广东省汕头市潮阳区龙港初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·潮阳开学考）在下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
B、∵的被开方数含有分母，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】满足①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024九上·潮阳开学考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴这三个数可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析选项的三个数是否构成勾股定理，即可.
3．（2024九上·潮阳开学考）下列函数中，是一次函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=x2+1是二次函数，此项不符合题意；
B、y=3是常数函数，此项不符合题意；
C、y=2x-1是一次函数，此项符合题意；
D、是反比例函数，此项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可．
4．（2024九上·潮阳开学考）下列选项中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，计算正确，此项符合题意；
B、，计算错误，此项不符合题意；
C、，计算错误，此项不符合题意；
D、，计算错误，此项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由二次根式乘法法则“”可判断A选项；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式；合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断B、C选项；由二次根式除法法则“”可判断D选项.
5．（2024九上·潮阳开学考）某企业参加"科技创新企业百强"评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5∶3∶2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得该企业的总成绩为：（分）.
故答案为：B.
【分析】利用各项得分与各自权重乘积的和除以权重之和即可得出总成绩.
6．（2024九上·潮阳开学考）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC；BA⊥OA，BC⊥OC，
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=BC=3，AB=OC=2，
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=OA=1.5；EF=DG=AB=1，
∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.
故答案为：D.
【分析】由B点坐标及矩形性质知OA=BC=3，AB=OC=2，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求四边形DEFG的各边长度，从而求周长.
7．（2024九上·潮阳开学考）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ）
A．140 B． C． D．24
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积，
根据勾股定理得小正方形的面积为．
故答案为：D．
【分析】由图可得三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积，再根据勾股定理得小正方形M的面积为．
8．（2024九上·潮阳开学考）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象与轴的交点坐标是
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象向下平移4个单位长度得的图象
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、一次函数y=-x+4中，令y=0，得-x+4=0，解得x=4，所以该一次函数图象与x轴的交点坐标为（4，0），故此选项错误，符合题意；
B、一次函数y=-x+4中，自变量的系数k=-1＜0，所以数值随自变量的增大而减小，故此选项正确，不符合题意；
C、一次函数y=-x+4中，自变量的系数k=-1＜0，所以函数图象经过第二、四象限；一次函数y=-x+4中，常数项b=4＞0，所以图象交y轴的正半轴，所以该函数图象经过一、二、四象限，即函数图象不经过第三象限，故此选项正确，不符合题意；
D、一次函数y=-x+4中，向下平移4个单位长度后的函数解析式为y=-x+4-4=-x，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可得出该函数图象与x轴交点的坐标，据此可判断A选项；
一次函数y=ax+b（a≠0），当a＞0时，函数值随自变量的增大而增大，当a＜0时，函数值随自变量的增大而减小，据此可判断B选项；
一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断C选项；
一次函数y=ax+b（a≠0）图象的平移规律是“左移加，右移减；上移加，下移减”，据此可判断D选项.
9．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形中，点为的中点，点为上任意一点，把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，则与一定相等的角（不含）有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴与相等的角有，，，，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质得，，从而由中点的定义得，根据等腰三角形”等边对等角“的性质得，然后利用三角形外角的性质得，接下来根据平行四边形的性质得，从而得，进而得，最后即可得与相等的角有4个.
10．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝78°，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，若DF＝2AB，则∠AFD的大小是（ ）
A．62° B．64° C．66° D．68°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取DF的中点H，连接AH，如下图：
∵AE⊥BC，∠ABC=78°，四边形ABCD是平行四边形
∴∠EAD=90°，AD∥BC
∴∠BAE=12°，∠CBD=∠ADB
∵点H为DF的中点
∴AH=DH=FH=DF=AB
∴∠ABH=∠AHB，∠AHD=∠HAD，∠HAF=∠HFA
∵∠AHB=∠HAD+∠HDA=2∠HDA
∴∠ABH=2∠HDA=2∠CBD，∠CBD+∠ABD=∠ABC=78°
∴∠CBD=26°=∠ADH
∴∠AFD=90°-26°=64°
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的性质，可得AB=AH=DH=FH，进而可得∠ABH=∠AHB，∠ADH=∠HAD，∠HAF=∠HFA；根据三角形外角性质，可得∠CBD=26°=∠ADH，即可求解.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·潮阳开学考）一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是 ．
【答案】95
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在数据 84，84，88，89，89，95，95，95，98， 中，95出现了3次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为：95
故答案为：95.
【分析】根据众数的定义：在一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，判断即可.
12．（2024九上·潮阳开学考） 若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据被开方数不小于零的条件求解．
13．（2024九上·潮阳开学考）直线 与y轴的交点坐标为 ．
【答案】（0，5）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=2×0+5=5，
∴直线 与y轴的交点坐标为(0，5)．
故答案为(0，5)．
【分析】将x=0代入方程求解即可。
14．（2024九上·潮阳开学考）如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于，于，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：6．
【分析】作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，由平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，AO=CO，由平行线性质得∠BAN=∠DCE，从而用AAS证△ANB≌△CMD，由全等三角形的对应边相等得BN=DM，由同底等高三角形的面积相等得，再求出，最后结合矩形的性质可求出结果．
15．（2024九上·潮阳开学考）当时，一次函数的最大值为18，则
【答案】21
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数，
，即随的增大而减小，
当时，函数值最大，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此可知当时，函数值最大，从而列出关于的方程，解之即可．
16．（2024九上·潮阳开学考）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴∠EMN=∠FMN=90°，
∴，
∴ ，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：
，
即 ，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BE、BF、EN，由正方形的性质得AB=BC=CD，∠BAE=∠BCD=∠BCF=∠ABC=90°，由SAS证△ABE≌△CBF，得∠ABE=∠CBF，BE=BF， 从而由角的和差及等量代换推出∠EBF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，然后用SAS证△EMN≌△FMN，可得EN=FN，设CN=x，用含x的式子表示出EN、DE，在Rt△EDN中，利用勾股定理可算出x的值，从而得到CN、BC的长，进而再在Rt△BCN中，利用勾股定理算出BN即可.
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九上·潮阳开学考）计算：．
【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
18．（2024九上·潮阳开学考）如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥CE，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而有AD∥CE，进而由题目条件求出，即可得证四边形ADEC是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得证结论.
19．（2024九上·潮阳开学考）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米．
（1）求风筝到地面的距离线段的长；
（2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米，和的长度不变，则他应该再放出_____米线．
【答案】（1）解：
；
（2）2
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：（2）风筝沿方向再上升4米
他应该再放出线长为（米）．
故答案为：2．
【分析】（1）先用勾股定理求AC，进而根据AD=AC+CD可算出AD；
（2）先求上升4米后的AC的长度，再用勾股定理求线长，最后求差即可．
（1）解：
；
（2）风筝沿方向再上升4米
他应该再放出线长为（米）．
故答案为：2．
20．（2024九上·潮阳开学考）为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分），经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分．
学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7
九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9
（1）表格中a的值为 ；
（2）八年级学生成绩的中位数为 分；
（3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
【答案】（1）9
（2）8
（3）解：八年级学生成绩的方差为
，
∵九年级学生成绩的方差为1分2，
∴九年级学生的成绩更稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）由题意得7+8+9+8+10+6+8+a+8+7=8×10，
∴a=9；
故答案为：9；
（2）将八年级10位同学的成绩按从低到高依次排列为：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10，
∴ 八年级学生成绩的中位数为（分），
故答案为：8；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，建立方程求解可得a的值；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解即可.
21．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
在和中
又
四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，OB=5，
∴BD=2OB=10，
，
四边形是平行四边形
四边形是矩形
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OB=OD，由二直线平行，内错角相等得∠BEO=∠DFO，从而由AAS判断出△BEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，进而根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得BD=2OB=10，根据勾股定理的逆定理判断出∠BED=90°，然后根据有一个角是直角得平行四边形是矩形得四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得EF的长.
（1）解：四边形是平行四边形
在和中
又
四边形是平行四边形；
（2）
，
四边形是平行四边形
四边形是矩形
．
22．（2024九上·潮阳开学考）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】（1）解：设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，设总费用为w，
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，最小费用为1976元．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为： 甲种头盔的单价=乙种头盔的单价+11；20×甲种头盔的单价+30×乙种头盔的单价=920；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）此题的等量关系为：甲种头盔的数量+乙种头盔的数量=40；设购m只甲种头盔，设总费用为w，再根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解；根据题意列出w与m的函数解析式，利用一次函数的性质，即可求解.
23．（2024九上·潮阳开学考）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可；
（2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可；
（3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积.
24．（2024九上·潮阳开学考）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）【特例探究】
如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为_▲_，请说明理由；
（2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．试证明：PC'=PB；
（3）【深入探究】
如图3，若AB=3，AD=6，BF=1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出 的值．
【答案】（1）解：菱形．理由如下：
四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴AE=CF，
四边形AECF是平行四边形，
又∵AF=CF，
∴平行四边形AECF为菱形；
（2）证明：如图2，连接PF，
为的中点，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
．
；
（3）解：的值为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE=2ED，
，
四边形是矩形，
，
过点作于，则四边形为矩形，
，
．
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
在中．由勾股定理得：，
；
②如图4，若点为的三等分点，且，则，
过点作于，则，
同理可得：．
在中，，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1） 由矩形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AEF=∠CFE，由折叠性质得AF=CF，∠AFE=∠CFE，则推出∠AEF=∠AFE，由等角对等边得AF=AE=CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）连接PF，由中点定义及折叠性质得BF=CF=C'F，由矩形性质及折叠性质得∠B=∠C=∠D'C'F=90°，从而由HL判断出Rt△PC'F≌Rt△PBF，由全等三角形的对应边相等可得PC'=PB；
（3）分两种情况：①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE=2ED，由矩形性质得AB=CD=3，∠A=∠B=∠D=90°，过点E作EM⊥BC于点M，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形ABME是矩形，得BM=AE=4，EM=AB=3，∠EMF=90°，在Rt△EMF中，由勾股定理算出EF的长，由折叠性质得DE=D'E=2，CD=C'D'=3，∠D=∠D'=90°，在Rt△C'D'E中，用勾股定理算出C'E，从而即可求出两条线段的比值；②如图4，若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENF=90°，同理得FN=1，EN=3，在Rt△ENF中，由勾股定理算出EF，由折叠性质得DE=D'E=4，CD=C'D'=3，∠D=∠D'=90°，在Rt△C'D'E中，用勾股定理算出C'E，从而即可求出两条线段的比值，综上即可得出答案.
25．（2024九上·潮阳开学考）在平面直角坐标系中，对于两点，若在轴上存在点，使得，且，则称两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
（1）如图①，在点中，点的等垂点是 （选填“”，“”或“”）
（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ．
【答案】（1）D
（2）解：①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图1：
是的等垂点，
，
，
设，则
．
将代入，
得：，
解得，
；
②当在轴下方时，过作轴于．如图2：
同①可证明
，
设，则
，
将代入，
得：，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，如图，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，点A的等垂点是点D；
故答案为：D；
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：
当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：
∵PR是线段AA'的垂直平分线，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，
∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，
同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，
故答案为：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，由点的坐标与图形的性质、等边对等角及三角形的内角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，从而根据等垂点定义可得结论；
（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，由等垂点定义得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判断出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，设A'F=OE=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出m的值，从而即可得到点A'得坐标；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同①可证△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，设A'H=OG=n，则OH=2-n，则点A'(-n，n-2)，将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出n的值，从而即可得到点A'得坐标，综上可得答案；
（3）设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：由线段垂直平分线的性质得RA=RA'， PA=PA'，由中点坐标公式得，进而根据点的坐标与图形性质得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，从而由ASA判断出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点.
1 / 1广东省汕头市潮阳区龙港初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·潮阳开学考）在下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·潮阳开学考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，7，5 C．2，3，4 D．1，2，2
3．（2024九上·潮阳开学考）下列函数中，是一次函数有（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·潮阳开学考）下列选项中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·潮阳开学考）某企业参加"科技创新企业百强"评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5∶3∶2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分
6．（2024九上·潮阳开学考）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（2024九上·潮阳开学考）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ）
A．140 B． C． D．24
8．（2024九上·潮阳开学考）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象与轴的交点坐标是
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象向下平移4个单位长度得的图象
9．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形中，点为的中点，点为上任意一点，把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，则与一定相等的角（不含）有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝78°，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，若DF＝2AB，则∠AFD的大小是（ ）
A．62° B．64° C．66° D．68°
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·潮阳开学考）一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是 ．
12．（2024九上·潮阳开学考） 若式子有意义，则x的取值范围是 ．
13．（2024九上·潮阳开学考）直线 与y轴的交点坐标为 ．
14．（2024九上·潮阳开学考）如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则 ．
15．（2024九上·潮阳开学考）当时，一次函数的最大值为18，则
16．（2024九上·潮阳开学考）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九上·潮阳开学考）计算：．
18．（2024九上·潮阳开学考）如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：．
19．（2024九上·潮阳开学考）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米．
（1）求风筝到地面的距离线段的长；
（2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米，和的长度不变，则他应该再放出_____米线．
20．（2024九上·潮阳开学考）为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分），经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分．
学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7
九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9
（1）表格中a的值为 ；
（2）八年级学生成绩的中位数为 分；
（3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
21．（2024九上·潮阳开学考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
22．（2024九上·潮阳开学考）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
23．（2024九上·潮阳开学考）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
24．（2024九上·潮阳开学考）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）【特例探究】
如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为_▲_，请说明理由；
（2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．试证明：PC'=PB；
（3）【深入探究】
如图3，若AB=3，AD=6，BF=1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出 的值．
25．（2024九上·潮阳开学考）在平面直角坐标系中，对于两点，若在轴上存在点，使得，且，则称两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
（1）如图①，在点中，点的等垂点是 （选填“”，“”或“”）
（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
B、∵的被开方数含有分母，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】满足①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴这三个数可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴这三个数不可以构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析选项的三个数是否构成勾股定理，即可.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=x2+1是二次函数，此项不符合题意；
B、y=3是常数函数，此项不符合题意；
C、y=2x-1是一次函数，此项符合题意；
D、是反比例函数，此项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可．
4．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，计算正确，此项符合题意；
B、，计算错误，此项不符合题意；
C、，计算错误，此项不符合题意；
D、，计算错误，此项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由二次根式乘法法则“”可判断A选项；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式；合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断B、C选项；由二次根式除法法则“”可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得该企业的总成绩为：（分）.
故答案为：B.
【分析】利用各项得分与各自权重乘积的和除以权重之和即可得出总成绩.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC；BA⊥OA，BC⊥OC，
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=BC=3，AB=OC=2，
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=OA=1.5；EF=DG=AB=1，
∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.
故答案为：D.
【分析】由B点坐标及矩形性质知OA=BC=3，AB=OC=2，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求四边形DEFG的各边长度，从而求周长.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积，
根据勾股定理得小正方形的面积为．
故答案为：D．
【分析】由图可得三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积，再根据勾股定理得小正方形M的面积为．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、一次函数y=-x+4中，令y=0，得-x+4=0，解得x=4，所以该一次函数图象与x轴的交点坐标为（4，0），故此选项错误，符合题意；
B、一次函数y=-x+4中，自变量的系数k=-1＜0，所以数值随自变量的增大而减小，故此选项正确，不符合题意；
C、一次函数y=-x+4中，自变量的系数k=-1＜0，所以函数图象经过第二、四象限；一次函数y=-x+4中，常数项b=4＞0，所以图象交y轴的正半轴，所以该函数图象经过一、二、四象限，即函数图象不经过第三象限，故此选项正确，不符合题意；
D、一次函数y=-x+4中，向下平移4个单位长度后的函数解析式为y=-x+4-4=-x，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可得出该函数图象与x轴交点的坐标，据此可判断A选项；
一次函数y=ax+b（a≠0），当a＞0时，函数值随自变量的增大而增大，当a＜0时，函数值随自变量的增大而减小，据此可判断B选项；
一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断C选项；
一次函数y=ax+b（a≠0）图象的平移规律是“左移加，右移减；上移加，下移减”，据此可判断D选项.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴与相等的角有，，，，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质得，，从而由中点的定义得，根据等腰三角形”等边对等角“的性质得，然后利用三角形外角的性质得，接下来根据平行四边形的性质得，从而得，进而得，最后即可得与相等的角有4个.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取DF的中点H，连接AH，如下图：
∵AE⊥BC，∠ABC=78°，四边形ABCD是平行四边形
∴∠EAD=90°，AD∥BC
∴∠BAE=12°，∠CBD=∠ADB
∵点H为DF的中点
∴AH=DH=FH=DF=AB
∴∠ABH=∠AHB，∠AHD=∠HAD，∠HAF=∠HFA
∵∠AHB=∠HAD+∠HDA=2∠HDA
∴∠ABH=2∠HDA=2∠CBD，∠CBD+∠ABD=∠ABC=78°
∴∠CBD=26°=∠ADH
∴∠AFD=90°-26°=64°
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的性质，可得AB=AH=DH=FH，进而可得∠ABH=∠AHB，∠ADH=∠HAD，∠HAF=∠HFA；根据三角形外角性质，可得∠CBD=26°=∠ADH，即可求解.
11．【答案】95
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在数据 84，84，88，89，89，95，95，95，98， 中，95出现了3次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为：95
故答案为：95.
【分析】根据众数的定义：在一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，判断即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据被开方数不小于零的条件求解．
13．【答案】（0，5）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=2×0+5=5，
∴直线 与y轴的交点坐标为(0，5)．
故答案为(0，5)．
【分析】将x=0代入方程求解即可。
14．【答案】6
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于，于，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：6．
【分析】作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，由平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，AO=CO，由平行线性质得∠BAN=∠DCE，从而用AAS证△ANB≌△CMD，由全等三角形的对应边相等得BN=DM，由同底等高三角形的面积相等得，再求出，最后结合矩形的性质可求出结果．
15．【答案】21
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数，
，即随的增大而减小，
当时，函数值最大，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此可知当时，函数值最大，从而列出关于的方程，解之即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴∠EMN=∠FMN=90°，
∴，
∴ ，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：
，
即 ，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BE、BF、EN，由正方形的性质得AB=BC=CD，∠BAE=∠BCD=∠BCF=∠ABC=90°，由SAS证△ABE≌△CBF，得∠ABE=∠CBF，BE=BF， 从而由角的和差及等量代换推出∠EBF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，然后用SAS证△EMN≌△FMN，可得EN=FN，设CN=x，用含x的式子表示出EN、DE，在Rt△EDN中，利用勾股定理可算出x的值，从而得到CN、BC的长，进而再在Rt△BCN中，利用勾股定理算出BN即可.
17．【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥CE，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而有AD∥CE，进而由题目条件求出，即可得证四边形ADEC是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得证结论.
19．【答案】（1）解：
；
（2）2
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：（2）风筝沿方向再上升4米
他应该再放出线长为（米）．
故答案为：2．
【分析】（1）先用勾股定理求AC，进而根据AD=AC+CD可算出AD；
（2）先求上升4米后的AC的长度，再用勾股定理求线长，最后求差即可．
（1）解：
；
（2）风筝沿方向再上升4米
他应该再放出线长为（米）．
故答案为：2．
20．【答案】（1）9
（2）8
（3）解：八年级学生成绩的方差为
，
∵九年级学生成绩的方差为1分2，
∴九年级学生的成绩更稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）由题意得7+8+9+8+10+6+8+a+8+7=8×10，
∴a=9；
故答案为：9；
（2）将八年级10位同学的成绩按从低到高依次排列为：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10，
∴ 八年级学生成绩的中位数为（分），
故答案为：8；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，建立方程求解可得a的值；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解即可.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
在和中
又
四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，OB=5，
∴BD=2OB=10，
，
四边形是平行四边形
四边形是矩形
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OB=OD，由二直线平行，内错角相等得∠BEO=∠DFO，从而由AAS判断出△BEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，进而根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得BD=2OB=10，根据勾股定理的逆定理判断出∠BED=90°，然后根据有一个角是直角得平行四边形是矩形得四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得EF的长.
（1）解：四边形是平行四边形
在和中
又
四边形是平行四边形；
（2）
，
四边形是平行四边形
四边形是矩形
．
22．【答案】（1）解：设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，设总费用为w，
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，最小费用为1976元．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为： 甲种头盔的单价=乙种头盔的单价+11；20×甲种头盔的单价+30×乙种头盔的单价=920；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）此题的等量关系为：甲种头盔的数量+乙种头盔的数量=40；设购m只甲种头盔，设总费用为w，再根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解；根据题意列出w与m的函数解析式，利用一次函数的性质，即可求解.
23．【答案】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可；
（2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可；
（3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积.
24．【答案】（1）解：菱形．理由如下：
四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴AE=CF，
四边形AECF是平行四边形，
又∵AF=CF，
∴平行四边形AECF为菱形；
（2）证明：如图2，连接PF，
为的中点，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
．
；
（3）解：的值为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE=2ED，
，
四边形是矩形，
，
过点作于，则四边形为矩形，
，
．
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
在中．由勾股定理得：，
；
②如图4，若点为的三等分点，且，则，
过点作于，则，
同理可得：．
在中，，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1） 由矩形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AEF=∠CFE，由折叠性质得AF=CF，∠AFE=∠CFE，则推出∠AEF=∠AFE，由等角对等边得AF=AE=CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）连接PF，由中点定义及折叠性质得BF=CF=C'F，由矩形性质及折叠性质得∠B=∠C=∠D'C'F=90°，从而由HL判断出Rt△PC'F≌Rt△PBF，由全等三角形的对应边相等可得PC'=PB；
（3）分两种情况：①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE=2ED，由矩形性质得AB=CD=3，∠A=∠B=∠D=90°，过点E作EM⊥BC于点M，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形ABME是矩形，得BM=AE=4，EM=AB=3，∠EMF=90°，在Rt△EMF中，由勾股定理算出EF的长，由折叠性质得DE=D'E=2，CD=C'D'=3，∠D=∠D'=90°，在Rt△C'D'E中，用勾股定理算出C'E，从而即可求出两条线段的比值；②如图4，若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENF=90°，同理得FN=1，EN=3，在Rt△ENF中，由勾股定理算出EF，由折叠性质得DE=D'E=4，CD=C'D'=3，∠D=∠D'=90°，在Rt△C'D'E中，用勾股定理算出C'E，从而即可求出两条线段的比值，综上即可得出答案.
25．【答案】（1）D
（2）解：①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图1：
是的等垂点，
，
，
设，则
．
将代入，
得：，
解得，
；
②当在轴下方时，过作轴于．如图2：
同①可证明
，
设，则
，
将代入，
得：，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，如图，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，点A的等垂点是点D；
故答案为：D；
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：
当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：
∵PR是线段AA'的垂直平分线，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，
∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，
同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，
故答案为：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，由点的坐标与图形的性质、等边对等角及三角形的内角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，从而根据等垂点定义可得结论；
（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，由等垂点定义得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判断出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，设A'F=OE=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出m的值，从而即可得到点A'得坐标；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同①可证△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，设A'H=OG=n，则OH=2-n，则点A'(-n，n-2)，将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出n的值，从而即可得到点A'得坐标，综上可得答案；
（3）设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：由线段垂直平分线的性质得RA=RA'， PA=PA'，由中点坐标公式得，进而根据点的坐标与图形性质得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，从而由ASA判断出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点.
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