湖南省 长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2024九上·长沙开学考）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长沙开学考）学校食堂有10元、12元、15元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）
A．10.8元 B．11.8元 C．12.6元 D．13.6元
3．（2024九上·长沙开学考）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠B B．AD∥BC
C．AB＝CD D．对角线互相平分
4．（2024九上·长沙开学考）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．4 C．0 D．16
6．（2024九上·长沙开学考）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·长沙开学考）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线交于点D，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·长沙开学考）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
9．（2024九上·长沙开学考）下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·长沙开学考）分式方程的解为 ．
12．（2024九上·长沙开学考）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．
13．（2024九上·长沙开学考）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
14．（2024九上·长沙开学考）自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是 s．
15．（2024九上·长沙开学考）如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是 ．
16．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为 ．
17．（2024九上·长沙开学考）计算：
18．（2024九上·长沙开学考）解下列方程：
（1）；
（2）
19．（2024九上·长沙开学考）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点；
（1）点的坐标为____________；
（2）两直线交点坐标为____________；点的坐标为____________；
（3）的面积为____________．
20．（2024九上·长沙开学考）科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：
征集到的作品数量件 班级数个
（1）表中的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件；
（2）请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数；
（3）若该校共有个班级，请你估计该校征集到的作品总数量．
21．（2024九上·长沙开学考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，是等边三角形．
（1）证明：平行四边形是矩形；
（2）若，求的长．
22．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
23．（2024九上·长沙开学考）“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
（2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用.
24．（2024九上·长沙开学考）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
25．（2024九上·长沙开学考）已知点都在二次函数的图象上，其中．
（1）求的值；
（2）若直线经过点，且的面积为3，求直线的解析式；
（3）当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示小于1的正数时，表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数 （包含小数点前的那个0），1
2．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：15元午餐所占百分率：1-40%-40%=20%
当天学生购买午餐的平均费用为：
（元）
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数的计算公式：其中分别表示出现的次数，进行计算即可．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，故B正确，不符合题意；
AB=CD，故C正确，不符合题意；
对角线AC与BD互相平分，故D正确，不符合题意；
此时无法进一步判定平行四边形邻角的关系，即无法得出∠A=∠B，故A错误，符合题意.
故选：A.
【分析】根据平行四边形的判定及其性质逐一分析选项即可，即两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，因此列出不等式，解出k即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：a=1，b=4，c=-k
∴
∴
故选：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个相等的实数根，列出方程，求出k即可.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个月生产成本的下降率为，
∴
故答案为：．
【分析】根据增长率公式：，其中a是原来的量，b是后来的量，n是变化的次数，列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知：是垂直平分线
∴
∵∠B=30°
∴=30°
∴
故答案为：D．
【分析】先根据尺规作图可知：垂直平分，得出等腰三角形CDB，再根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵为的中位线，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵BF平分
∴
∴
∴
∵D为AB的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先根据三角形的中位线的性质得出，，从而求出，再结合角平分线的定义，得出△BDF是等腰三角形，即，再根据中点的性质求出AB即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知：，，∴，故A错误
B、由 二次函数 图象可知：，由 一次函数图象可知a>0，故B错误
C.由 二次函数 图象可知：，由 一次函数图象可知，故C错误
D.由图象可知：，，∴，故D正确
故选：D.
【分析】二次函数当时，开口向上，当时，开口向下
一次函数当函数图象经过一二三象限时，，，
图象经过一三四象限时，，，
函数图象经过一二四象限时，，，
函数图象经过二三四象限时，，．
10．【答案】D
【知识点】正方形的判定；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-线段周长问题
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得：
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据题意方程两边同时乘x(x-2)，进而去括号，从而即可解方程，再检验即可求解。
12．【答案】2
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，
，
∵ 正方形的面积为4
∴AD=DC=2
点，分别为边，的中点
同理可得
四边形的面积为．
故答案为：2．
【分析】先根据正方形性质得出，再根据正方形的面积得出：AD=DC=2，再由线段中点的性质得出，再根据三角形面积公式，得出，同理可得，最后再利用割补法球场四边形的面积即可.
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m
根据韦达定理得：
解得：．
故答案为：4．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理，代入计算即可.
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：将s=78.4、g=9.8代入s=gt2得：
×9.8t2=78.4
解得：t=4或t=-4（舍）
∴下落的时间t是4s
故答案为：4．
【分析】把s=78.4、g=9.8分别代入s=gt2列出方程：×9.8t2=78.4，解出t即可.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴，AC⊥BD
∵
是等边三角形
在Rt中，是的中点
故答案为：．
【分析】先由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，求出AD的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出.
16．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知： 一次函数与一次函数的图象相交于点∴关于的方程组的解为
故答案为：．
【分析】两条直线的交点坐标即为对应的两个二次函数组成的二元一次方程组的解，反之，两个二元一次方程组的解即为对应的两条直线的交点坐标，根据两者的关系即可解决问题.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】分别把分别代入计算即可.
18．【答案】（1）解：
∴
∴
∴
∴
（2）解：
∴
∴
∴
∴
解得：．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用配方法解一元二次方程，先移项，方程两边同时加上1，得到：，再根据直接开平方法直接开平方得：，解得即可.
（2）本题考查的是提取公因式法解一元二次方程，先移项得到：，再提取公因式（x-1）得到：，再进行解方程即可.
（1）解：，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：，
∴，
∴，
则，
解得．
19．【答案】（1）
（2），
（3）3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（1）令
∴，解得：
∴点的坐标为
故答案为：.
（2）由题意知：联立方程组得：，解得：
∴坐标为
∴令
∴，解得：
∴点的坐标为
故答案为：，.
（3）由（1）（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，坐标为
∴MN=3，h=2
∴．
故答案为：3．
【分析】（1）因为点M在x轴上，故令得到，解出x即可.
（2）由题意知：联立两个函数解析式得：，解出x，y即得出点A的坐标，再令得到：，求出的值，得到点的坐标.
（3）由（1）（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，坐标为，因此求出MN的长度，以及△MN边上的高h，最后利用面积公式进行计算即可．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：；
∴点的坐标为；
故答案为：；
（2）联立，解得：，
∴两直线交点坐标为；
∴当时，，解得：；
∴点的坐标为；
故答案为：，；
（3）∵点的坐标为，点的坐标为，坐标为
∴的面积为．
故答案为：3．
20．【答案】（1）；；
（2）解：∵(件)
∴ 征集到的作品数量的平均数 为7件
（3）解：∵答：估计该校征集到的作品总数量为件
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽取的班级数量为（个）
∴
∵征集到的作品数量为件的班级有6个，数量最多
∴众数为为件
数据按照从小到大的顺序排列，第10个数和第11个数都为7
∴中位数为件
故答案为：，，.
【分析】（）先根据件的作品数量所占的圆心角，计算出五件所占的百分比，再除以班级数量，进而得到的值，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数求出众数，而中位数为把数据排序后第10个数和第11个数的平均数.
（）根据加权平均数的定义进行计算即可.
（）用样本的平均数代替总体的平均数，再乘以即可.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，
是等边三角形
平行四边形是矩形
（2）解：由（1）知：AB=OB=4
四边形是矩形
，BD=2OB=8
在中，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到：，，再根据是等边三角形，得到：AO=OB，从而证明即可.
（2）先根据等边三角形的性质得到：AB=OB=4，再根据矩形的性质得出：D=2OB=8
最后利用勾股定理即可得出答案．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
又，
．
在中，，
．
22．【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2
∵方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理可得：
∵
∴
∴
解得或
由（1）知：
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c的值，再写出△的表达式，再令解出m的值即可．
（2）先由韦达定理得出：，再代入列出方程：解出m，再结合第（1）问进行取舍即可.
（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，
依题意，得：，解得
答：设篮球100元/个，排球60元/个．
（2）解：设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元，
∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，
∴，∴．
依题意，得：，
∵，∴w随m值的增大而增大，（这里必须要说明）
∴当学校购买进篮球75本，购进排球25本，总费用最少，最少费用是9000元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设篮球x元/个，排球y元/个， 根据 购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元 ，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2） 设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元， 根据购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，得到关于m的不等式，再根据总费用=购进篮球的费用+购进排球的费用得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质进而求解.
24．【答案】（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∴
∵
∴
又∵
∴(AAS)
∴.
（3）①证明：如图2中，在上取一点T，使得，连接．
∵四边形ABCD是和谐四边形
∴：
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴AT=BC
∴
∴
∵
∴．
②解：由题意知：
联立两个函数解析式得：
，解得：或
∴点A在第一象限，点B在第三象限
∴
如图：过点作轴，过点作，过点作
∴，，
∵
∵，
∴∠CAE=∠BCF
∴
∴，
∴，CE=BF=2
∴
∴
∵四边形是和谐四边形
当时
∴当时，
∴
∴
∴将直线向上平移5个单位得到
同理：联立两个函数解析式得：，解得：或，
∵点在第一象限，
∴
∴点的横坐标为
当时
由（2）可知，的中点在直线上
∵，
∴的中点坐标为
设直线的解析式为：
把代入，得-2k-3=1，解得：
∴
此时直线与抛物线的交点在二，四象限，不符合题意
综上：点的横坐标为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）只有平行四边形的对角线把平分四边形的面积分成两个面积相等的三角形，
故答案为：A.
【分析】（1）根据平行四边形的性质与和谐四边形的定义即可得出结论.
（2）过点作于点，过点作于点，得到：，再
根据，得到因此，又因为
可证明，即可得证.
（3）①在上取一点T，使得，连接，先根据：，证明四边形是平行四边形，因此，因此可得又因为，可得，再根据等边对等角可得：，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得：可得结论．②先联立直线和抛物线的解析式得：，解出x，y，得出两点坐标，过点作轴，过点作，过点作，再根据一线三垂直模型证明（AAS）得出：，CE=BF=2，从而求出得出点坐标，再根据和谐四边形的性质进行分类讨论：和，两种情况讨论求解即可．
25．【答案】（1）解：把代入得：
解得：或
∵m<0
∴．
（2）解：设直线的解析式为：
将代入得：
∴
∴
把x=x1代入直线中得：
∴
同理：把x=x2代入直线中得：
∵都在二次函数的图象上
∴当x=x1时，y=y1
即：
同理：
∴是方程的两个根
根据韦达定理得：
∴
∵的面积为3
由（1）知：，点在直线上
∴的面积
∴
∴
解得：或
当b=0时，直线的解析式为：
当b=2时，直线的解析式为：
∴直线的解析式为：或.
（3）解：由（1）知：
①当时，≤0
∴随的增大而减小
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，
由（1）知：
∴且解得：
∵a>0，
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∴
∴
③当，，同理：且
解得：
由（1）知：
∴
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∴
∴
∴
综上：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】（1）
（2）
设直线的解析式为：，将代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵都在二次函数的图象上，
∴，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，
∵的面积为3，，点在直线上，
∴的面积，
∴，
∴，
解得：或，
∴直线的解析式为：或；
（3）
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
①当，时，随的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
②当，，即：且，
解得：，
则当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴，
③当，，即：，
又∵，，
∴，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴；
综上：．
【分析】
（1）把代入函数解析式得：，解出m，再结合m<0，进行取舍即可.
进行求解即可；
（2）设直线的解析式为，将代入得出：，求出解析式，再分别把x1，x2代入直线得出：，同理把x1，x2分别代入中得出：，，因此可以得到：是方程的两个根，再结合韦达定理得出：，最后根据的面积为3，列出方程进行求解即可.
（3）由（1）知：，因此要进行分类讨论：
①当时，≤0，得到随的增大而减小，因此，，则再结合，得出，，求出P，Q的范围即可
②当，时，同理得出，，求出P，Q的范围即可
③当，时，同理得出，，求出P，Q的范围即可.
（1）解：把，代入，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
故．
（2）设直线的解析式为：，将代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵都在二次函数的图象上，
∴，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，
∵的面积为3，，点在直线上，
∴的面积，
∴，
∴，
解得：或，
∴直线的解析式为：或；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
①当，时，随的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
②当，，即：且，
解得：，
则当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴，
③当，，即：，
又∵，，
∴，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴；
综上：．
1 / 1湖南省 长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2024九上·长沙开学考）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示小于1的正数时，表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数 （包含小数点前的那个0），12．（2024九上·长沙开学考）学校食堂有10元、12元、15元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）
A．10.8元 B．11.8元 C．12.6元 D．13.6元
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：15元午餐所占百分率：1-40%-40%=20%
当天学生购买午餐的平均费用为：
（元）
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数的计算公式：其中分别表示出现的次数，进行计算即可．
3．（2024九上·长沙开学考）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠B B．AD∥BC
C．AB＝CD D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，故B正确，不符合题意；
AB=CD，故C正确，不符合题意；
对角线AC与BD互相平分，故D正确，不符合题意；
此时无法进一步判定平行四边形邻角的关系，即无法得出∠A=∠B，故A错误，符合题意.
故选：A.
【分析】根据平行四边形的判定及其性质逐一分析选项即可，即两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4．（2024九上·长沙开学考）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，因此列出不等式，解出k即可.
5．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．4 C．0 D．16
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：a=1，b=4，c=-k
∴
∴
故选：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个相等的实数根，列出方程，求出k即可.
6．（2024九上·长沙开学考）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个月生产成本的下降率为，
∴
故答案为：．
【分析】根据增长率公式：，其中a是原来的量，b是后来的量，n是变化的次数，列出方程即可.
7．（2024九上·长沙开学考）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线交于点D，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知：是垂直平分线
∴
∵∠B=30°
∴=30°
∴
故答案为：D．
【分析】先根据尺规作图可知：垂直平分，得出等腰三角形CDB，再根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果.
8．（2024九上·长沙开学考）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵为的中位线，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵BF平分
∴
∴
∴
∵D为AB的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先根据三角形的中位线的性质得出，，从而求出，再结合角平分线的定义，得出△BDF是等腰三角形，即，再根据中点的性质求出AB即可.
9．（2024九上·长沙开学考）下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知：，，∴，故A错误
B、由 二次函数 图象可知：，由 一次函数图象可知a>0，故B错误
C.由 二次函数 图象可知：，由 一次函数图象可知，故C错误
D.由图象可知：，，∴，故D正确
故选：D.
【分析】二次函数当时，开口向上，当时，开口向下
一次函数当函数图象经过一二三象限时，，，
图象经过一三四象限时，，，
函数图象经过一二四象限时，，，
函数图象经过二三四象限时，，．
10．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-线段周长问题
11．（2024九上·长沙开学考）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得：
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据题意方程两边同时乘x(x-2)，进而去括号，从而即可解方程，再检验即可求解。
12．（2024九上·长沙开学考）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，
，
∵ 正方形的面积为4
∴AD=DC=2
点，分别为边，的中点
同理可得
四边形的面积为．
故答案为：2．
【分析】先根据正方形性质得出，再根据正方形的面积得出：AD=DC=2，再由线段中点的性质得出，再根据三角形面积公式，得出，同理可得，最后再利用割补法球场四边形的面积即可.
13．（2024九上·长沙开学考）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m
根据韦达定理得：
解得：．
故答案为：4．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理，代入计算即可.
14．（2024九上·长沙开学考）自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是 s．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：将s=78.4、g=9.8代入s=gt2得：
×9.8t2=78.4
解得：t=4或t=-4（舍）
∴下落的时间t是4s
故答案为：4．
【分析】把s=78.4、g=9.8分别代入s=gt2列出方程：×9.8t2=78.4，解出t即可.
15．（2024九上·长沙开学考）如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴，AC⊥BD
∵
是等边三角形
在Rt中，是的中点
故答案为：．
【分析】先由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，求出AD的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出.
16．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知： 一次函数与一次函数的图象相交于点∴关于的方程组的解为
故答案为：．
【分析】两条直线的交点坐标即为对应的两个二次函数组成的二元一次方程组的解，反之，两个二元一次方程组的解即为对应的两条直线的交点坐标，根据两者的关系即可解决问题.
17．（2024九上·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】分别把分别代入计算即可.
18．（2024九上·长沙开学考）解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
∴
∴
∴
∴
（2）解：
∴
∴
∴
∴
解得：．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用配方法解一元二次方程，先移项，方程两边同时加上1，得到：，再根据直接开平方法直接开平方得：，解得即可.
（2）本题考查的是提取公因式法解一元二次方程，先移项得到：，再提取公因式（x-1）得到：，再进行解方程即可.
（1）解：，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：，
∴，
∴，
则，
解得．
19．（2024九上·长沙开学考）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点；
（1）点的坐标为____________；
（2）两直线交点坐标为____________；点的坐标为____________；
（3）的面积为____________．
【答案】（1）
（2），
（3）3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（1）令
∴，解得：
∴点的坐标为
故答案为：.
（2）由题意知：联立方程组得：，解得：
∴坐标为
∴令
∴，解得：
∴点的坐标为
故答案为：，.
（3）由（1）（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，坐标为
∴MN=3，h=2
∴．
故答案为：3．
【分析】（1）因为点M在x轴上，故令得到，解出x即可.
（2）由题意知：联立两个函数解析式得：，解出x，y即得出点A的坐标，再令得到：，求出的值，得到点的坐标.
（3）由（1）（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，坐标为，因此求出MN的长度，以及△MN边上的高h，最后利用面积公式进行计算即可．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：；
∴点的坐标为；
故答案为：；
（2）联立，解得：，
∴两直线交点坐标为；
∴当时，，解得：；
∴点的坐标为；
故答案为：，；
（3）∵点的坐标为，点的坐标为，坐标为
∴的面积为．
故答案为：3．
20．（2024九上·长沙开学考）科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：
征集到的作品数量件 班级数个
（1）表中的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件；
（2）请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数；
（3）若该校共有个班级，请你估计该校征集到的作品总数量．
【答案】（1）；；
（2）解：∵(件)
∴ 征集到的作品数量的平均数 为7件
（3）解：∵答：估计该校征集到的作品总数量为件
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽取的班级数量为（个）
∴
∵征集到的作品数量为件的班级有6个，数量最多
∴众数为为件
数据按照从小到大的顺序排列，第10个数和第11个数都为7
∴中位数为件
故答案为：，，.
【分析】（）先根据件的作品数量所占的圆心角，计算出五件所占的百分比，再除以班级数量，进而得到的值，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数求出众数，而中位数为把数据排序后第10个数和第11个数的平均数.
（）根据加权平均数的定义进行计算即可.
（）用样本的平均数代替总体的平均数，再乘以即可.
21．（2024九上·长沙开学考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，是等边三角形．
（1）证明：平行四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，
是等边三角形
平行四边形是矩形
（2）解：由（1）知：AB=OB=4
四边形是矩形
，BD=2OB=8
在中，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到：，，再根据是等边三角形，得到：AO=OB，从而证明即可.
（2）先根据等边三角形的性质得到：AB=OB=4，再根据矩形的性质得出：D=2OB=8
最后利用勾股定理即可得出答案．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
又，
．
在中，，
．
22．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2
∵方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理可得：
∵
∴
∴
解得或
由（1）知：
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c的值，再写出△的表达式，再令解出m的值即可．
（2）先由韦达定理得出：，再代入列出方程：解出m，再结合第（1）问进行取舍即可.
（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
23．（2024九上·长沙开学考）“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
（2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用.
【答案】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，
依题意，得：，解得
答：设篮球100元/个，排球60元/个．
（2）解：设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元，
∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，
∴，∴．
依题意，得：，
∵，∴w随m值的增大而增大，（这里必须要说明）
∴当学校购买进篮球75本，购进排球25本，总费用最少，最少费用是9000元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设篮球x元/个，排球y元/个， 根据 购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元 ，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2） 设购进篮球m本，则购进排球本，设总费用为w元， 根据购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，得到关于m的不等式，再根据总费用=购进篮球的费用+购进排球的费用得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质进而求解.
24．（2024九上·长沙开学考）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
【答案】（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∴
∵
∴
又∵
∴(AAS)
∴.
（3）①证明：如图2中，在上取一点T，使得，连接．
∵四边形ABCD是和谐四边形
∴：
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴AT=BC
∴
∴
∵
∴．
②解：由题意知：
联立两个函数解析式得：
，解得：或
∴点A在第一象限，点B在第三象限
∴
如图：过点作轴，过点作，过点作
∴，，
∵
∵，
∴∠CAE=∠BCF
∴
∴，
∴，CE=BF=2
∴
∴
∵四边形是和谐四边形
当时
∴当时，
∴
∴
∴将直线向上平移5个单位得到
同理：联立两个函数解析式得：，解得：或，
∵点在第一象限，
∴
∴点的横坐标为
当时
由（2）可知，的中点在直线上
∵，
∴的中点坐标为
设直线的解析式为：
把代入，得-2k-3=1，解得：
∴
此时直线与抛物线的交点在二，四象限，不符合题意
综上：点的横坐标为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）只有平行四边形的对角线把平分四边形的面积分成两个面积相等的三角形，
故答案为：A.
【分析】（1）根据平行四边形的性质与和谐四边形的定义即可得出结论.
（2）过点作于点，过点作于点，得到：，再
根据，得到因此，又因为
可证明，即可得证.
（3）①在上取一点T，使得，连接，先根据：，证明四边形是平行四边形，因此，因此可得又因为，可得，再根据等边对等角可得：，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得：可得结论．②先联立直线和抛物线的解析式得：，解出x，y，得出两点坐标，过点作轴，过点作，过点作，再根据一线三垂直模型证明（AAS）得出：，CE=BF=2，从而求出得出点坐标，再根据和谐四边形的性质进行分类讨论：和，两种情况讨论求解即可．
25．（2024九上·长沙开学考）已知点都在二次函数的图象上，其中．
（1）求的值；
（2）若直线经过点，且的面积为3，求直线的解析式；
（3）当时，记二次函数的最大值为，最小值为，若，求的取值．
【答案】（1）解：把代入得：
解得：或
∵m<0
∴．
（2）解：设直线的解析式为：
将代入得：
∴
∴
把x=x1代入直线中得：
∴
同理：把x=x2代入直线中得：
∵都在二次函数的图象上
∴当x=x1时，y=y1
即：
同理：
∴是方程的两个根
根据韦达定理得：
∴
∵的面积为3
由（1）知：，点在直线上
∴的面积
∴
∴
解得：或
当b=0时，直线的解析式为：
当b=2时，直线的解析式为：
∴直线的解析式为：或.
（3）解：由（1）知：
①当时，≤0
∴随的增大而减小
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，
由（1）知：
∴且解得：
∵a>0，
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∴
∴
③当，，同理：且
解得：
由（1）知：
∴
∴当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∴
∴
∴
综上：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】（1）
（2）
设直线的解析式为：，将代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵都在二次函数的图象上，
∴，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，
∵的面积为3，，点在直线上，
∴的面积，
∴，
∴，
解得：或，
∴直线的解析式为：或；
（3）
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
①当，时，随的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
②当，，即：且，
解得：，
则当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴，
③当，，即：，
又∵，，
∴，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴；
综上：．
【分析】
（1）把代入函数解析式得：，解出m，再结合m<0，进行取舍即可.
进行求解即可；
（2）设直线的解析式为，将代入得出：，求出解析式，再分别把x1，x2代入直线得出：，同理把x1，x2分别代入中得出：，，因此可以得到：是方程的两个根，再结合韦达定理得出：，最后根据的面积为3，列出方程进行求解即可.
（3）由（1）知：，因此要进行分类讨论：
①当时，≤0，得到随的增大而减小，因此，，则再结合，得出，，求出P，Q的范围即可
②当，时，同理得出，，求出P，Q的范围即可
③当，时，同理得出，，求出P，Q的范围即可.
（1）解：把，代入，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
故．
（2）设直线的解析式为：，将代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵都在二次函数的图象上，
∴，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，
∵的面积为3，，点在直线上，
∴的面积，
∴，
∴，
解得：或，
∴直线的解析式为：或；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
①当，时，随的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
②当，，即：且，
解得：，
则当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴，
③当，，即：，
又∵，，
∴，
∴当时，函数有最大值，，
当时，函数有最小值，，
∴，
∴；
综上：．
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