广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试卷
1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为纳米，已知纳米米，那么纳米用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM＝3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·南山开学考）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为，其中一边为其中，面积为，则关于的关系式为 ．
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点，，，且相互平行，若，的距离为，，的距离为，则正方形的面积为 ．
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
16．（2024八上·南山开学考）计算：
；
简便运算；
；
．
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：，其中，．
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km．
（2）小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h，图中点A表示 ．
（3）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是 km．
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
22．（2024八上·南山开学考）
（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是 ；
②∠BEC＝ ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；
（3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、
B、
C、
D、
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，单项式除单项式，商的系数为原单项式系数的商，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的差可得结果，A错误；
根据单项式乘单项式，积的系数等于原两个单项式系数的积，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的和可得结果，B正确；
由差的完全平方公式可得结果，C错误；
由平方差公式可得结果，D错误.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 纳米 =
故答案为：B.
【分析】根据绝对值小于1的数科学记数法表示为(0＜a＜10，n为正整数）可得结果.
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．【答案】C
6．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】
解：当点P在AD上运动时，AP=t
（0≤t≤2）
当点P在DE上运动时，
（2＜t≤3）
当点P在EF上运动时，
（3＜t≤4）
当点P在GF上运动时，
（4＜t≤5）
当点P在BG上运动时，
（5＜t≤6）
故答案为：A.
【分析】根据点P的运动轨迹和△ABP的面积公式可列出不同时段的函数解析式，根据函数解析式可得图像，即可得答案.
7．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；余角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：∵∠EGF=∠MPN=90°
∴GE∥PN
∴A选项正确
如图延长FP交CD于点H
∵AB∥CD
∴∠PHN= ∠EFG=45°
∴∠PNC=45°
∴∠PNC=∠AFG=45°
∴B选项正确
∴∠MND=75°
∴∠MND≠∠PNM
∴ D选项不正确
∴∠FMN=180°-∠PMN=150°
∴C选项正确
故答案为：D.
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行可得A正确，不符合题意；
B、 如图，延长FP交CD于点H，根据平行线性质和三角形内角和可得∠PNC=∠AFG可得B正确，不符合题意；
C、由三角板的角度和邻补角的计算可得∠FMN的度数，可得C正确，不符合题意；
D、 由B选项可得∠MND的度数，即可得结果，D错误，符合题意.
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵BD、CE均是△ABC的中线，
∴S△BCD＝S△ACE＝ S△ABC，
∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得S△BCD＝S△ACE＝ S△ABC，从而可得S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，即得S四边形ADOE＝S△BOC，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
11．【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
13．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
14．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
15．【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=2是ax+b=3的解
∴2a+b=3
又∵=
故答案为：14.
【分析】由x=2是ax+b=3的解可得2a+b=3，根据完全平方式和整体代换代入即可得结果.
16．【答案】解：
；
；
；
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）由积的乘方=把积的每一项分别乘方，再把所得的积相乘可化简第一项，再根据单项式乘单项式和单项式除单项式顺次计算即可得结果；
（2）把899化为900-1，把901化为900+1，可利用平方差公式计算899×901，即可计算结果；
（3）根据乘方的意义和0指数幂、负整数指数幂以及去绝对值符号可化简原式，再依次加减可得结果；
（4）把a+2b作为一个整体，利用平方差公式和和的完全平方公式即可得结果.
17．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
18．【答案】（1）解：过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题；(2)根据四边形内角和为360 或“8字型”性质即可解决问题.
19．【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．【答案】（1）时间（t）；距离（s）；60；
（2）1；60；小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km
（3）30或45
【知识点】常量、变量；函数的图象
【解析】【解答】解：（1）自变量是时间（t），因变量是距离（s）；小南家到该度假村的距离是60km．
故答案为：时间（t）；距离（s）；60；（2）小南出发1小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为60km/h，图中点A表示小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
故答案为：1；60；小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；（3）小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45km．
故答案为：30或45
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；（2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，以及当爸爸第一次到达度假村后，小亮离度假村的距离；（3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案．
21．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∴△AEC是等腰三角形
∴∠C=∠EAC
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∵∠B ＝2∠C
∴∠AEB=∠B
∴AB=AE
∴△ABE为等腰三角形
∴ AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）解：如图：AX2是即为所求分割线，△ABX2和△ACX2都是等腰三角形.
∵∠C=∠CAX2 =40°
∴∠AX2C=100°
∴∠AX2B=∠C+∠CAX2=40°+40°=80°
∵∠B=20°
∴∠BAX2=180°-∠B-∠AX2B=180°-20°-80°=80°
∴AB=BX2 ∴两个等腰三角形的顶角为100°，20°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时
∵AD=AC
∴∠ADC=∠C=40°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-40°-40°=100°
∴∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠BAD=40°-20°=20°
∵∠B=20°
∴∠B=∠BAD，∠ADB=140°
∴∴两个等腰三角形的顶角为100°，140°.
（3）∠B＝60°或15°或37.5°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）如图：当AD=AC时
∴∠ADC=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD
∵∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠B=15°
如图：当AD=DC时
∴∠DAC=∠C=30°
∴∠ADB=∠DAC＋∠C=60°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=(180°-60°)÷2=60°
如图，当AC=CD时
∴∠CDA=∠DAC
∵∠C=30°
∴∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°
∵∠CDA=∠B＋∠BAD
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=37.5°
故答案为：∠B＝60°或15°或37.5°.
【分析】（1）根据DE垂直平分AC，得到EA=EC，因此△AEC是等腰三角形，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到：∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，结合已知条件：∠B ＝2∠C 得到∠AEB=∠B，因而△ABE为等腰三角形.
（2）分两种情况讨论：
当△ABX2和△ACX2都是等腰三角形时，AX2=X2C，AB=BX2时，根据三角形内角和定理可得：∠B=20°，∠AX2C=100°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时，AD=AC，BD=AD时，根据三角形内角和定理可得：∠ADB=140°，∠DAC=100°
（3）分三种情况：
当AD=AC时，得到∠ADC=∠C=30°，可得：∠ADB=∠DAC＋∠C=60°因为AD=BD可得∠B=∠BAD=15°
当AD=DC时∠DAC=∠C=30°，∠ADB=∠DAC＋∠C=60°，再根据AD=BD可得∠B=∠BAD=60°
当AC=CD时可得∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°，再根据∠CDA=∠B＋∠BAD
且AD=BD可得∠B=∠BAD=37.5°.
22．【答案】（1）AD＝BE；120°
（2）解：∵ △DCE 为等腰三角形
∴∠CDE=CED=45°
∴∠ADC=180°-45°=135°
∵ AE ＝15，DE ＝7
∴AD=AE-DE=15-7=8
由（1）知： △BCE ≌△ACD
∴AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°
∴∠BEA=135°-∠CED=90°
在Rt△AEB中
.
（3）解：如图：把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE
由（1）知：△AEC≌△BPC
∴CE=CP，∠PCE=60°，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC =150°
∴△PCE是等边三角形
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4
∴DE=DP＋EP=4＋8=12
∴∠AED=∠AEC-∠PEC=90°
∵∠BPD = 30°.
∴∠DPC=150°-30°= 120°
∴∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°
∴D、P、E在同一条直线上
∴在Rt△AED中，.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∵ △DCE 为等边三角形
∴∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∵△BCE ≌ △ ACD
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°
故答案为：AD＝BE，120°.
【分析】
（1）先由等边三角形的性质得出：∠ADC=120°，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°.
（2）同理（1）先求出∠ADC=180°-45°=135°，AD=AE-DE=15-7=8，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°从而∠BEA=135°-∠CED=90°，再根据勾股定理得出：.
（3）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE，由（1）知：△AEC≌△BPC可得：△PCE是等边三角形，PE=CP=4，DE=DP＋EP=4＋8=12，∠AED=∠AEC-∠PEC=90°，再根据∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°证明D、P、E在同一条直线上，最后根据勾股定理求出AD即可.
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1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、
B、
C、
D、
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，单项式除单项式，商的系数为原单项式系数的商，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的差可得结果，A错误；
根据单项式乘单项式，积的系数等于原两个单项式系数的积，各个字母的幂等于原单项式各字母幂指数的和可得结果，B正确；
由差的完全平方公式可得结果，C错误；
由平方差公式可得结果，D错误.
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为纳米，已知纳米米，那么纳米用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 纳米 =
故答案为：B.
【分析】根据绝对值小于1的数科学记数法表示为(0＜a＜10，n为正整数）可得结果.
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM＝3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】
解：当点P在AD上运动时，AP=t
（0≤t≤2）
当点P在DE上运动时，
（2＜t≤3）
当点P在EF上运动时，
（3＜t≤4）
当点P在GF上运动时，
（4＜t≤5）
当点P在BG上运动时，
（5＜t≤6）
故答案为：A.
【分析】根据点P的运动轨迹和△ABP的面积公式可列出不同时段的函数解析式，根据函数解析式可得图像，即可得答案.
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；余角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：∵∠EGF=∠MPN=90°
∴GE∥PN
∴A选项正确
如图延长FP交CD于点H
∵AB∥CD
∴∠PHN= ∠EFG=45°
∴∠PNC=45°
∴∠PNC=∠AFG=45°
∴B选项正确
∴∠MND=75°
∴∠MND≠∠PNM
∴ D选项不正确
∴∠FMN=180°-∠PMN=150°
∴C选项正确
故答案为：D.
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行可得A正确，不符合题意；
B、 如图，延长FP交CD于点H，根据平行线性质和三角形内角和可得∠PNC=∠AFG可得B正确，不符合题意；
C、由三角板的角度和邻补角的计算可得∠FMN的度数，可得C正确，不符合题意；
D、 由B选项可得∠MND的度数，即可得结果，D错误，符合题意.
9．（2024八上·南山开学考）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵BD、CE均是△ABC的中线，
∴S△BCD＝S△ACE＝ S△ABC，
∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得S△BCD＝S△ACE＝ S△ABC，从而可得S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，即得S四边形ADOE＝S△BOC，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积即可.
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为，其中一边为其中，面积为，则关于的关系式为 ．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点，，，且相互平行，若，的距离为，，的距离为，则正方形的面积为 ．
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=2是ax+b=3的解
∴2a+b=3
又∵=
故答案为：14.
【分析】由x=2是ax+b=3的解可得2a+b=3，根据完全平方式和整体代换代入即可得结果.
16．（2024八上·南山开学考）计算：
；
简便运算；
；
．
【答案】解：
；
；
；
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）由积的乘方=把积的每一项分别乘方，再把所得的积相乘可化简第一项，再根据单项式乘单项式和单项式除单项式顺次计算即可得结果；
（2）把899化为900-1，把901化为900+1，可利用平方差公式计算899×901，即可计算结果；
（3）根据乘方的意义和0指数幂、负整数指数幂以及去绝对值符号可化简原式，再依次加减可得结果；
（4）把a+2b作为一个整体，利用平方差公式和和的完全平方公式即可得结果.
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
【答案】（1）解：过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题；(2)根据四边形内角和为360 或“8字型”性质即可解决问题.
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km．
（2）小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h，图中点A表示 ．
（3）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是 km．
【答案】（1）时间（t）；距离（s）；60；
（2）1；60；小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km
（3）30或45
【知识点】常量、变量；函数的图象
【解析】【解答】解：（1）自变量是时间（t），因变量是距离（s）；小南家到该度假村的距离是60km．
故答案为：时间（t）；距离（s）；60；（2）小南出发1小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为60km/h，图中点A表示小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
故答案为：1；60；小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；（3）小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45km．
故答案为：30或45
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；（2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，以及当爸爸第一次到达度假村后，小亮离度假村的距离；（3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案．
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∴△AEC是等腰三角形
∴∠C=∠EAC
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∵∠B ＝2∠C
∴∠AEB=∠B
∴AB=AE
∴△ABE为等腰三角形
∴ AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）解：如图：AX2是即为所求分割线，△ABX2和△ACX2都是等腰三角形.
∵∠C=∠CAX2 =40°
∴∠AX2C=100°
∴∠AX2B=∠C+∠CAX2=40°+40°=80°
∵∠B=20°
∴∠BAX2=180°-∠B-∠AX2B=180°-20°-80°=80°
∴AB=BX2 ∴两个等腰三角形的顶角为100°，20°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时
∵AD=AC
∴∠ADC=∠C=40°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-40°-40°=100°
∴∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠BAD=40°-20°=20°
∵∠B=20°
∴∠B=∠BAD，∠ADB=140°
∴∴两个等腰三角形的顶角为100°，140°.
（3）∠B＝60°或15°或37.5°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）如图：当AD=AC时
∴∠ADC=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD
∵∠ADC=∠B＋∠BAD
∴∠B=15°
如图：当AD=DC时
∴∠DAC=∠C=30°
∴∠ADB=∠DAC＋∠C=60°
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=(180°-60°)÷2=60°
如图，当AC=CD时
∴∠CDA=∠DAC
∵∠C=30°
∴∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°
∵∠CDA=∠B＋∠BAD
∵AD=BD
∴∠B=∠BAD=37.5°
故答案为：∠B＝60°或15°或37.5°.
【分析】（1）根据DE垂直平分AC，得到EA=EC，因此△AEC是等腰三角形，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到：∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，结合已知条件：∠B ＝2∠C 得到∠AEB=∠B，因而△ABE为等腰三角形.
（2）分两种情况讨论：
当△ABX2和△ACX2都是等腰三角形时，AX2=X2C，AB=BX2时，根据三角形内角和定理可得：∠B=20°，∠AX2C=100°
当△ACD和△ABD2都是等腰三角形时，AD=AC，BD=AD时，根据三角形内角和定理可得：∠ADB=140°，∠DAC=100°
（3）分三种情况：
当AD=AC时，得到∠ADC=∠C=30°，可得：∠ADB=∠DAC＋∠C=60°因为AD=BD可得∠B=∠BAD=15°
当AD=DC时∠DAC=∠C=30°，∠ADB=∠DAC＋∠C=60°，再根据AD=BD可得∠B=∠BAD=60°
当AC=CD时可得∠CDA=∠DAC=(180°-30°)÷2=75°，再根据∠CDA=∠B＋∠BAD
且AD=BD可得∠B=∠BAD=37.5°.
22．（2024八上·南山开学考）
（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是 ；
②∠BEC＝ ；
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；
（3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．
【答案】（1）AD＝BE；120°
（2）解：∵ △DCE 为等腰三角形
∴∠CDE=CED=45°
∴∠ADC=180°-45°=135°
∵ AE ＝15，DE ＝7
∴AD=AE-DE=15-7=8
由（1）知： △BCE ≌△ACD
∴AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°
∴∠BEA=135°-∠CED=90°
在Rt△AEB中
.
（3）解：如图：把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE
由（1）知：△AEC≌△BPC
∴CE=CP，∠PCE=60°，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC =150°
∴△PCE是等边三角形
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4
∴DE=DP＋EP=4＋8=12
∴∠AED=∠AEC-∠PEC=90°
∵∠BPD = 30°.
∴∠DPC=150°-30°= 120°
∴∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°
∴D、P、E在同一条直线上
∴在Rt△AED中，.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∵ △DCE 为等边三角形
∴∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∵△BCE ≌ △ ACD
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°
故答案为：AD＝BE，120°.
【分析】
（1）先由等边三角形的性质得出：∠ADC=120°，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE，∠ADC=∠BEC=120°.
（2）同理（1）先求出∠ADC=180°-45°=135°，AD=AE-DE=15-7=8，再根据△BCE ≌ △ ACD可得AD=BE=8，∠ADC=CEB=135°从而∠BEA=135°-∠CED=90°，再根据勾股定理得出：.
（3）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AEC，连接PE，由（1）知：△AEC≌△BPC可得：△PCE是等边三角形，PE=CP=4，DE=DP＋EP=4＋8=12，∠AED=∠AEC-∠PEC=90°，再根据∠DPE=∠DPC+∠EPC=120+60°=180°证明D、P、E在同一条直线上，最后根据勾股定理求出AD即可.
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