广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A．5a2 a＝5a3 B．（a﹣1）2＝a2+1
C． D．（4a+b）（b﹣4a）＝16a2﹣b2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 5a2 a＝5a3 ，故A正确
B、 （a﹣1）2＝a2-2a+1 ，故B错误
C、，故C错误
D、（ 4a+b ）（b ﹣ 4a ）＝b2-16a2，故D正确
故答案为：D.
【分析】A、 根据同底数幂相乘底数不变，指数相加可得5a2 a＝5a3.
B、根据 （a﹣b）2＝a2-2ab+b2 可得：（a﹣1）2＝a2-2a+1 .
C、先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，以及积的乘方等于各因式乘方的积，得到：， 根据同底数幂相除底数不变，指数相减进行计算即可.
D、根据平方差公式（a+b ）（a ﹣ b ）＝a 2-b2进行计算即可.
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米＝10﹣9米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣7 C．70×10﹣8 D．0.7×10﹣7
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 700纳米 =700× 10﹣9米 = 7×10﹣7 米 .
故答案为：B.
【分析】绝对值大于0小于的的数的科学记数法可以表示为，其中1≤a<10，n取从左边数第一个非零数字前0的个数.
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM=3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过C作CF⊥AO.
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF.
∵CM=3，∴CF=3.
故答案为：C.
【分析】过C作CF⊥AO，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案.
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选：B．
【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交于点，
A、由题意知：∠EGP=∠P=90°
∴
故A不符合题意
B、∵
是的一个外角
故B不符合题意
C、由题意知：∠PMN=30°，∠P=90°
是的一个外角
，
故C不符合题意
D、，
故故答案为：D．
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行，可得：
B、延长交于点，根据两直线平行内错角相等，可得：，再根据三角形的外角的性质，可以求出，可得
C、根据三角形的外角和性质得出：
D、根据平角的定义得出：，而∠PNM=60°即可解决问题.
9．（2024八上·南山开学考）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且BC＝6，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【解答】解： ∵BC ＝6，OF ＝2，OF ⊥BC
∴
∵△ABC的中线BD 、CE 相交于点O
∴O是△ABC的重心
∴BO=2OD，OC=2EO
∴
∴
∵D为AC的中点
∴
∴ 四边形ADOE 的面积 =
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件，求出，再根据三角形重心的性质求出：，再求出，最后利用割补法求 四边形ADOE的面积 .
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为20cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ．
【答案】y＝﹣x2+10x
【知识点】列二次函数关系式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵y=x(10-x)
∴y＝﹣x2+10x
故答案为：y＝﹣x2+10x.
【分析】长方形的周长为20，其长+宽=10，设一边长为x，则另一条边为（10-x），则根据长方形的面积公式写出y与x的关系式 即可.
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F
∵l1//l2//l3
∴EF⊥l3
∴∠AED=∠ADC=∠CFD=90，DE=1，DF =2，
∴∠ADE+∠DAE =90°，∠ADE+∠CDF=90°
∴∠DAE=∠CDF
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD
∴△ADE≌△DCF(AAS)
∴AE=DF=2
∴
故答案为：.
【分析】过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F，根据一线三垂直模型得到：△ADE≌△DCF(AAS)，得出：AE=DF=2，再根据勾股定理求出AD的长，即：.
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
【答案】14
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知：把x=2代入方程 ax +b ＝3得：2a+b=3
∵ 4a 2 +4ab +b 2+4a +2b ﹣1=（2a+b）2+2(2a+b)-1
=32+2×3-1
=14
故答案为：14.
【分析】先把x=2代入方程 ax +b ＝3得：2a+b=3，再把原代数式化简为：4a 2 +4ab +b 2+4a +2b ﹣1=（2a+b）2+2(2a+b)-1，再代入2a+b=3即可.
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（2024八上·南山开学考）（1）﹣12021﹣|﹣23|﹣（2020﹣π）0+（﹣）﹣3；
（2）（﹣3xy2）2 （﹣6x2y）÷（9x4y5）；
（3）（a+2b+1）（a+2b﹣1）；
（4）（简便运算）899×901+1．
【答案】（1）解原式=-1-8-1-8
=-16
（2）解原式=
=
=-6
（3）解原式=
=a2+4ab+4b2﹣1
（4）解原式=(900-1)(900+1)+1
=9002-1+1
=810000
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）分别把： ﹣12021 =-1， |﹣23| =8， （2020﹣π）0 =1， ﹣）﹣3 =-8代入计算即可.
（2）根据单项式乘以单项式法则先计算乘法，再根据单项式除以单项式计算除法即可.
（3）把a+2b看作一个整体，再根据平方差公式可得：，最后根据完全平方公式进行展开即可.
（4）把 899×901+1 先转化为：(900-1)(900+1)+1，再根据平方差公式进行计算得到：9002-1+1，最后再计算即可.
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（﹣b），其中a，b满足：|a﹣1|+（b+2）2＝0．
【答案】解原式=
=
=
=
∵ |a﹣1|+（b+2）2＝0
∴a=1，b=-2
∴原式=.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先分别根据完全平方公式：，和平方差公式：进行计算，把原式化为最简，再根据绝对值和平方具有非负性求出a，b的值，再代入化简后的式子即可.
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
【答案】（1）解：过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题；(2)根据四边形内角和为360 或“8字型”性质即可解决问题.
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km．
（2）小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h，图中点A表示 ．
（3）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是 km．
【答案】（1）时间（t）；距离（s）；60
（2）1；60；离家50千米，离度假村10千米
（3）30或45
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：自变量为时间(t)，因变量为距离（s）， 小南家到该度假村的距离是 60km，故答案为：时间（t）；距离（s）；60.
（2）由图象可知： 小南出发1小时后爸爸驾车出发
爸爸驾车的平均速度为 ：60÷（2-1）=60 (km /h)
图中点A表示小南和妈妈离家50km，离度假村10km，故答案为：1，60，离家50千米，离度假村10千米.
（3）设小南和妈妈出发th后与爸爸相遇
小南和妈妈的平均速度为60÷3=20(km/h)
当爸爸从家去度假村的途中与小南相遇时
∴20t =60(t-1)，解得t = 1.5
离家的距离为20x1.5 =30(km)
当爸爸从度假村返回家的途中与小南相遇时
∴20t+60(t-1)= 60 x2，解得t = 2.25
离家的距离为20x2.25 =45(km)
所以小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是30km或50km.【分析】
（1）根据函数图象可知：横轴为时间，纵轴为距离， 小南家到该度假村的 距离为60千米.
（2）根据图象可以看出：小南爸爸在小南出发1小时后开车出发，并且小南爸爸驾车1小时到达度假村，根据平均速度=路程÷时间进行计算即可，再根据纵轴表示的是离家的距离可得：点A表示离家50千米.
（3）先小南和妈妈出发th后与爸爸相遇，可得出小南和妈妈的平均速度为60÷3=20(km/h)，根据题意分两种情况：
当爸爸从家去度假村的途中与小南相遇时，根据等量关系：小南和妈妈走的路程=爸爸路程，列出方程：20t =60(t-1)，解得t，再计算20x1.5 =30千米即可
当爸爸从度假村返回家的途中与小南相遇时，根据等量关系：爸爸路程+小南和妈妈走的路程=120，列出方程：20t+60(t-1)= 60 x2，解出t，再计算20x2.25 =45千米即可.
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∴△AEC是等腰三角形
∴∠C=∠EAC
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∵∠B ＝2∠C
∴∠AEB=∠B
∴AB=AE
∴△ABE为等腰三角形
∴ AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）解：如图：AX2是即为所求分割线，△ABX2和△ACX2都是等腰三角形.
∵∠C=∠CAX2 =40°
∴∠AX2C=100°
∴∠AX2B=∠C+∠CAX2=40°+40°=80°
∵∠B=20°
∴∠BAX2=180°-∠B-∠AX2B=180°-20°-80°=80°
∴AB=BX2 ∴两个等腰三角形的顶角为100°，20°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时
∵AD=AC
∴∠ADC=∠C=40°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-40°-40°=100°
∴∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠BAD=40°-20°=20°
∵∠B=20°
∴∠B=∠BAD，∠ADB=140°
∴∴两个等腰三角形的顶角为100°，140°.
（3）∠B＝60°或15°或37.5°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）如图：当AD=AC时
∴∠ADC=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD
∵∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠B=15°
如图：当AD=DC时
∴∠DAC=∠C=30°
∴∠ADB=∠DAC＋∠C=60°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=(180°-60°)÷2=60°
如图，当AC=CD时
∴∠CDA=∠DAC
∵∠C=30°
∴∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°
∵∠CDA=∠B＋∠BAD
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=37.5°
故答案为：∠B＝60°或15°或37.5°.
【分析】（1）根据DE垂直平分AC，得到EA=EC，因此△AEC是等腰三角形，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到：∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，结合已知条件：∠B ＝2∠C 得到∠AEB=∠B，因而△ABE为等腰三角形.
（2）分两种情况讨论：
当△ABX2和△ACX2都是等腰三角形时，AX2=X2C，AB=BX2时，根据三角形内角和定理可得：∠B=20°，∠AX2C=100°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时，AD=AC，BD=AD时，根据三角形内角和定理可得：∠ADB=140°，∠DAC=100°
（3）分三种情况：
当AD=AC时，得到∠ADC=∠C=30°，可得：∠ADB=∠DAC＋∠C=60°因为AD=BD可得∠B=∠BAD=15°
当AD=DC时∠DAC=∠C=30°，∠ADB=∠DAC＋∠C=60°，再根据AD=BD可得∠B=∠BAD=60°
当AC=CD时可得∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°，再根据∠CDA=∠B＋∠BAD
且AD=BD可得∠B=∠BAD=37.5°.
22．（2024八上·南山开学考）
（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是 ；
②∠BEC＝ ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；
（3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．
【答案】（1）AD＝BE；120°
（2）解：∵ △DCE 为等腰三角形
∴∠CDE=CED=45°
∴∠ADC=180°-45°=135°
∵ AE ＝15，DE ＝7
∴AD=AE-DE=15-7=8
由（1）知： △BCE ≌△ACD
∴AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°
∴∠BEA=135°-∠CED=90°
在Rt△AEB中
.
（3）解：如图：把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE
由（1）知：△AEC≌△BPC
∴CE=CP，∠PCE=60°，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC =150°
∴△PCE是等边三角形
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4
∴DE=DP＋EP=4＋8=12
∴∠AED=∠AEC-∠PEC=90°
∵∠BPD = 30°.
∴∠DPC=150°-30°= 120°
∴∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°
∴D、P、E在同一条直线上
∴在Rt△AED中，.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∵ △DCE 为等边三角形
∴∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∵△BCE ≌ △ ACD
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°
故答案为：AD＝BE，120°.
【分析】
（1）先由等边三角形的性质得出：∠ADC=120°，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°.
（2）同理（1）先求出∠ADC=180°-45°=135°，AD=AE-DE=15-7=8，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°从而∠BEA=135°-∠CED=90°，再根据勾股定理得出：.
（3）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE，由（1）知：△AEC≌△BPC可得：△PCE是等边三角形，PE=CP=4，DE=DP＋EP=4＋8=12，∠AED=∠AEC-∠PEC=90°，再根据∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°证明D、P、E在同一条直线上，最后根据勾股定理求出AD即可.
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A．5a2 a＝5a3 B．（a﹣1）2＝a2+1
C． D．（4a+b）（b﹣4a）＝16a2﹣b2
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米＝10﹣9米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣7 C．70×10﹣8 D．0.7×10﹣7
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM=3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·南山开学考）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且BC＝6，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为20cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ．
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 ．
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（2024八上·南山开学考）（1）﹣12021﹣|﹣23|﹣（2020﹣π）0+（﹣）﹣3；
（2）（﹣3xy2）2 （﹣6x2y）÷（9x4y5）；
（3）（a+2b+1）（a+2b﹣1）；
（4）（简便运算）899×901+1．
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（﹣b），其中a，b满足：|a﹣1|+（b+2）2＝0．
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km．
（2）小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h，图中点A表示 ．
（3）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是 km．
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
22．（2024八上·南山开学考）
（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是 ；
②∠BEC＝ ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；
（3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 5a2 a＝5a3 ，故A正确
B、 （a﹣1）2＝a2-2a+1 ，故B错误
C、，故C错误
D、（ 4a+b ）（b ﹣ 4a ）＝b2-16a2，故D正确
故答案为：D.
【分析】A、 根据同底数幂相乘底数不变，指数相加可得5a2 a＝5a3.
B、根据 （a﹣b）2＝a2-2ab+b2 可得：（a﹣1）2＝a2-2a+1 .
C、先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，以及积的乘方等于各因式乘方的积，得到：， 根据同底数幂相除底数不变，指数相减进行计算即可.
D、根据平方差公式（a+b ）（a ﹣ b ）＝a 2-b2进行计算即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 700纳米 =700× 10﹣9米 = 7×10﹣7 米 .
故答案为：B.
【分析】绝对值大于0小于的的数的科学记数法可以表示为，其中1≤a<10，n取从左边数第一个非零数字前0的个数.
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过C作CF⊥AO.
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF.
∵CM=3，∴CF=3.
故答案为：C.
【分析】过C作CF⊥AO，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案.
6．【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选：B．
【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．
7．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交于点，
A、由题意知：∠EGP=∠P=90°
∴
故A不符合题意
B、∵
是的一个外角
故B不符合题意
C、由题意知：∠PMN=30°，∠P=90°
是的一个外角
，
故C不符合题意
D、，
故故答案为：D．
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行，可得：
B、延长交于点，根据两直线平行内错角相等，可得：，再根据三角形的外角的性质，可以求出，可得
C、根据三角形的外角和性质得出：
D、根据平角的定义得出：，而∠PNM=60°即可解决问题.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【解答】解： ∵BC ＝6，OF ＝2，OF ⊥BC
∴
∵△ABC的中线BD 、CE 相交于点O
∴O是△ABC的重心
∴BO=2OD，OC=2EO
∴
∴
∵D为AC的中点
∴
∴ 四边形ADOE 的面积 =
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件，求出，再根据三角形重心的性质求出：，再求出，最后利用割补法求 四边形ADOE的面积 .
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
11．【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
13．【答案】y＝﹣x2+10x
【知识点】列二次函数关系式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵y=x(10-x)
∴y＝﹣x2+10x
故答案为：y＝﹣x2+10x.
【分析】长方形的周长为20，其长+宽=10，设一边长为x，则另一条边为（10-x），则根据长方形的面积公式写出y与x的关系式 即可.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F
∵l1//l2//l3
∴EF⊥l3
∴∠AED=∠ADC=∠CFD=90，DE=1，DF =2，
∴∠ADE+∠DAE =90°，∠ADE+∠CDF=90°
∴∠DAE=∠CDF
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD
∴△ADE≌△DCF(AAS)
∴AE=DF=2
∴
故答案为：.
【分析】过点D作EF⊥L1交l1于点E，交l2于点F，根据一线三垂直模型得到：△ADE≌△DCF(AAS)，得出：AE=DF=2，再根据勾股定理求出AD的长，即：.
15．【答案】14
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知：把x=2代入方程 ax +b ＝3得：2a+b=3
∵ 4a 2 +4ab +b 2+4a +2b ﹣1=（2a+b）2+2(2a+b)-1
=32+2×3-1
=14
故答案为：14.
【分析】先把x=2代入方程 ax +b ＝3得：2a+b=3，再把原代数式化简为：4a 2 +4ab +b 2+4a +2b ﹣1=（2a+b）2+2(2a+b)-1，再代入2a+b=3即可.
16．【答案】（1）解原式=-1-8-1-8
=-16
（2）解原式=
=
=-6
（3）解原式=
=a2+4ab+4b2﹣1
（4）解原式=(900-1)(900+1)+1
=9002-1+1
=810000
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）分别把： ﹣12021 =-1， |﹣23| =8， （2020﹣π）0 =1， ﹣）﹣3 =-8代入计算即可.
（2）根据单项式乘以单项式法则先计算乘法，再根据单项式除以单项式计算除法即可.
（3）把a+2b看作一个整体，再根据平方差公式可得：，最后根据完全平方公式进行展开即可.
（4）把 899×901+1 先转化为：(900-1)(900+1)+1，再根据平方差公式进行计算得到：9002-1+1，最后再计算即可.
17．【答案】解原式=
=
=
=
∵ |a﹣1|+（b+2）2＝0
∴a=1，b=-2
∴原式=.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先分别根据完全平方公式：，和平方差公式：进行计算，把原式化为最简，再根据绝对值和平方具有非负性求出a，b的值，再代入化简后的式子即可.
18．【答案】（1）解：过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题；(2)根据四边形内角和为360 或“8字型”性质即可解决问题.
19．【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．【答案】（1）时间（t）；距离（s）；60
（2）1；60；离家50千米，离度假村10千米
（3）30或45
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：自变量为时间(t)，因变量为距离（s）， 小南家到该度假村的距离是 60km，故答案为：时间（t）；距离（s）；60.
（2）由图象可知： 小南出发1小时后爸爸驾车出发
爸爸驾车的平均速度为 ：60÷（2-1）=60 (km /h)
图中点A表示小南和妈妈离家50km，离度假村10km，故答案为：1，60，离家50千米，离度假村10千米.
（3）设小南和妈妈出发th后与爸爸相遇
小南和妈妈的平均速度为60÷3=20(km/h)
当爸爸从家去度假村的途中与小南相遇时
∴20t =60(t-1)，解得t = 1.5
离家的距离为20x1.5 =30(km)
当爸爸从度假村返回家的途中与小南相遇时
∴20t+60(t-1)= 60 x2，解得t = 2.25
离家的距离为20x2.25 =45(km)
所以小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是30km或50km.【分析】
（1）根据函数图象可知：横轴为时间，纵轴为距离， 小南家到该度假村的 距离为60千米.
（2）根据图象可以看出：小南爸爸在小南出发1小时后开车出发，并且小南爸爸驾车1小时到达度假村，根据平均速度=路程÷时间进行计算即可，再根据纵轴表示的是离家的距离可得：点A表示离家50千米.
（3）先小南和妈妈出发th后与爸爸相遇，可得出小南和妈妈的平均速度为60÷3=20(km/h)，根据题意分两种情况：
当爸爸从家去度假村的途中与小南相遇时，根据等量关系：小南和妈妈走的路程=爸爸路程，列出方程：20t =60(t-1)，解得t，再计算20x1.5 =30千米即可
当爸爸从度假村返回家的途中与小南相遇时，根据等量关系：爸爸路程+小南和妈妈走的路程=120，列出方程：20t+60(t-1)= 60 x2，解出t，再计算20x2.25 =45千米即可.
21．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∴△AEC是等腰三角形
∴∠C=∠EAC
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∵∠B ＝2∠C
∴∠AEB=∠B
∴AB=AE
∴△ABE为等腰三角形
∴ AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）解：如图：AX2是即为所求分割线，△ABX2和△ACX2都是等腰三角形.
∵∠C=∠CAX2 =40°
∴∠AX2C=100°
∴∠AX2B=∠C+∠CAX2=40°+40°=80°
∵∠B=20°
∴∠BAX2=180°-∠B-∠AX2B=180°-20°-80°=80°
∴AB=BX2 ∴两个等腰三角形的顶角为100°，20°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时
∵AD=AC
∴∠ADC=∠C=40°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-40°-40°=100°
∴∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠BAD=40°-20°=20°
∵∠B=20°
∴∠B=∠BAD，∠ADB=140°
∴∴两个等腰三角形的顶角为100°，140°.
（3）∠B＝60°或15°或37.5°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）如图：当AD=AC时
∴∠ADC=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD
∵∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠B=15°
如图：当AD=DC时
∴∠DAC=∠C=30°
∴∠ADB=∠DAC＋∠C=60°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=(180°-60°)÷2=60°
如图，当AC=CD时
∴∠CDA=∠DAC
∵∠C=30°
∴∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°
∵∠CDA=∠B＋∠BAD
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=37.5°
故答案为：∠B＝60°或15°或37.5°.
【分析】（1）根据DE垂直平分AC，得到EA=EC，因此△AEC是等腰三角形，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到：∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，结合已知条件：∠B ＝2∠C 得到∠AEB=∠B，因而△ABE为等腰三角形.
（2）分两种情况讨论：
当△ABX2和△ACX2都是等腰三角形时，AX2=X2C，AB=BX2时，根据三角形内角和定理可得：∠B=20°，∠AX2C=100°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时，AD=AC，BD=AD时，根据三角形内角和定理可得：∠ADB=140°，∠DAC=100°
（3）分三种情况：
当AD=AC时，得到∠ADC=∠C=30°，可得：∠ADB=∠DAC＋∠C=60°因为AD=BD可得∠B=∠BAD=15°
当AD=DC时∠DAC=∠C=30°，∠ADB=∠DAC＋∠C=60°，再根据AD=BD可得∠B=∠BAD=60°
当AC=CD时可得∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°，再根据∠CDA=∠B＋∠BAD
且AD=BD可得∠B=∠BAD=37.5°.
22．【答案】（1）AD＝BE；120°
（2）解：∵ △DCE 为等腰三角形
∴∠CDE=CED=45°
∴∠ADC=180°-45°=135°
∵ AE ＝15，DE ＝7
∴AD=AE-DE=15-7=8
由（1）知： △BCE ≌△ACD
∴AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°
∴∠BEA=135°-∠CED=90°
在Rt△AEB中
.
（3）解：如图：把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE
由（1）知：△AEC≌△BPC
∴CE=CP，∠PCE=60°，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC =150°
∴△PCE是等边三角形
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4
∴DE=DP＋EP=4＋8=12
∴∠AED=∠AEC-∠PEC=90°
∵∠BPD = 30°.
∴∠DPC=150°-30°= 120°
∴∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°
∴D、P、E在同一条直线上
∴在Rt△AED中，.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∵ △DCE 为等边三角形
∴∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∵△BCE ≌ △ ACD
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°
故答案为：AD＝BE，120°.
【分析】
（1）先由等边三角形的性质得出：∠ADC=120°，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°.
（2）同理（1）先求出∠ADC=180°-45°=135°，AD=AE-DE=15-7=8，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°从而∠BEA=135°-∠CED=90°，再根据勾股定理得出：.
（3）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE，由（1）知：△AEC≌△BPC可得：△PCE是等边三角形，PE=CP=4，DE=DP＋EP=4＋8=12，∠AED=∠AEC-∠PEC=90°，再根据∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°证明D、P、E在同一条直线上，最后根据勾股定理求出AD即可.
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