浙江省温州市瑞安市浙江省瑞安中学附属初级中学2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题
1．（2024八上·瑞安开学考）一个三角形的两边长为2和7，则第三边长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∵一个三角形的两边长为2和7，
∴根据三角形的三边关系得：，
解得：，
∴第三边的长可能是7，
故答案为：B．
【分析】设第三边长为x，然后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得关于x的不等式，解不等式求出第三边x的取值范围，再从选项中判断答案即可．
2．（2024八上·瑞安开学考）对不等式进行变形，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由a>b，则不等式左右两边同时乘-2得-2a<-2b，A符合题意；
B、由a>b，则不等式左右两边同时乘2得2a>2b，B不符合题意；
C、由a>b，则不等式左右两边同时加上2得a+2>b+2，C不符合题意；
D、由a>b，则不等式左右两边同时减去2得a-2>b-2，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可求解.
3．（2024八上·瑞安开学考）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：A、作的是BC边上的高，A错误；
B、作的是AB边上的高，B正确；
C、作高的操作方法不正确，C错误；
D、作的是AC边上的高，D错误；
故答案位：B.
【分析】 根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论.
4．（2024八上·瑞安开学考）如图，已知：，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ADB=∠CDB，BD=BD，∠ABD=∠CBD，
∴，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠C，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴，故C不符合题意；
D、添加条件AD=CD后，不能判定，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA、HL（适用两直角三角形），逐项进行判断即可求解.
5．（2024八上·瑞安开学考）不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得x>-1，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为-1
A、表示的解集为-1≤x≤2，A错误；
B、表示对解集为x<-1，B错误；
C、表示的解集为1D、表示的解集为-1故答案为：D．
【分析】根据解一元一次不等式组的解法进行求解，再逐项进行判断即可.
6．（2024八上·瑞安开学考）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵若a＞b，a2＞b2的反例，
∴要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，
∴当a=-1，b=-2时，此时a2＜b2.
故答案为：D
【分析】利用已知若a＞b，a2＞b2的反例，因此要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，观察各选项中的a，b的值，可得答案.
7．（2024八上·瑞安开学考）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图步骤可知：OC=OD，CP=DP，
在和中，
，
∴
故答案为：D．
【分析】根据画图步骤得OC=OD，CP=PD，然后利用全等三角形判定定理“SSS”证出，即可得到答案.
8．（2024八上·瑞安开学考）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；8字模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
∵ ，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】延长交于，利用“8”字模型，结合三角形外角的性质求出的度数，从而得的度数，接下来再根据三角形外角的性质得，进而求出的度数，即可求解.
9．（2024八上·瑞安开学考）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF＝69°，
∴∠DAF＝180°-∠AFD-∠ADF=180°-90°-69°=21°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C＝65°，
∴∠CAD＝180°-∠ADC-∠C=180°-90°-65°=25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝2×46°=92°，
∴∠B＝180°-∠BAC-∠C＝180°-92°-65°＝23°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠DAF和∠CAD的度数，然后由角平分线的定义得到∠BAC的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠B的度数.
10．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，点D是上的一点，作交于点E，连接、交于点G，取中点F，并连接，则图中三角形面积一定相等的有（ ）．
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴是同底等高的三角形，是同底等高的三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵取BC中点F，
∴，
∴图中三角形面积一定相等的有5对，
故答案为：C．
【分析】根据DE∥BC可知是同底等高的三角形，是同底等高的三角形，从而得，，进而求出，，然后利用三角形中线的性质得，即可求解.
11．（2024八上·瑞安开学考）“x与1的和大于x的5倍”用不等式表示为： ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x与1的和大于x的5倍，
∴用不等式表示为：，
故答案为：．
【分析】根据题意列出符合条件的不等式即可.
12．（2024八上·瑞安开学考）命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的性质可知，这是一个真命题，
故答案为：真．
【分析】根据相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0，真假命题的定义进行求解.
13．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，MN垂直平分AC，
∴，AC=2AE，
∵AE=4，
∴AC=8，
∵的周长为：，
∴的周长为：，
故答案为：20．
【分析】根据题意得MN垂直平分AC，从而根据垂直平分线的性质得，AC=2AE=8，
由的周长为，得的周长为的值.
14．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，，平分，，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于E，
平分，，
∴AD=DE，
∵，BC=8，
∴DE=AD=3，
故答案为：3．
【分析】过点作于E，根据角平分线的性质得AD=DE，利用三角形面积公式即可求DE=AD=3.
15．（2024八上·瑞安开学考）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
16．（2024八上·瑞安开学考）已知关于 的不等式组 的整数解恰有 个，则 的取值范围是 .
【答案】-2【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:
由①,得:x≥a,
由②,得:x<2.
∴不等式组的解集为:a≤x<2.
∵不等式组有3个整数解，
∴-1,0,1.
∴ 的取值范围是-2故答案为-2【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有3个整数解，确定整数解，则可以得到a的范围.
17．（2024八上·瑞安开学考）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，．
【答案】解：如图所示，即为所求.
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【分析】先根据”作一个角等于已知角“的基本作图方法作出，然后在射线CM、射线CN上分别截取、，接下来连接，最后所得即为所求.
18．（2024八上·瑞安开学考）解不等式：．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法步骤进行求解即可.
19．（2024八上·瑞安开学考）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的解法步骤进行求解，再把解集表示在数轴上即可.
20．（2024八上·瑞安开学考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠D=90°，
∴∠BAD=180°-∠D-∠B=180°-90°-30°=60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求得∠BAE的度数，接下来根据三角形高的性质求得∠D=90°，从而利用三角形内角和定理得∠BAD的度数，进而求∠DAE=∠BAD-∠BAE，即可求解.
21．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，
∴，
∴，
在 与 中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形判定定理”SAS“得证结论；
（2）由（1）得，根据全等三角形对应边相等得证结论.
（1）证明，
∴，
即
在 与 中
∴
（2）由（1）可知，
∴．
22．（2024八上·瑞安开学考）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
23．（2024八上·瑞安开学考）在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵过点C作AD的垂线交AB于点E，即CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点B作交的延长线于点G，
∴∠CBG=90°，
∵，
∴∠CBG+∠ACB=180°，∠CBG=∠ACB，∠ACF+∠DCF=90°，
∴，
∴，
∵，
∴∠CFD=90°，
∴，
∴∠ADC+∠DCF=∠ACF+∠DCF，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵AD是BC边上的中线，
∴，
∴，
∵，∠A=45°，
∴∠DBE=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠GBE=∠DBE=45°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
1 / 1浙江省温州市瑞安市浙江省瑞安中学附属初级中学2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题
1．（2024八上·瑞安开学考）一个三角形的两边长为2和7，则第三边长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
2．（2024八上·瑞安开学考）对不等式进行变形，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·瑞安开学考）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·瑞安开学考）如图，已知：，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·瑞安开学考）不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·瑞安开学考）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八上·瑞安开学考）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（2024八上·瑞安开学考）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
9．（2024八上·瑞安开学考）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
10．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，点D是上的一点，作交于点E，连接、交于点G，取中点F，并连接，则图中三角形面积一定相等的有（ ）．
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
11．（2024八上·瑞安开学考）“x与1的和大于x的5倍”用不等式表示为： ．
12．（2024八上·瑞安开学考）命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
13．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．
14．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，，平分，，，则 ．
15．（2024八上·瑞安开学考）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ．
16．（2024八上·瑞安开学考）已知关于 的不等式组 的整数解恰有 个，则 的取值范围是 .
17．（2024八上·瑞安开学考）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，．
18．（2024八上·瑞安开学考）解不等式：．
19．（2024八上·瑞安开学考）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
20．（2024八上·瑞安开学考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
21．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：
（1）；
（2）．
22．（2024八上·瑞安开学考）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
23．（2024八上·瑞安开学考）在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∵一个三角形的两边长为2和7，
∴根据三角形的三边关系得：，
解得：，
∴第三边的长可能是7，
故答案为：B．
【分析】设第三边长为x，然后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得关于x的不等式，解不等式求出第三边x的取值范围，再从选项中判断答案即可．
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由a>b，则不等式左右两边同时乘-2得-2a<-2b，A符合题意；
B、由a>b，则不等式左右两边同时乘2得2a>2b，B不符合题意；
C、由a>b，则不等式左右两边同时加上2得a+2>b+2，C不符合题意；
D、由a>b，则不等式左右两边同时减去2得a-2>b-2，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】尺规作图-作高；三角形的高
【解析】【解答】解：A、作的是BC边上的高，A错误；
B、作的是AB边上的高，B正确；
C、作高的操作方法不正确，C错误；
D、作的是AC边上的高，D错误；
故答案位：B.
【分析】 根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ADB=∠CDB，BD=BD，∠ABD=∠CBD，
∴，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠C，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴，故C不符合题意；
D、添加条件AD=CD后，不能判定，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA、HL（适用两直角三角形），逐项进行判断即可求解.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得x>-1，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为-1A、表示的解集为-1≤x≤2，A错误；
B、表示对解集为x<-1，B错误；
C、表示的解集为1D、表示的解集为-1故答案为：D．
【分析】根据解一元一次不等式组的解法进行求解，再逐项进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵若a＞b，a2＞b2的反例，
∴要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，
∴当a=-1，b=-2时，此时a2＜b2.
故答案为：D
【分析】利用已知若a＞b，a2＞b2的反例，因此要满足a，b是负数，且|a|＜|b|，观察各选项中的a，b的值，可得答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图步骤可知：OC=OD，CP=DP，
在和中，
，
∴
故答案为：D．
【分析】根据画图步骤得OC=OD，CP=PD，然后利用全等三角形判定定理“SSS”证出，即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；8字模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
∵ ，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】延长交于，利用“8”字模型，结合三角形外角的性质求出的度数，从而得的度数，接下来再根据三角形外角的性质得，进而求出的度数，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF＝69°，
∴∠DAF＝180°-∠AFD-∠ADF=180°-90°-69°=21°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C＝65°，
∴∠CAD＝180°-∠ADC-∠C=180°-90°-65°=25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝2×46°=92°，
∴∠B＝180°-∠BAC-∠C＝180°-92°-65°＝23°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠DAF和∠CAD的度数，然后由角平分线的定义得到∠BAC的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠B的度数.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴是同底等高的三角形，是同底等高的三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵取BC中点F，
∴，
∴图中三角形面积一定相等的有5对，
故答案为：C．
【分析】根据DE∥BC可知是同底等高的三角形，是同底等高的三角形，从而得，，进而求出，，然后利用三角形中线的性质得，即可求解.
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x与1的和大于x的5倍，
∴用不等式表示为：，
故答案为：．
【分析】根据题意列出符合条件的不等式即可.
12．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的性质可知，这是一个真命题，
故答案为：真．
【分析】根据相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0，真假命题的定义进行求解.
13．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，MN垂直平分AC，
∴，AC=2AE，
∵AE=4，
∴AC=8，
∵的周长为：，
∴的周长为：，
故答案为：20．
【分析】根据题意得MN垂直平分AC，从而根据垂直平分线的性质得，AC=2AE=8，
由的周长为，得的周长为的值.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于E，
平分，，
∴AD=DE，
∵，BC=8，
∴DE=AD=3，
故答案为：3．
【分析】过点作于E，根据角平分线的性质得AD=DE，利用三角形面积公式即可求DE=AD=3.
15．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
16．【答案】-2【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:
由①,得:x≥a,
由②,得:x<2.
∴不等式组的解集为:a≤x<2.
∵不等式组有3个整数解，
∴-1,0,1.
∴ 的取值范围是-2故答案为-2【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有3个整数解，确定整数解，则可以得到a的范围.
17．【答案】解：如图所示，即为所求.
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【分析】先根据”作一个角等于已知角“的基本作图方法作出，然后在射线CM、射线CN上分别截取、，接下来连接，最后所得即为所求.
18．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法步骤进行求解即可.
19．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的解法步骤进行求解，再把解集表示在数轴上即可.
20．【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠D=90°，
∴∠BAD=180°-∠D-∠B=180°-90°-30°=60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求得∠BAE的度数，接下来根据三角形高的性质求得∠D=90°，从而利用三角形内角和定理得∠BAD的度数，进而求∠DAE=∠BAD-∠BAE，即可求解.
21．【答案】（1）证明：，
∴，
∴，
在 与 中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形判定定理”SAS“得证结论；
（2）由（1）得，根据全等三角形对应边相等得证结论.
（1）证明，
∴，
即
在 与 中
∴
（2）由（1）可知，
∴．
22．【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
23．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵过点C作AD的垂线交AB于点E，即CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点B作交的延长线于点G，
∴∠CBG=90°，
∵，
∴∠CBG+∠ACB=180°，∠CBG=∠ACB，∠ACF+∠DCF=90°，
∴，
∴，
∵，
∴∠CFD=90°，
∴，
∴∠ADC+∠DCF=∠ACF+∠DCF，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵AD是BC边上的中线，
∴，
∴，
∵，∠A=45°，
∴∠DBE=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠GBE=∠DBE=45°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
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