别是和的中点，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形，
∵，点M是AB中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∵，
∴，
∵BC=2，
∴，
∴，
∵M是AB中点，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，从而得AM=CN，进而证出四边形是平行四边形，根据等腰三角形“三线合一”性质得出，则∠CMA=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证结论；
（2）由（1）得∠BMC=90°，从而求出∠BCM=30°，进而利用含30°的直角三角形的性质得BM的值，利用勾股定理求出CM的值，即可得AB的值，最后利用平行四边形面积公式进行计算.
20．（2024九上·长沙开学考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴的值为-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）由一元二次方程根与系数的关系把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案.
21．（2024九上·长沙开学考）已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为．
（1）求的值；
（2）若该抛物线的顶点为，求的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点，
∴令，
∴，
∴①，
∵线段AB的长为，
∴，
∴②，
∴①-②，得2m=2，
∴m=1；
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
∴，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令令，利用一元二次方程根的判别式得，从而利用完全平方公式求出，然后根据题意得，从而利用完全平方公式得，接下来①-②得2m=2，即可求出m的值；
（2）由（1）得抛物线的表达式为，从而求出顶点，接下来利用三角形面积公式进行求解.
（1）解：令，
，
，即，
，
，即，
，
；
（2）解：由（1）知，则抛物线为，
抛物线顶点坐标为，
．
22．（2024九上·长沙开学考）某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为，
依据题意，得：，
解得：（舍去），，
∴2、3这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设台灯每个降价元，
依据题意，得：，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴台灯售价为：40-5=35（元），
答：若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为35元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2、3这两个月销售量的月平均增长率为，根据“ 1月份销售256个，3月份的销售量达到400个”列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，注意增长率是百分数且要符合题意；
（2）设台灯每个降价元，根据“ 每个降价1元，销售量可增加4个， 4月份销售这种台灯获利4200元 ，台灯进价为25元，未降价前以40元出售”列出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值，即可求解.
23．（2024九上·长沙开学考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”．
（1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：
（2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式：
（3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解方程组①，得，
解方程组②，得，
∴该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”分别为（1，1），；
（2）解：∵二次函数图象可以由二次函数平移得到，
∴a=-1，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数的顶点为（h，k），
∵该顶点是一个“朴实点”，
∴h=k，
∴二次函数的表达式为，
又∵该二次函数图象还经过一个“沉毅点”P（3，m），
∴3+m=0，
∴m=-3，
∴P（3，-3），代入得：，
解得：h1=1，h2=6，
∴该二次函数的解析式为或；
（3）解：∵二次函数图像的顶点为M，
∴，
当时，，
∴，
设直线l的表达式为：，
把代入表达式，得，
解得：，
∴直线l的表达式为：，
∵经过点M、N的直线l上存在无数个“朴实点”，
∴直线l与直线y=x重合，
∴-2c=1，2c2+d=0，
∴，，
∴二次函数的表达式为：，
∴当，抛物线在顶点处的最小值为，
∵当，函数有最小值，
∴不可能在和之间，
①当时，有，函数取得最小值，
∴，
解得：，（舍去）；
②当时，有，函数取得最小值，
∴，
解得：，（舍去），
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据新定义得，解两个方程组，即可求解；
（2）根据二次函数平移的规律求出a=-1，接下来根据“朴实点”、“沉毅点”的定义得h=k，3+m=0，得m=3，即“沉毅点”P（3，-3），将P的坐标代入得，解方程求出h的值，再分类讨论即可；
（3）由题意得，点，，设直线l的表达式为，利用待定系数法求出直线l的表达式为，再由“经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，”，得直线l和重合，进而有-2c=1，2c2+d=0，解方程求出c、d的值，得二次函数的表达式为，根据题意得不可能在和之间，最后进行分类讨论：当时，有，函数取得最小值；②当时，有，函数取得最小值.
（1）解：由题意得：，即，
解得：，
“朴实点”为，
当时，即，
解得：，
“沉毅点”为：；
（2）解：二次函数图象可以由二次函数平移得到，
则抛物线的表达式为：．
∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即，
∴抛物线的表达式为：
∵还经过一个“沉毅点”，
即，
将点代入抛物线表达式得：则，
解得：或6，
即抛物线的表达式为：或；
（3）解：由题意得，点，
当时，，
即点N的坐标为：，
设直线的表达式为：，
将点M的坐标代入上式得：，解得：，
直线的表达式为：，
经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合，
且，
解得：，．
抛物线的表达式为：.
当，函数有最小值，
抛物线在顶点处的最小值为，
不可能在和之间．
当时，当时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
当时，
当时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述，．
24．（2024九上·长沙开学考）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
（1）如图（1），已知平分，，则 ；
（2）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
（3）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
【答案】（1）75
（2）解：如图2，过点作，
，
∴CD∥NH，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点作，
，∴MG∥CD，
∵∠BEM=40°，
，，，，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性得MG∥CD，由平行四边形的性质得，，，同时求出∠AEM的度数，然后根据角平分线的定义得、的度数，从而得，即可求出的度数；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
1 / 1湖南省长沙市-长郡外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2024九上·长沙开学考）化简的结果是( )
A．10 B． C． D．20
2．（2024九上·长沙开学考）二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·长沙开学考）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
4．（2024九上·长沙开学考）一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024九上·长沙开学考）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x>0 B． C． D．
6．（2024九上·长沙开学考）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·长沙开学考）一组数据：5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．4. 5，4 B．3.5，4 C．4，4 D．5，4
8．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，6） D．（6，2）
9．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·长沙开学考）如图，为等边三角形，点从点出发沿路径匀速运动到点，到达点时停止运动，过点作于点.若的面积为，的长为，则下列能反映与之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·长沙开学考）若 ，则 = ．
12．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
13．（2024九上·长沙开学考）二次函数y=2x2
-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 ，最小值是 .
14．（2024九上·长沙开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
15．（2024九上·长沙开学考）设，是方程的两个实数根，则的值为 .
16．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
17．（2024九上·长沙开学考）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·长沙开学考）近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、B为比较满意、C为一般、D为不太满意．并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题：
“课后服务满意度调查”条形统计图 “课后服务满意度调查”扇形统计图
（1）参与这次调查的学生家长共计______人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是______．
（2）将图中的统计图补充完整．
（3）若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？
19．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求平行四边形的面积．
20．（2024九上·长沙开学考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
21．（2024九上·长沙开学考）已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为．
（1）求的值；
（2）若该抛物线的顶点为，求的面积．
22．（2024九上·长沙开学考）某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？
23．（2024九上·长沙开学考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”．
（1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：
（2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式：
（3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值．
24．（2024九上·长沙开学考）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
（1）如图（1），已知平分，，则 ；
（2）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
（3）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题应将根号内的数进行化简，化成两个数的积，使其中一个因数为平方数，再对原式开方即可。
【解答】，
故选B.
【点评】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目常常是先将根号内的数拆成两个相乘的数再开方。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次函数图象顶点坐标为： .
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的顶点坐标为（h，k）即可直接得出答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵-3＜0，∴图象经过二、四象限；
又∵5＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限.
所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】一次项系数-3＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使式子有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别取OA、OB的中点C、D，
∴CD是的中位线，
∵CD=20，
∴AB=2CD=2×20=40，即A、B之间的距离为40m，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理得AB=2CD，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据按从小到大排列得，3、4、4、5、6、8，∴这组数据的中位数是：，众数是：4，
故答案为：A.
【分析】先把这组数据按从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数的定义进行求解.
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴根据图象得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】由函数图象，直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围，即可求出关于x的不等式的解集.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①如图，当点P从点A出发运动到点B之前，
∵为等边三角形，
∴∠A=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=30°，
∵AQ=x，
∴AP=2AQ=2x，
∴由勾股定理，得，
∴，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，A、B不符合题意；
②当点P过了B点向C点运动，如图，
∵为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵PQ⊥AC，
∴∠PQC=90°，
∴∠CPQ=30°，
设的边长为m，则AC=m，
∵AQ=x，
∴CQ=m-x，
∴PC=2CQ=2（m-x），
∴由勾股定理，得，
∴，
∴此时函数图象为开口向下的抛物线，C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先分类讨论：①当点P从点A出发运动到点B之前，根据等边三角形的性质、三角新内角和定理得∠APQ=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得AP=2AQ=2x，利用勾股定理求出PQ的值，接下来利用三角形面积公式得y关于x的函数表达式，即可判断A、B不符合题意；②当点P过了B点向C点运动，同理求出y关于x的函数表达式，即可判断C不符合题意，D符合题意.
11．【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵ ，
∴=(x-1+1)2=1
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式分解因式，然后再整体代入即可算出答案。
12．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
13．【答案】35；3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ∵y=2x2 -4x+5=2（x-1）2+3
∵a=2＞0
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大
∴在-3≤x≤4时
当x=1时，y有最小值为3
当x=-3时，y有最大值为：2×9+12+5=35
故答案为：35；3
【分析】.先将二次函数的解析式转化为顶点式，求出对称轴，再根据二次函数的增减性及x的取值范围，就可得出y的最大值及最小值。
14．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
15．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意
，是方程的两个实数根
故答案为：2023
【分析】根据韦达定理可知两根之和，根据一元二次方程根的意义可知a2+a的和，利用等量代换和整体代换的思想可求代数式的值。
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图，设AB、EF分别于y轴交于点M、N，
∵点A（2，4）在抛物线上，
∴4=4a，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：，
∴抛物线的对称轴为x=0，
根据抛物线的对称性，得DN=CM，FN=EN，
当四边形CDFE为正方形时，易证四边形MNEC为矩形，
∴设CD=CE=EF=MN=2x，
∴EN=FN=CM=DM=x，
∵A（2，4），
∴MO=4，
∴NO=MO-MN=4-x，
∴E(x，4-2x)，代入抛物线中，得，
解得：，(舍去)，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB、EF分别于y轴交于点M、N，把点A坐标代入抛物线表达式求出a的值，得抛物线的表达式为：，根据抛物线的对称性得DN=CM，FN=EN，然后根据正方形的性质易证四边形MNEC为矩形，从而设CD=CE=EF=MN=2x，得EN=FN=CM=DM=x，进而求出E点的坐标，代入抛物线表达式得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，即可求解.
17．【答案】（1）解： ∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“直接开平方法”对一元二次方程进行求解；
（2）利用“因式分解法”对一元二次方程进行求解.
（1）解：
；
（2）解：
或
．
18．【答案】（1）60，54°；
（2）解：补全的统计图如下：
（3）解：（人），
∴若该校学生共有900名，则估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）36÷60%=60（人），
∴类别C的人数为：60-（10+36+5）=9（人），
∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：60，54°.
【分析】（1）根据类别B的人数和所占的百分比得到参加此次调查的总人数，然后用总人数减去其它类别的人数和，即可求出类别C的人数，接下来即可据此求得C所对应扇形的圆心角的度数；
（2）由（1）中求得的数据补全统计图；
（3）用样本估计总体，用样本所占比乘总人数900进行求解.
（1）解：（人），即参与这次调查的学生家长共计60人，
C的人数（人），
，即扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是．
故答案为：60，；
（2）解：补全条形统计图如图所示，
；
（3）解：（人），
答：估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵M、N分别是和的中点，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形，
∵，点M是AB中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∵，
∴，
∵BC=2，
∴，
∴，
∵M是AB中点，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，从而得AM=CN，进而证出四边形是平行四边形，根据等腰三角形“三线合一”性质得出，则∠CMA=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证结论；
（2）由（1）得∠BMC=90°，从而求出∠BCM=30°，进而利用含30°的直角三角形的性质得BM的值，利用勾股定理求出CM的值，即可得AB的值，最后利用平行四边形面积公式进行计算.
20．【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴的值为-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）由一元二次方程根与系数的关系把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案.
21．【答案】（1）解：∵抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点，
∴令，
∴，
∴①，
∵线段AB的长为，
∴，
∴②，
∴①-②，得2m=2，
∴m=1；
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
∴，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）令令，利用一元二次方程根的判别式得，从而利用完全平方公式求出，然后根据题意得，从而利用完全平方公式得，接下来①-②得2m=2，即可求出m的值；
（2）由（1）得抛物线的表达式为，从而求出顶点，接下来利用三角形面积公式进行求解.
（1）解：令，
，
，即，
，
，即，
，
；
（2）解：由（1）知，则抛物线为，
抛物线顶点坐标为，
．
22．【答案】（1）解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为，
依据题意，得：，
解得：（舍去），，
∴2、3这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设台灯每个降价元，
依据题意，得：，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴台灯售价为：40-5=35（元），
答：若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为35元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2、3这两个月销售量的月平均增长率为，根据“ 1月份销售256个，3月份的销售量达到400个”列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，注意增长率是百分数且要符合题意；
（2）设台灯每个降价元，根据“ 每个降价1元，销售量可增加4个， 4月份销售这种台灯获利4200元 ，台灯进价为25元，未降价前以40元出售”列出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值，即可求解.
23．【答案】（1）解：根据题意，得，
解方程组①，得，
解方程组②，得，
∴该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”分别为（1，1），；
（2）解：∵二次函数图象可以由二次函数平移得到，
∴a=-1，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数的顶点为（h，k），
∵该顶点是一个“朴实点”，
∴h=k，
∴二次函数的表达式为，
又∵该二次函数图象还经过一个“沉毅点”P（3，m），
∴3+m=0，
∴m=-3，
∴P（3，-3），代入得：，
解得：h1=1，h2=6，
∴该二次函数的解析式为或；
（3）解：∵二次函数图像的顶点为M，
∴，
当时，，
∴，
设直线l的表达式为：，
把代入表达式，得，
解得：，
∴直线l的表达式为：，
∵经过点M、N的直线l上存在无数个“朴实点”，
∴直线l与直线y=x重合，
∴-2c=1，2c2+d=0，
∴，，
∴二次函数的表达式为：，
∴当，抛物线在顶点处的最小值为，
∵当，函数有最小值，
∴不可能在和之间，
①当时，有，函数取得最小值，
∴，
解得：，（舍去）；
②当时，有，函数取得最小值，
∴，
解得：，（舍去），
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据新定义得，解两个方程组，即可求解；
（2）根据二次函数平移的规律求出a=-1，接下来根据“朴实点”、“沉毅点”的定义得h=k，3+m=0，得m=3，即“沉毅点”P（3，-3），将P的坐标代入得，解方程求出h的值，再分类讨论即可；
（3）由题意得，点，，设直线l的表达式为，利用待定系数法求出直线l的表达式为，再由“经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，”，得直线l和重合，进而有-2c=1，2c2+d=0，解方程求出c、d的值，得二次函数的表达式为，根据题意得不可能在和之间，最后进行分类讨论：当时，有，函数取得最小值；②当时，有，函数取得最小值.
（1）解：由题意得：，即，
解得：，
“朴实点”为，
当时，即，
解得：，
“沉毅点”为：；
（2）解：二次函数图象可以由二次函数平移得到，
则抛物线的表达式为：．
∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即，
∴抛物线的表达式为：
∵还经过一个“沉毅点”，
即，
将点代入抛物线表达式得：则，
解得：或6，
即抛物线的表达式为：或；
（3）解：由题意得，点，
当时，，
即点N的坐标为：，
设直线的表达式为：，
将点M的坐标代入上式得：，解得：，
直线的表达式为：，
经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合，
且，
解得：，．
抛物线的表达式为：.
当，函数有最小值，
抛物线在顶点处的最小值为，
不可能在和之间．
当时，当时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
当时，
当时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述，．
24．【答案】（1）75
（2）解：如图2，过点作，
，
∴CD∥NH，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点作，
，∴MG∥CD，
∵∠BEM=40°，
，，，，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性得MG∥CD，由平行四边形的性质得，，，同时求出∠AEM的度数，然后根据角平分线的定义得、的度数，从而得，即可求出的度数；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
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