江西省宜春市丰城中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·丰城开学考）下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可求解.
2．（2024九上·丰城开学考）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意三点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．垂直弦的直线必过圆心
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】根据不共线的三点确定一个圆、垂径定理的推论和圆的有关性质分别判断。
【解答】不共线的三点确定一个圆，所以A选项不正确；
平分（非直径)弦的直径垂直于弦，所以B选项不正确；
圆既是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以C选项正确；
弦的垂直平分线必过圆心，所以D选项不正确；
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分（非直径)弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心．也考查了不共线的三点确定一个圆以及有关圆的性质。
3．（2024九上·丰城开学考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、根据二次函数的图象，得：a<0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故A符合题意；
B、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故B不符合题意；
C、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a>0，b>0，故C不符合题意；
D、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b>0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数、一次函数图象与字母系数的关系，分别得二次函数、一次函数图象下a、b的正负，逐项进行判断即可.
4．（2024九上·丰城开学考）一个不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球，8个绿球，这些小球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵20个小球中，有12个红球，
∴从袋子中随机摸出一个小球是红球的概率是.
故答案为：D.
【分析】利用红球的数量除以小球总数即可求出摸到红球的概率.
5．（2024九上·丰城开学考）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意，得所对的圆周角为∠BAC、所对的圆周角为∠BAC，
∴，
∵的度数是，
∴的度数是，
∵AC为直径，
∴的度数是，
故答案为：B．
【分析】根据题意得所对的圆周角为∠BAC、所对的圆周角为∠BAC，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”得，从而求出的度数为，由AC为直径，进而得的度数.
6．（2024九上·丰城开学考）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：①当顶点P与B（1，3）重合，即抛物线对称轴为直线x=1时，点N的横坐标有最大值为4，
∴N（4，0），
∴M（-2，0），
②当顶点P与A（-2，3）重合，即抛物线的对称轴为直线x=-2时，点M的横坐标取得最小值，
∴当顶点P从B点运动到A点，即将①中的M点向左平移1-（-2）=3个单位长度，得M（-5，0），
∴点M的横坐标的最小值为-5，
故答案为：C．
【分析】根据顶点P在线段上移动，可知：①当顶点P与B重合，点N的横坐标有最大值为4；②当顶点P与A重合，点M的横坐标取得最小值，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值.
7．（2024九上·丰城开学考）如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为 °．
【答案】60
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°，
∵，
∴∠B'=∠ABC=70°，CB=CB'，∠A=∠A'=20°，
∴∠CBB'=∠B'=70°，
∴∠A'BD=180°-70°-70°=40°，
∴∠BDC=∠A'+∠A'BD=20°+40°=60°，
故答案为：60.
【分析】先求出∠ABC=70°，根据全等三角形的性质得∠B'=∠ABC=70°，CB=CB'，∠A=∠A'=20°，然后利用“等边对等角”性质得∠CBB'=∠B'=70°，进而求出∠A'BD=40°，最后利用三角形外角性质求出∠BDC=∠A'+∠A'BD.
8．（2024九上·丰城开学考）如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ．
【答案】45
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵AB=30，
∴OC=OD=15，
∵CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD，
∵长为6π，
∴，
故答案为：45π．
【分析】连接OC、OD，先求出OC=OD=15，接下来由同底等高的三角形面积相等得S△ACD=S△OCD，从而有S阴影=S扇形OCD，接下来利用扇形的计算公式：，其中l为扇形弧长，r是扇形半径，即可求解.
9．（2024九上·丰城开学考）如图，点A在函数y＝（x>0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°，，OB=n，
∴，，
∵OA=4，
∴(AB+OB)2=AB2+OB2+2AB OB=42+2×4=24，
解得：或（舍去），
∴
故答案为：.
【分析】设，求出∠ABO=90°，，OB=n，利用勾股定理得，同时求出，利用完全平方公式得(AB+OB)2=24，从而解出AB+OB的值，最后求AB+OB+OA的值即可.
10．（2024九上·丰城开学考）RtABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则其内心和外心之间的距离是 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图，作Rt△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，ON⊥AB于N，取AB中点M，连接OM、CM，
∴∠CDO=∠CEO=∠ONM=90°，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，
∴OD=OE=ON=r，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理得AB=10，
∵∠CDO=∠CEO=90°，
∴∠CDO=∠CEO=∠C=90°，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE＝CD＝OD=r，
∴AE＝AN＝8﹣r，BD＝BN＝6﹣r，
∴8﹣r+6﹣r＝10，
解得：r＝2，
∴ON=2，AN＝6，
又∵M是AB中点，∠C=90°，
∴，
∴AM为外接圆半径，即M为外接圆圆心，MN＝AN﹣AM＝1，
∵∠ONM=90°，
∴由勾股定理得
故答案为：．
【分析】作Rt△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，ON⊥AB于N，取AB中点M，连接OM、CM，得∠CDO=∠CEO=∠ONM=90°，设OD=OE=ON=r，利用勾股定理求出AB=10，易证四边形OECD是正方形，根据正方形的性质得CE＝CD＝OD=r，从而利用切线长定理得AE＝AN＝8﹣r，BD＝BN＝6﹣r，进而得关于r的方程，解方程求出r的值，得ON=2，AN＝6，接下来由直角三角形斜边上的中线性质得，从而可知AM为外接圆半径，即M为外接圆圆心，同时求出MN=1，再利用勾股定理求出OM的值即可.
11．（2024九上·丰城开学考）如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有 .（只需填写结论序号）
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，①错误；
∵抛物线的图象经过点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∴当时，，
∴，②正确；
根据图象得，抛物线与直线有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴关于x的方程有两个相异的实数根，③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴二次函数的最大值为，
∴，
∴，④正确，
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数的图象可知，然后由抛物线的对称轴求出，得，可判断①错误；由对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，当当时，，可判断②正确；根据抛物线的图像得抛物线与直线有两个交点，即可求出有两个不相等的实数根，整理方程后可判断③正确；由抛物线开口向下，得最大值为，即可求出，整理不等式后可判断④正确．
12．（2024九上·丰城开学考）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
【答案】-1或0或-2或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：①当m+1=0，即m=-1时，有，此时一次函数与坐标轴有两个交点为；
②当m+1≠0，即m≠-1时，有，分以下两种情况：
若二次函数经过原点（0，0）时，则，
解得：m=0，
∴二次函数的表达式为，此时二次函数与坐标轴有两个交点为（0，0），（2，0）；
若二次函数不经过原点（0，0）时，有，
解得：m=-2或1．
综上所述，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-1或0或-2或1.
【分析】先分类讨论：①函数为一次函数，则当m+1=0，即m=-1时；②函数为二次函数，则当m+1≠0，即m≠-1时，再分两种情况：若二次函数经过原点时，此时二次函数与x轴还有一个除原点以外的交点，有；若二次函数不经过原点，则抛物线与x轴只有一个交点，得b2-4ac=0，即可求出m的值.
13．（2024九上·丰城开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
14．（2024九上·丰城开学考）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∴共有9种等可能的结果，其中抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果有5种，
∴抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵有A、B、C三个景点的卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为：.
【分析】（1）由简单时间概率的求法进行解答；
（2）根据列表法求出所有的等可能结果数，从而得抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果数，最后利用概率公式进行求解.
（1）解：∵3张卡片中名称为A的只有1张，
∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是；
（2）由题意可列表格如下：
第一次 第二次 A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，
∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为．
15．（2024九上·丰城开学考）某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，
每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两 次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要 想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x． 40×（1﹣x）2=32.4 x=10%或190%（190%不符合题意，舍去） 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%
（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得 （40﹣30﹣y）（ +48）=512， 解得y1=y2=2 ∵有利于减少库存， ∴y=2． 答：每件商品应降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）连续两次下调前的售价（1-降低率）2=连续两次下调后的售价，设未知数列方程求解即可。
（2）降价后：每一件的利润乘以销售量=510，设未知数列方程，求出方程的解，再根据有利于减少库存，就可得出结果。
16．（2024九上·丰城开学考）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴CD垂直平分OA，
∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图，连接OC，CF，EC，
由（1）得△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴，CD垂直平分OA，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，
∴∠COD=120°，
∴
∵∠CDE＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∵CD=6，
∴，∠CFE=90°，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意先证出CD垂直平分OA，由垂直平分线的性质得AD＝OD，从而得OA＝OD＝AD，根据等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得∠OAD=60°；
（2）连接OC，CF，EC，由（1）得∠AOD=60°，根据垂径定理得，CD垂直平分OA，然后根据圆周角定理、垂直平分线的性质求出∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，从而得∠COD=120°，根据圆周角定理求出，接下来证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，∠CFE=90°，解直角三角形求出EF的值，最后计算DE=EF+FD的值即可.
17．（2024九上·丰城开学考）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】解：（1）将A（-2，m）代入，得，
∴A（-2，5），
把A(-2，5)代入，得，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为：，
把代入，得，
∴，
把代入，得2=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵一次函数与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A(-2，5)，B（4，2），
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点和原点型；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）把A（-2，m）代入，求出m的值，从而得A的坐标，进而利用待定系数法求出一次函数的表达式；把B（4，n）代入所求出的一次函数表达式得n的值，从而得B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；（2）先求出点C的坐标，从而得OC的值，利用割补法、三角形面积公式的值即可.
18．（2024九上·丰城开学考）如图，用一根长是的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边长为，它的面积为．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）怎样围，得到的长方形的面积最大？最大是多少？
【答案】（1）解：∵长方形的一边长为xcm，且用一根长是20cm的细绳胃肠一个长方形，
∴长方形的另一边长为，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：由（1）得，
∵-1<0，
∴当x=5，时，y有最大值为25，
∴10-x=10-5=5，
∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式得长方形另一边的长为（10-x）cm，再利用长方形的面积公式得y与x之间的关系式；
（2）由（1）得，然后利用二次函数的性质进行求解.
（1）解：由题意得，长方形的另一边长为，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴当时，y最大，最大值为25，
∴此时，
∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为．
19．（2024九上·丰城开学考）为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明：A：；B：；C：；D：；
②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为：
70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．
③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 73.5 74 84
八 73.5 _______ 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______；
（3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生；
（4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
【答案】（1）解：七年级B等级人数为：（人），七年级D等级人数为：（人），
∴补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）解：∵八年级A等级人数为4人，B等级人数为9人，C等级人数为15人，
∴根据中位数的定义可知八年级这40名学生成绩的中位数是第20、21位学生成绩的平均数，在C等级中，
∵将八年级C等级成绩按从高到低排列为： 70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84，
∴八年级这40名学生成绩的中位数是，
故答案为：；
（3）解：∵七年级的中位数为74，八年级的中位数为，
∴在同样是75分的情况下，七年级的排名更靠前，
∴小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）解：∵七年级竞赛成绩不低于85分的占比为20%，八年级不低于85分的人数为12人，
∴（人），
∴估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据七年级B、D等级所占比乘总人数40计算出七年级B、D等级人数，再补全条形统计图；
（2）根据中位数定义，将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，第20位和第21位的平均数即为中位数；
（3）在均分都是75分的情况下，比较两个年级的中位数，即可求解；
（4）利用样本估计总体，由七、八年级不低于85分的人数所占比分别乘总人数，再求和，即可求解.
20．（2024九上·丰城开学考）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元） … 20 25 30 …
销量（单位：件） … 100 80 60 …
其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
（1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是_____________；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是________________；
（2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
（3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．
【答案】（1），；
（2）解：依据题意，得：，
解得：，
由（1）有，
∴当x=30时，有30=2z-20，
解得：z=25，
∴乙种玩具的总利润是（元）；
（3）解：设这两种玩具每天销售的总利润为元，
依据题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，总利润之和w最大，
∵x，z均为非负整数，且，
∴x必须取非负偶数，
∴当x=34时，总利润之和w最大，此时甲种玩具每件的销售单价为34元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，
根据题意，得，
解得：，
∴乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是：；
②∵乙种玩具每件的进价为15元，每件售价z元，
∴乙种玩具的利润为每件（z-15）元，
∵每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，
∴每件甲种玩具的利润为2（z-15）元，
∵甲种玩具每件的进价为10元，
∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是，
故答案为：，；
【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答；
②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答；
（2）根据题意得关于x的一元二次方程，解方程得x的值，再将x代入，即可求出z的值，从而求出乙种玩具的总利润；
（3）设这两种玩具每天销售的总利润为元，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，但由x，z均为非负整数，且，可知x必须取非负偶数，从而得对称轴顶点处不满足题意，进而有x=34时，w才取得最大值.
21．（2024九上·丰城开学考）如图，在中，，以为直径的经过的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）取的中点，连接，延长交于点，若，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵∠C=45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥OA，
∵OA是的半径，
∴AC是的切线；
（2）解：如图，过点E作作EH⊥OF交AF于H，
∵OE是的半径，
∴EH是的切线，
∵E是的中点，
∴OE⊥AD，AG＝DG，
∴∠AGF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AGF=90°，
∴OF∥BC，
∵∠C=45°，
∴∠EFH＝∠C＝45°，
又∵EH⊥OF，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∵
∴，，
由（1）得AC是⊙O的切线，且EH是的切线，
∴，
∴，
由（1）得∠BAC=90°，且∠EFH=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴，
∴的半径为.
【知识点】垂径定理；切线的判定；切线长定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AD，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠ADB＝90°，从而证出AD垂直平分BC，进而根据垂直平分线的性质得AB＝AC，由“等边对等角”的性质求出∠B＝∠C＝45°，从而得∠BAC＝90°，最后根据切线的判定定理证出结论；
（2）过点E作作EH⊥OF交AF于H，根据切线的判定定理得EH是的切线，然后由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，从而有∠ADC=∠AGF=90°，进而证出OF∥BC，得∠EFH＝∠C＝45°，证出△EFH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，接下来由切线长定理得，从而得，再证出△AOF是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质得，即可求解.
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180° 45° 45°＝90°，
∴AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：
则EH是⊙O的切线，
∵E是的中点，
∴OE⊥AD，AG＝DG，
∵AD⊥BC，
∴OF∥BC，
∴∠EFH＝∠C＝45°，
∵EH⊥OF，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2，
∵AC是⊙O的切线，
∴AH＝EH＝，
∴AF＝AH＋FH＝＋2，
由（1）得：∠BAC＝90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OA＝AF＝＋2，
即⊙O的半径为＋2．
22．（2024九上·丰城开学考）已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长；
②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______；
（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；
（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为-1，求，的值．
【答案】解：（1）①如图，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠MNB=90°，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=45°，，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN=∠ABM=45°，
∴∠MBN=90°-45°=45°，
∴∠BMN=∠MBN，
∴MN=BN，
∴△MNB为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设B（n，n），代入抛物线，得，
解得：，（舍去），
∴MN=BN=1，
∴AB=2；
②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”全等，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等；
（2）∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，即AB=4，
∴当a>0时，由（1）得B（n，n+4），AB=2n=4，
解得：n=2，
∴B（2，6），
把B（2，6）代入，得6=4a+4，
解得：，
当a<0，由（1）得B（n，4-n），AB=2n=4，
解得：n=2，
∴B（2，2），
把B（2，2）代入，得2=4a+4，
解得：，
综上所述，；
（3）∵为-1，
∴，
∴，
∵抛物线的“完美三角形”斜边长为，
∴抛物线的“完美三角形”斜边长为，
∴由（1）得点坐标为，代入抛物线，得，
∵n＞0
∴，
∴-2-4m-1=0，
∴，
∴.
【知识点】等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①过点作轴于，得∠MNB=90°，根据题目中的新定义可知△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=45°，，然后求出△MNB也为等腰直角三角形，从而得，进而得，
设B（n，n），代入抛物线的解析式即可求出n的值，从而得MN=BN=1，进而求出AB=2；②由抛物线与的形状相同，抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”全等，根据全等三角形对应边相等的性质即可得出数量关系为相等；
（2）当a>0时，由（1）得B（n，n+4），AB=2n=4，即可得B（2，6），代入抛物线表达式求出a的值；当a<0，由（1）得B（n，4-n），AB=2n=4，同理求出a的值；
（3）根据的最大值为－1，得，整理化简为，由抛物线的“完美三角形”斜边长为，得抛物线的“完美三角形”斜边长为，从而由（1）得出点坐标，代入抛物线表达式化简后可得mn=-2，从而求出m的值，进而求出n的值．
23．（2024九上·丰城开学考）在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
【问题提出】
（1）如图①，在中，点D为斜边AB上的一点，，，且四边形是正方形，小明运用图形旋转的方法，将绕点D逆时针旋转，得到（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ；
【问题探究】
（2）如图③，在四边形中，，，，，过点A作，垂足为E，求AE的长；
【问题解决】
（3）如图④，在四边形中，，，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若，，求的面积．
【答案】解：（1）∵四边形DECF是正方形，
∴∠DEC=∠DFC=∠EDF=90°，
∴∠AED=∠DFB=90°，∠ADE+∠BDF=90°，
∵将绕点D逆时针旋转90°得到，BD=1，
∴∠GED=∠DFB=90°，BD=DG=1，∠BDF=∠GDE，
∴∠AED+∠GED=90°+90°=180°，∠ADE+∠GDE=∠ADG=90°，
∴A、E、G三点共线，
∵AD=2，
∴，
故答案为：1；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，交CD延长线于H，
∴∠H=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠H=90°，
∵∠BAD=∠C=90°，
∴∠B+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∵∠ADC+∠ADH=180°，
∴∠B=∠ADH，
在和中，
，
∴，
∴，AH=AE，
∵∠AEC=∠C=∠H=90°，
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴CH+CE=DH+CD+BC-BE=3+5=8，
∴，
∴，
∴AE的长是4；
（3）如图，过点B作BK⊥DC于K，过点E作EL⊥AB，交AB延长线于L，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵AB=2，
∴，，
∵CD=4，
∴，
∵ 将BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是2．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质、旋转的性质证出∠AED+∠GED=180°，∠ADG=90°，从而得A、E、G三点共线，然后利用三角形面积公式求的值即可；
（2）过点A作AH⊥CD，交CD延长线于H，得∠AEB=∠AEC=∠H=90°，利用四边形内角和证出∠B=∠ADH，然后利用全等三角形判定定理”AAS“证出，得，AH=AE，再证明四边形是正方形，得，从而有CH+CE=DH+CD+BC-BE=3+5=8，进而得，即可求出AE的长；
（3）过点B作BK⊥DC于K，过点E作EL⊥AB，交AB延长线于L，得，然后易证四边形是矩形，根据矩形的性质得DK=AB=2，，求出CK=2，根据旋转的性质得，，则，接下来利用全等三角形判定定理”AAS“证明，根据全等三角形对应边星等得，最后利用三角形面积公式求得．
1 / 1江西省宜春市丰城中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·丰城开学考）下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·丰城开学考）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意三点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．垂直弦的直线必过圆心
3．（2024九上·丰城开学考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·丰城开学考）一个不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球，8个绿球，这些小球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·丰城开学考）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·丰城开学考）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·丰城开学考）如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为 °．
8．（2024九上·丰城开学考）如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ．
9．（2024九上·丰城开学考）如图，点A在函数y＝（x>0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为 ．
10．（2024九上·丰城开学考）RtABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则其内心和外心之间的距离是 ．
11．（2024九上·丰城开学考）如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有 .（只需填写结论序号）
12．（2024九上·丰城开学考）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
13．（2024九上·丰城开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
14．（2024九上·丰城开学考）将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
15．（2024九上·丰城开学考）某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，
每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两 次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要 想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？
16．（2024九上·丰城开学考）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
17．（2024九上·丰城开学考）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
18．（2024九上·丰城开学考）如图，用一根长是的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边长为，它的面积为．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）怎样围，得到的长方形的面积最大？最大是多少？
19．（2024九上·丰城开学考）为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明：A：；B：；C：；D：；
②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为：
70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．
③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 73.5 74 84
八 73.5 _______ 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______；
（3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生；
（4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
20．（2024九上·丰城开学考）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元） … 20 25 30 …
销量（单位：件） … 100 80 60 …
其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
（1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是_____________；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是________________；
（2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
（3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．
21．（2024九上·丰城开学考）如图，在中，，以为直径的经过的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）取的中点，连接，延长交于点，若，求的半径．
22．（2024九上·丰城开学考）已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长；
②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______；
（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；
（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为-1，求，的值．
23．（2024九上·丰城开学考）在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
【问题提出】
（1）如图①，在中，点D为斜边AB上的一点，，，且四边形是正方形，小明运用图形旋转的方法，将绕点D逆时针旋转，得到（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ；
【问题探究】
（2）如图③，在四边形中，，，，，过点A作，垂足为E，求AE的长；
【问题解决】
（3）如图④，在四边形中，，，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】根据不共线的三点确定一个圆、垂径定理的推论和圆的有关性质分别判断。
【解答】不共线的三点确定一个圆，所以A选项不正确；
平分（非直径)弦的直径垂直于弦，所以B选项不正确；
圆既是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以C选项正确；
弦的垂直平分线必过圆心，所以D选项不正确；
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分（非直径)弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心．也考查了不共线的三点确定一个圆以及有关圆的性质。
3．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、根据二次函数的图象，得：a<0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故A符合题意；
B、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故B不符合题意；
C、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b<0，根据一次函数的图象，得：a>0，b>0，故C不符合题意；
D、根据二次函数的图象，得：a>0，对称轴，则b>0，根据一次函数的图象，得：a<0，b<0，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数、一次函数图象与字母系数的关系，分别得二次函数、一次函数图象下a、b的正负，逐项进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵20个小球中，有12个红球，
∴从袋子中随机摸出一个小球是红球的概率是.
故答案为：D.
【分析】利用红球的数量除以小球总数即可求出摸到红球的概率.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意，得所对的圆周角为∠BAC、所对的圆周角为∠BAC，
∴，
∵的度数是，
∴的度数是，
∵AC为直径，
∴的度数是，
故答案为：B．
【分析】根据题意得所对的圆周角为∠BAC、所对的圆周角为∠BAC，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”得，从而求出的度数为，由AC为直径，进而得的度数.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：①当顶点P与B（1，3）重合，即抛物线对称轴为直线x=1时，点N的横坐标有最大值为4，
∴N（4，0），
∴M（-2，0），
②当顶点P与A（-2，3）重合，即抛物线的对称轴为直线x=-2时，点M的横坐标取得最小值，
∴当顶点P从B点运动到A点，即将①中的M点向左平移1-（-2）=3个单位长度，得M（-5，0），
∴点M的横坐标的最小值为-5，
故答案为：C．
【分析】根据顶点P在线段上移动，可知：①当顶点P与B重合，点N的横坐标有最大值为4；②当顶点P与A重合，点M的横坐标取得最小值，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值.
7．【答案】60
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°，
∵，
∴∠B'=∠ABC=70°，CB=CB'，∠A=∠A'=20°，
∴∠CBB'=∠B'=70°，
∴∠A'BD=180°-70°-70°=40°，
∴∠BDC=∠A'+∠A'BD=20°+40°=60°，
故答案为：60.
【分析】先求出∠ABC=70°，根据全等三角形的性质得∠B'=∠ABC=70°，CB=CB'，∠A=∠A'=20°，然后利用“等边对等角”性质得∠CBB'=∠B'=70°，进而求出∠A'BD=40°，最后利用三角形外角性质求出∠BDC=∠A'+∠A'BD.
8．【答案】45
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵AB=30，
∴OC=OD=15，
∵CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD，
∵长为6π，
∴，
故答案为：45π．
【分析】连接OC、OD，先求出OC=OD=15，接下来由同底等高的三角形面积相等得S△ACD=S△OCD，从而有S阴影=S扇形OCD，接下来利用扇形的计算公式：，其中l为扇形弧长，r是扇形半径，即可求解.
9．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°，，OB=n，
∴，，
∵OA=4，
∴(AB+OB)2=AB2+OB2+2AB OB=42+2×4=24，
解得：或（舍去），
∴
故答案为：.
【分析】设，求出∠ABO=90°，，OB=n，利用勾股定理得，同时求出，利用完全平方公式得(AB+OB)2=24，从而解出AB+OB的值，最后求AB+OB+OA的值即可.
10．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图，作Rt△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，ON⊥AB于N，取AB中点M，连接OM、CM，
∴∠CDO=∠CEO=∠ONM=90°，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，
∴OD=OE=ON=r，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理得AB=10，
∵∠CDO=∠CEO=90°，
∴∠CDO=∠CEO=∠C=90°，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE＝CD＝OD=r，
∴AE＝AN＝8﹣r，BD＝BN＝6﹣r，
∴8﹣r+6﹣r＝10，
解得：r＝2，
∴ON=2，AN＝6，
又∵M是AB中点，∠C=90°，
∴，
∴AM为外接圆半径，即M为外接圆圆心，MN＝AN﹣AM＝1，
∵∠ONM=90°，
∴由勾股定理得
故答案为：．
【分析】作Rt△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，ON⊥AB于N，取AB中点M，连接OM、CM，得∠CDO=∠CEO=∠ONM=90°，设OD=OE=ON=r，利用勾股定理求出AB=10，易证四边形OECD是正方形，根据正方形的性质得CE＝CD＝OD=r，从而利用切线长定理得AE＝AN＝8﹣r，BD＝BN＝6﹣r，进而得关于r的方程，解方程求出r的值，得ON=2，AN＝6，接下来由直角三角形斜边上的中线性质得，从而可知AM为外接圆半径，即M为外接圆圆心，同时求出MN=1，再利用勾股定理求出OM的值即可.
11．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，①错误；
∵抛物线的图象经过点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∴当时，，
∴，②正确；
根据图象得，抛物线与直线有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴关于x的方程有两个相异的实数根，③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴二次函数的最大值为，
∴，
∴，④正确，
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数的图象可知，然后由抛物线的对称轴求出，得，可判断①错误；由对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，当当时，，可判断②正确；根据抛物线的图像得抛物线与直线有两个交点，即可求出有两个不相等的实数根，整理方程后可判断③正确；由抛物线开口向下，得最大值为，即可求出，整理不等式后可判断④正确．
12．【答案】-1或0或-2或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：①当m+1=0，即m=-1时，有，此时一次函数与坐标轴有两个交点为；
②当m+1≠0，即m≠-1时，有，分以下两种情况：
若二次函数经过原点（0，0）时，则，
解得：m=0，
∴二次函数的表达式为，此时二次函数与坐标轴有两个交点为（0，0），（2，0）；
若二次函数不经过原点（0，0）时，有，
解得：m=-2或1．
综上所述，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-1或0或-2或1.
【分析】先分类讨论：①函数为一次函数，则当m+1=0，即m=-1时；②函数为二次函数，则当m+1≠0，即m≠-1时，再分两种情况：若二次函数经过原点时，此时二次函数与x轴还有一个除原点以外的交点，有；若二次函数不经过原点，则抛物线与x轴只有一个交点，得b2-4ac=0，即可求出m的值.
13．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
14．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∴共有9种等可能的结果，其中抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果有5种，
∴抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵有A、B、C三个景点的卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为：.
【分析】（1）由简单时间概率的求法进行解答；
（2）根据列表法求出所有的等可能结果数，从而得抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果数，最后利用概率公式进行求解.
（1）解：∵3张卡片中名称为A的只有1张，
∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是；
（2）由题意可列表格如下：
第一次 第二次 A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，
∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为．
15．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x． 40×（1﹣x）2=32.4 x=10%或190%（190%不符合题意，舍去） 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%
（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得 （40﹣30﹣y）（ +48）=512， 解得y1=y2=2 ∵有利于减少库存， ∴y=2． 答：每件商品应降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）连续两次下调前的售价（1-降低率）2=连续两次下调后的售价，设未知数列方程求解即可。
（2）降价后：每一件的利润乘以销售量=510，设未知数列方程，求出方程的解，再根据有利于减少库存，就可得出结果。
16．【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴CD垂直平分OA，
∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图，连接OC，CF，EC，
由（1）得△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴，CD垂直平分OA，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，
∴∠COD=120°，
∴
∵∠CDE＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∵CD=6，
∴，∠CFE=90°，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意先证出CD垂直平分OA，由垂直平分线的性质得AD＝OD，从而得OA＝OD＝AD，根据等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得∠OAD=60°；
（2）连接OC，CF，EC，由（1）得∠AOD=60°，根据垂径定理得，CD垂直平分OA，然后根据圆周角定理、垂直平分线的性质求出∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，从而得∠COD=120°，根据圆周角定理求出，接下来证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，∠CFE=90°，解直角三角形求出EF的值，最后计算DE=EF+FD的值即可.
17．【答案】解：（1）将A（-2，m）代入，得，
∴A（-2，5），
把A(-2，5)代入，得，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为：，
把代入，得，
∴，
把代入，得2=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵一次函数与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A(-2，5)，B（4，2），
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点和原点型；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）把A（-2，m）代入，求出m的值，从而得A的坐标，进而利用待定系数法求出一次函数的表达式；把B（4，n）代入所求出的一次函数表达式得n的值，从而得B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；（2）先求出点C的坐标，从而得OC的值，利用割补法、三角形面积公式的值即可.
18．【答案】（1）解：∵长方形的一边长为xcm，且用一根长是20cm的细绳胃肠一个长方形，
∴长方形的另一边长为，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：由（1）得，
∵-1<0，
∴当x=5，时，y有最大值为25，
∴10-x=10-5=5，
∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式得长方形另一边的长为（10-x）cm，再利用长方形的面积公式得y与x之间的关系式；
（2）由（1）得，然后利用二次函数的性质进行求解.
（1）解：由题意得，长方形的另一边长为，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴当时，y最大，最大值为25，
∴此时，
∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为．
19．【答案】（1）解：七年级B等级人数为：（人），七年级D等级人数为：（人），
∴补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）解：∵八年级A等级人数为4人，B等级人数为9人，C等级人数为15人，
∴根据中位数的定义可知八年级这40名学生成绩的中位数是第20、21位学生成绩的平均数，在C等级中，
∵将八年级C等级成绩按从高到低排列为： 70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84，
∴八年级这40名学生成绩的中位数是，
故答案为：；
（3）解：∵七年级的中位数为74，八年级的中位数为，
∴在同样是75分的情况下，七年级的排名更靠前，
∴小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）解：∵七年级竞赛成绩不低于85分的占比为20%，八年级不低于85分的人数为12人，
∴（人），
∴估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据七年级B、D等级所占比乘总人数40计算出七年级B、D等级人数，再补全条形统计图；
（2）根据中位数定义，将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，第20位和第21位的平均数即为中位数；
（3）在均分都是75分的情况下，比较两个年级的中位数，即可求解；
（4）利用样本估计总体，由七、八年级不低于85分的人数所占比分别乘总人数，再求和，即可求解.
20．【答案】（1），；
（2）解：依据题意，得：，
解得：，
由（1）有，
∴当x=30时，有30=2z-20，
解得：z=25，
∴乙种玩具的总利润是（元）；
（3）解：设这两种玩具每天销售的总利润为元，
依据题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，总利润之和w最大，
∵x，z均为非负整数，且，
∴x必须取非负偶数，
∴当x=34时，总利润之和w最大，此时甲种玩具每件的销售单价为34元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，
根据题意，得，
解得：，
∴乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是：；
②∵乙种玩具每件的进价为15元，每件售价z元，
∴乙种玩具的利润为每件（z-15）元，
∵每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，
∴每件甲种玩具的利润为2（z-15）元，
∵甲种玩具每件的进价为10元，
∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是，
故答案为：，；
【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答；
②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答；
（2）根据题意得关于x的一元二次方程，解方程得x的值，再将x代入，即可求出z的值，从而求出乙种玩具的总利润；
（3）设这两种玩具每天销售的总利润为元，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，但由x，z均为非负整数，且，可知x必须取非负偶数，从而得对称轴顶点处不满足题意，进而有x=34时，w才取得最大值.
21．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵∠C=45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥OA，
∵OA是的半径，
∴AC是的切线；
（2）解：如图，过点E作作EH⊥OF交AF于H，
∵OE是的半径，
∴EH是的切线，
∵E是的中点，
∴OE⊥AD，AG＝DG，
∴∠AGF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AGF=90°，
∴OF∥BC，
∵∠C=45°，
∴∠EFH＝∠C＝45°，
又∵EH⊥OF，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∵
∴，，
由（1）得AC是⊙O的切线，且EH是的切线，
∴，
∴，
由（1）得∠BAC=90°，且∠EFH=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴，
∴的半径为.
【知识点】垂径定理；切线的判定；切线长定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AD，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠ADB＝90°，从而证出AD垂直平分BC，进而根据垂直平分线的性质得AB＝AC，由“等边对等角”的性质求出∠B＝∠C＝45°，从而得∠BAC＝90°，最后根据切线的判定定理证出结论；
（2）过点E作作EH⊥OF交AF于H，根据切线的判定定理得EH是的切线，然后由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，从而有∠ADC=∠AGF=90°，进而证出OF∥BC，得∠EFH＝∠C＝45°，证出△EFH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，接下来由切线长定理得，从而得，再证出△AOF是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质得，即可求解.
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180° 45° 45°＝90°，
∴AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：
则EH是⊙O的切线，
∵E是的中点，
∴OE⊥AD，AG＝DG，
∵AD⊥BC，
∴OF∥BC，
∴∠EFH＝∠C＝45°，
∵EH⊥OF，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2，
∵AC是⊙O的切线，
∴AH＝EH＝，
∴AF＝AH＋FH＝＋2，
由（1）得：∠BAC＝90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OA＝AF＝＋2，
即⊙O的半径为＋2．
22．【答案】解：（1）①如图，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠MNB=90°，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=45°，，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN=∠ABM=45°，
∴∠MBN=90°-45°=45°，
∴∠BMN=∠MBN，
∴MN=BN，
∴△MNB为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设B（n，n），代入抛物线，得，
解得：，（舍去），
∴MN=BN=1，
∴AB=2；
②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”全等，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等；
（2）∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，即AB=4，
∴当a>0时，由（1）得B（n，n+4），AB=2n=4，
解得：n=2，
∴B（2，6），
把B（2，6）代入，得6=4a+4，
解得：，
当a<0，由（1）得B（n，4-n），AB=2n=4，
解得：n=2，
∴B（2，2），
把B（2，2）代入，得2=4a+4，
解得：，
综上所述，；
（3）∵为-1，
∴，
∴，
∵抛物线的“完美三角形”斜边长为，
∴抛物线的“完美三角形”斜边长为，
∴由（1）得点坐标为，代入抛物线，得，
∵n＞0
∴，
∴-2-4m-1=0，
∴，
∴.
【知识点】等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①过点作轴于，得∠MNB=90°，根据题目中的新定义可知△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=45°，，然后求出△MNB也为等腰直角三角形，从而得，进而得，
设B（n，n），代入抛物线的解析式即可求出n的值，从而得MN=BN=1，进而求出AB=2；②由抛物线与的形状相同，抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”全等，根据全等三角形对应边相等的性质即可得出数量关系为相等；
（2）当a>0时，由（1）得B（n，n+4），AB=2n=4，即可得B（2，6），代入抛物线表达式求出a的值；当a<0，由（1）得B（n，4-n），AB=2n=4，同理求出a的值；
（3）根据的最大值为－1，得，整理化简为，由抛物线的“完美三角形”斜边长为，得抛物线的“完美三角形”斜边长为，从而由（1）得出点坐标，代入抛物线表达式化简后可得mn=-2，从而求出m的值，进而求出n的值．
23．【答案】解：（1）∵四边形DECF是正方形，
∴∠DEC=∠DFC=∠EDF=90°，
∴∠AED=∠DFB=90°，∠ADE+∠BDF=90°，
∵将绕点D逆时针旋转90°得到，BD=1，
∴∠GED=∠DFB=90°，BD=DG=1，∠BDF=∠GDE，
∴∠AED+∠GED=90°+90°=180°，∠ADE+∠GDE=∠ADG=90°，
∴A、E、G三点共线，
∵AD=2，
∴，
故答案为：1；
（2）如图，过点A作AH⊥CD，交CD延长线于H，
∴∠H=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠H=90°，
∵∠BAD=∠C=90°，
∴∠B+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∵∠ADC+∠ADH=180°，
∴∠B=∠ADH，
在和中，
，
∴，
∴，AH=AE，
∵∠AEC=∠C=∠H=90°，
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴CH+CE=DH+CD+BC-BE=3+5=8，
∴，
∴，
∴AE的长是4；
（3）如图，过点B作BK⊥DC于K，过点E作EL⊥AB，交AB延长线于L，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵AB=2，
∴，，
∵CD=4，
∴，
∵ 将BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是2．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质、旋转的性质证出∠AED+∠GED=180°，∠ADG=90°，从而得A、E、G三点共线，然后利用三角形面积公式求的值即可；
（2）过点A作AH⊥CD，交CD延长线于H，得∠AEB=∠AEC=∠H=90°，利用四边形内角和证出∠B=∠ADH，然后利用全等三角形判定定理”AAS“证出，得，AH=AE，再证明四边形是正方形，得，从而有CH+CE=DH+CD+BC-BE=3+5=8，进而得，即可求出AE的长；
（3）过点B作BK⊥DC于K，过点E作EL⊥AB，交AB延长线于L，得，然后易证四边形是矩形，根据矩形的性质得DK=AB=2，，求出CK=2，根据旋转的性质得，，则，接下来利用全等三角形判定定理”AAS“证明，根据全等三角形对应边星等得，最后利用三角形面积公式求得．
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