重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学自测模拟试题
1．（2024九上·重庆市开学考）四个有理数，2，0，，其中最小的是（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，，，
，
最小的数是，
故答案为：D．
【分析】根据“正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值越大其值越小”进行比较，即可判断．
2．（2024九上·重庆市开学考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
3．（2024九上·重庆市开学考）下列调查中，最适合抽样调查的是（ ）
A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况
B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯
C．调查某种面包的合格率
D．调查某校足球队员的身高
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、七年级一班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；
B、某班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；
C、某种面包的合格率，宜用抽样调查，符合题意；
D、某校足球队员的身高，宜用全面调查，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．（2024九上·重庆市开学考）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∵，
∴
∴，
∴的值应在和之间，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=4+，由估算无理数大小的方法可得的范围，据此解答.
5．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
6．（2024九上·重庆市开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中k=6＞0，
∴图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上 ，且-3＜-2＜0＜1，
∴．
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，从而比较三个点的横坐标大小即可得出答案.
7．（2024九上·重庆市开学考） 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
8．（2024九上·重庆市开学考）用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ）
A．36 B．41 C．42 D．46
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由规律可知，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，
因为图①一共6根小棒，6=5+1，
图②需要11根小棒，11=5×2+1，
图③需要16根小木棒 ，16=5×3+1，
……
第n个图形需要（5n+1）根小木棒，
所以图⑧需要小木棒的根数是5×8+1=41（根）.
故答案为：B．
【分析】观察几个图形，发现规律：第一个图形需要6根小棒，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，故第n个图形需要5n+1根小棒，进而将n=8代入计算即可求解.
9．（2024九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，点E为边的中点，F为上一点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长AD到H，使得DH=AD，连接BH交CD与G．
∵四边形是正方形．
∴CD=AD=BC=AB，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
在和中，
∴，
∴，∠H=∠CBG，
∵点E为边的中点
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】延长AD到H，使得DH=AD，连接BH交CD与G．由正方形性质得CD=AD=BC=AB，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，从而根据AAS判断出△BCG≌△HDG，得DG=CG=CD，∠H=∠CBG，结合已知推出AE=CG，再用SAS判断出△ABE≌△CBG，得∠ABE=∠CBG，由线段构成及已知推出BF=FH，由等边对等角得∠FBH=∠H，从而可推出∠FBH=∠CBG，进而根据∠ABF=∠ABC-∠FNH-∠CBG可得答案.
10．（2024九上·重庆市开学考）是由交替排列的个多项式，其中，将这个多项式中的任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（，且均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当时，第1次操作后可能得到：或或．
下列说法：
①当为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的个多项式的和为0；
②当时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合；
③当时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；数学思想
【解析】【解答】解：①为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的个多项式中的个数与的个数不会相同，①正确，符合题意；
②3次操作后，只需6个多项式中有3个含，3个含，不用考虑，
原多项式：
第一次操作：
第二次操作：
第三次操作：，此时它们的和为零，故②正确，符合题意；
③时
如果对6个进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正．
因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，由任意性可知：6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号：
1、若其中1个添加了负号：整体添加负号，其余不变，则和为整体添加负号，其余不变，则和为；
2、若其中3个添加了负号：3个整体添加负号，其余不变，则和为；3个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；
3、若其中5个添加了负号：若不变，其余均整体添加了负号，则和为；不变其余均整体添加了负号，则和为；
所以有8种可能出现的结果，故③正确，符合题意，
综上，正确的有①②③，共3个.
故答案为：D．
【分析】根据题目所给的规则，对多项式的符号进行分类讨论，再根据整式加法法则计算即可.
11．（2024九上·重庆市开学考）计算： ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3．
【分析】先根据负整数指数幂性质“”和零指数幂性质“a0=1(a≠0)”分别计算，然后计算有理数的减法即可.
12．（2024九上·重庆市开学考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m＜2且m≠0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：m＜2且m≠0
故答案为：m＜2且m≠0.
【分析】利用一元二次方程的定义可知m≠0，利用一元二次方程根的判别式，结合已知可知b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集.
13．（2024九上·重庆市开学考）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，
两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意列出表格，由表可知：共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有4种，再利用概率公式可得出答案．
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB=OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象交于点D，连结AD，且，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OD，作AE∥OC，交BC于点E．
，
，
，
反比例函数图象在第一象限，
，
，
且，
是的中位线，
，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】连接OD，作AE∥OC，交BC于点E，由等底同高三角形面积相等得，由反比例函数k的几何意义可得，由三角形中位线定理得OC=2AE，BC=2EC，根据点的坐标与图形性质结合反比例函数图象上点的坐标特点可得S△OBC=2k，进而利用建立方程可求出k的值.
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，已知正方形的边长为4，以为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BE，设半圆圆心为O，连接EO并延长交AB于F，如图；
则，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
∴，
∴；
由对称性知，阴影部分面积，
故答案为：.
【分析】连接BE，设半圆圆心为O，连接EO并延长交AB于F，由垂径定理得OE⊥CD，根据正方形及平行线的性质推出EF⊥AB，由对称性知，阴影部分面积等于正方形面积与半圆面积和减去△ABE面积的差的一半，由此即可求解．
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】8
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴，
解分式方程，得，
∵该分式方程有非负数解，
∴当时，且
∴且，
∴且，
∴满足条件的所有整数a为：，，，，，，
它们的和为：．
故答案为：8.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别解出两个不等式，由关于x的一元一次不等式组的解集为，可得；将a作为字母系数解分式方程得，由关于y的分式方程有非负数解，可得且，求解得且，从而找出满足条件的所有整数a，再求它们的和即可得出答案．
17．（2024九上·重庆市开学考）如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过作于，作于E，
又∵，
∴四边形是矩形，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
中，，即，
解得（不合题意），，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【分析】过C'作C'D⊥BC于D，作C'E⊥AC于E，由有三个角为直角的四边形是矩形得四边形DCEC'是矩形，设C'D=x，则CE=x，AE=2-x，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BDC'∽△BCN，由相似三角形对应边成比例求出BD=2C'D=2x，则CD=2-2x=C'E，在Rt△AC'E中，由勾股定理建立方程求出x的值可得C'D与C'E的长；由由两组角对应相等的三角形相似得△DC'M∽△EC'A，由相似三角形对应边成比例可求出C'M的长，最后根据折叠性质可得答案.
18．（2024九上·重庆市开学考）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则 ；所有满足条件的的最大值和最小值的差为 ．
【答案】5；8082
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
为整数
；；
，
是4的倍数，
或9
时，取到最小值，
或2，
的最小值为1239
时，取到最大值，
，或2，
的最大值为9321；
差为8082，
故答案为：5，8082.
【分析】根据“好数”定义得到，进一步结合 是整数及数字的特点得到；；
，则是4的倍数，根据数字的特点得或9，进而求出M的最小值及最大值，再求差即可.
19．（2024九上·重庆市开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式法则及完全平方公式分别展开括号，然后合并同类项即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2024九上·重庆市开学考）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
已知：在四边形中，，，平分，平分．
求证：．
证明：∵平分，
∴______，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，，____________，
∴，
∴______，
同理可得：，
∴．
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______．
【答案】，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【知识点】尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】证明：如图，过点作的垂线，垂足为点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴∠C=∠DFE=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
在△CDE与△FDE中，∵∠C=∠DFE=90°，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△CDE≌△FDE
∴，
∴；
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.
故答案为：，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【分析】利用尺规作，即可完成作图，由角平分线定义得∠BAE=∠DAE，由垂直定义及已知得∠B=∠AFE=90°，由AAS证明，由全等三角形的对应边相等得到，由二直线平行，同旁内角互补得∠C=90°，由角平分线的定义得∠ADE=∠CDE，从而用AAS判断出△CDE≌△FDE，由全等三角形的对应边相等得，即可证明问题；根据证明可得如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
21．（2024九上·重庆市开学考）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取的七、八年级学生的评分统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.75 8.75
中位数 9 a
众数 9 b
满分率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a、b、c的值：
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演 请说明理由．
（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人
【答案】（1）解：，，
（2）解：八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下：
∵八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9，
∴八年级更喜欢此次文艺汇演；
（3）解：样本中七年级学生非常喜欢的占比为，样本中八年级学生非常喜欢的占比为．
∴（人），
答：估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图以可得E和D两组人数和人，八年级的中间两数为9和10，
∴，
八年级的众数在D组，
∴，
七年级的成绩数据，9分以上有7人，
∴，
故答案为：9.5，10，10；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此并结合统计图表提供的信息可求出a、b的值；进而利用七年级满分的人数比上总人数可求出七年级的满分率，从而得到C的值；
（2）根据众数与优秀率进行判断即可求解；
（3）用该校七年级的总人数乘以样本中七年级学生非常喜欢的占比加上该校八年级的总人数乘以样本中八年级学生非常喜欢的占比即可估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生人数.
（1）解：根据扇形统计图以可得E和D两组人数和人，八年级的中间两数为9和10，
∴，
八年级的众数在D组，
∴，
七年级的成绩数据，9分以上有7人，
∴，
故答案为：9.5，10，35
（2）八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下：
八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9．
（3）样本中七年级学生非常喜欢的占比为，
样本中八年级学生非常喜欢的占比为．
∴（人），
答：估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人．
22．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）解：关于的函数表达式为：；
（2）解：如图所示，利用描点法画出函数y1的图象如下：
性质：当时，y1随的增大而增大；当时，y1随的增大而减小；
（3）解：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）过点D作DM⊥AC于点M，如图1，
∴∠AMD=∠C=90°，
又∠A=∠A，
∴
∴，
∵为的中点，
∴
∴
∴
当时，
∴；
当时，过点D作DN⊥BC于点N，如图2，
∴∠BND=∠C=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDN∽△BAC，
∴，
∴
∴，
又
∴
；
∴关于的函数表达式为：；
（3）解：与，
得与，
由图象可得当时，的取值范围为：.
【分析】（1）分两种情况，当点P在线段AC上时，过点D作DM⊥AC于点M，如图1，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADM∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DM的长，然后用含x的式子表示出AP与DM，进而根据三角形面积公式可得y1关于x的函数关系式；点P在线段BC上，过点D作DN⊥BC于点N，如图2，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDN∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DN的长，然后用含x的式子表示出CP与BP，进而根据三角形面积公式由S△APD=S△ABC-S△ACP-S△PDB可得y1关于x的函数关系式；
（2）根据函数解析式，利用描点法画图，结合图象写出一条性质即可；
（3）联立两函数解析式求出得出第一象限内两交点坐标，结合函数图象，找出y1的图象在y2的图象上方部分相应的自变量的取值范围即可.
23．（2024九上·重庆市开学考）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．
（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？
（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
【答案】（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香(300-x)支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为100．
答：花店最多购进玫瑰100支；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设花店购进玫瑰支，则购进郁金香(300-x)支，玫瑰每支的利润为（5-2）元，郁金香每支的利润为（10-4）元，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支郁金香的销售利润购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）花店进玫瑰（100+10m）支，玫瑰每支的利润为（5+m）元，郁金香购进数量为[360-（100+10m）]支，销售数量为[360-（100+10m）](1-10％)支，利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为100．
答：花店最多购进玫瑰100支；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
24．（2024九上·重庆市开学考）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）
（1）求的长度；（结果精确到1米）
（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）
【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，
则，，，，，
在中，，
，
在中，，
．
的长度为．
（2）解：由（1）知，，
，
，
在中，，
在中，，
．
鹅卵石步道的路程为，
所需时间为．
人工步道的路程为，
所需时间为．
，
他选择人工步道时间更快．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，过点作于点，易得四边形BEFC是矩形，则CF=BE，∠CFE=90°，在中，∠CDF的正弦函数可求出CF的长，进而可得的长，在中，∠DAE的余弦函数可求出的长，最后由可得答案；
（2）由等腰直角三角形性质得AE=DE=705，在Rt△CDF中，由∠CDF的余弦函数可求出DF的长，从而可算出EF的长，由矩形性质可得BC的长，分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案．
25．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，点Q为射线BA以上一动点，当取最小值时，求的面积；
（3）将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解：∵，，点C是AB的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：过点A作AG⊥x轴于点G，
∵，，
∴AG=4，BG=，
∴
∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，
∴∠QAD=60°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，
∴，
过点Q作于点H，
∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，
此时Q与A重合，
∴，
∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：
由题可知，，
设，，
当为对角线时，如图，
，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
∵，
解得，
∴，
当为对角线时，如图，
，
解得，
∴，
综上，N点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据A、B两点坐标求得AG、BG的长，从而由∠ABG的正切函数求得，再旋转的性质及三角形内角和求得求得，根据等腰三角形的三线合一可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可；
（3）由平移的性质可知，设，，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，
∵，
∴，点C为中点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，
∴，
过点Q作于点H，
∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，
此时Q与A重合，
∴，
∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：
由题可知，，
设，，
当为对角线时，，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
∵，
解得，
∴，
当为对角线时，如图，
，
解得，
∴，
综上，N点坐标为，或．
26．（2024九上·重庆市开学考）在中，，，过点作．
（1）如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
（3）若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点G作于H，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：的最大值为：.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
设直线交于K，则，
∴，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
【分析】（1）由二直线平行同旁内角互补求出∠DBC=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠CAE=∠BCD，从而由ASA判断出△ACE≌△CBD，由全等三角形的对应边相等得到，再结合中点定义及等量代换可得结论；
（2）如图所示，过点G作GH⊥AB于H，连接HF，由二直线平行，内错角相等得∠FBD=∠FGA，∠D=∠FAG，从而由AAS判断出△AGF≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得到AG=BD，BF=GF，易得△AHG是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，进而可证明，则；设，则，可得由角平分线的定义可得，则可证明，进而由AAS证明△HFM≌△CFN，得到，即可证明；
（3）如图所示，过点D作交延长线与H，连接，则四边形是矩形，可得，证明是等边三角形，得到，进而得到，；由旋转的性质可得，由SAS证明DFQ≌△HFP，得到，则点Q在直线上运动，设直线交于K，则，可得，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则，设，则，则，；再求出，则，，由勾股定理得；由全等三角形的性质可得，则；由折叠的性质可得，由，得到当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，据此代值计算即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点G作于H，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
设直线交于K，则，
∴，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
1 / 1重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学自测模拟试题
1．（2024九上·重庆市开学考）四个有理数，2，0，，其中最小的是（ ）
A． B．2 C．0 D．
2．（2024九上·重庆市开学考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·重庆市开学考）下列调查中，最适合抽样调查的是（ ）
A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况
B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯
C．调查某种面包的合格率
D．调查某校足球队员的身高
4．（2024九上·重庆市开学考）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．（2024九上·重庆市开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·重庆市开学考） 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·重庆市开学考）用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ）
A．36 B．41 C．42 D．46
9．（2024九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，点E为边的中点，F为上一点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·重庆市开学考）是由交替排列的个多项式，其中，将这个多项式中的任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（，且均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当时，第1次操作后可能得到：或或．
下列说法：
①当为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的个多项式的和为0；
②当时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合；
③当时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024九上·重庆市开学考）计算： ．
12．（2024九上·重庆市开学考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
13．（2024九上·重庆市开学考）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为 ．
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB=OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象交于点D，连结AD，且，则的值为 ．
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，已知正方形的边长为4，以为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为 ．
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
17．（2024九上·重庆市开学考）如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ．
18．（2024九上·重庆市开学考）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则 ；所有满足条件的的最大值和最小值的差为 ．
19．（2024九上·重庆市开学考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·重庆市开学考）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
已知：在四边形中，，，平分，平分．
求证：．
证明：∵平分，
∴______，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，，____________，
∴，
∴______，
同理可得：，
∴．
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______．
21．（2024九上·重庆市开学考）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取的七、八年级学生的评分统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.75 8.75
中位数 9 a
众数 9 b
满分率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a、b、c的值：
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演 请说明理由．
（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人
22．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
23．（2024九上·重庆市开学考）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．
（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？
（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
24．（2024九上·重庆市开学考）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）
（1）求的长度；（结果精确到1米）
（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）
25．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，点Q为射线BA以上一动点，当取最小值时，求的面积；
（3）将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
26．（2024九上·重庆市开学考）在中，，，过点作．
（1）如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
（3）若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，，，
，
最小的数是，
故答案为：D．
【分析】根据“正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值越大其值越小”进行比较，即可判断．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、七年级一班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；
B、某班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；
C、某种面包的合格率，宜用抽样调查，符合题意；
D、某校足球队员的身高，宜用全面调查，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∵，
∴
∴，
∴的值应在和之间，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=4+，由估算无理数大小的方法可得的范围，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中k=6＞0，
∴图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上 ，且-3＜-2＜0＜1，
∴．
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，从而比较三个点的横坐标大小即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
8．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由规律可知，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，
因为图①一共6根小棒，6=5+1，
图②需要11根小棒，11=5×2+1，
图③需要16根小木棒 ，16=5×3+1，
……
第n个图形需要（5n+1）根小木棒，
所以图⑧需要小木棒的根数是5×8+1=41（根）.
故答案为：B．
【分析】观察几个图形，发现规律：第一个图形需要6根小棒，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，故第n个图形需要5n+1根小棒，进而将n=8代入计算即可求解.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长AD到H，使得DH=AD，连接BH交CD与G．
∵四边形是正方形．
∴CD=AD=BC=AB，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
在和中，
∴，
∴，∠H=∠CBG，
∵点E为边的中点
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】延长AD到H，使得DH=AD，连接BH交CD与G．由正方形性质得CD=AD=BC=AB，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，从而根据AAS判断出△BCG≌△HDG，得DG=CG=CD，∠H=∠CBG，结合已知推出AE=CG，再用SAS判断出△ABE≌△CBG，得∠ABE=∠CBG，由线段构成及已知推出BF=FH，由等边对等角得∠FBH=∠H，从而可推出∠FBH=∠CBG，进而根据∠ABF=∠ABC-∠FNH-∠CBG可得答案.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；数学思想
【解析】【解答】解：①为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的个多项式中的个数与的个数不会相同，①正确，符合题意；
②3次操作后，只需6个多项式中有3个含，3个含，不用考虑，
原多项式：
第一次操作：
第二次操作：
第三次操作：，此时它们的和为零，故②正确，符合题意；
③时
如果对6个进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正．
因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，由任意性可知：6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号：
1、若其中1个添加了负号：整体添加负号，其余不变，则和为整体添加负号，其余不变，则和为；
2、若其中3个添加了负号：3个整体添加负号，其余不变，则和为；3个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；
3、若其中5个添加了负号：若不变，其余均整体添加了负号，则和为；不变其余均整体添加了负号，则和为；
所以有8种可能出现的结果，故③正确，符合题意，
综上，正确的有①②③，共3个.
故答案为：D．
【分析】根据题目所给的规则，对多项式的符号进行分类讨论，再根据整式加法法则计算即可.
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3．
【分析】先根据负整数指数幂性质“”和零指数幂性质“a0=1(a≠0)”分别计算，然后计算有理数的减法即可.
12．【答案】m＜2且m≠0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：m＜2且m≠0
故答案为：m＜2且m≠0.
【分析】利用一元二次方程的定义可知m≠0，利用一元二次方程根的判别式，结合已知可知b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，
两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意列出表格，由表可知：共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有4种，再利用概率公式可得出答案．
14．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OD，作AE∥OC，交BC于点E．
，
，
，
反比例函数图象在第一象限，
，
，
且，
是的中位线，
，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】连接OD，作AE∥OC，交BC于点E，由等底同高三角形面积相等得，由反比例函数k的几何意义可得，由三角形中位线定理得OC=2AE，BC=2EC，根据点的坐标与图形性质结合反比例函数图象上点的坐标特点可得S△OBC=2k，进而利用建立方程可求出k的值.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BE，设半圆圆心为O，连接EO并延长交AB于F，如图；
则，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
∴，
∴；
由对称性知，阴影部分面积，
故答案为：.
【分析】连接BE，设半圆圆心为O，连接EO并延长交AB于F，由垂径定理得OE⊥CD，根据正方形及平行线的性质推出EF⊥AB，由对称性知，阴影部分面积等于正方形面积与半圆面积和减去△ABE面积的差的一半，由此即可求解．
16．【答案】8
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴，
解分式方程，得，
∵该分式方程有非负数解，
∴当时，且
∴且，
∴且，
∴满足条件的所有整数a为：，，，，，，
它们的和为：．
故答案为：8.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别解出两个不等式，由关于x的一元一次不等式组的解集为，可得；将a作为字母系数解分式方程得，由关于y的分式方程有非负数解，可得且，求解得且，从而找出满足条件的所有整数a，再求它们的和即可得出答案．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过作于，作于E，
又∵，
∴四边形是矩形，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
中，，即，
解得（不合题意），，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【分析】过C'作C'D⊥BC于D，作C'E⊥AC于E，由有三个角为直角的四边形是矩形得四边形DCEC'是矩形，设C'D=x，则CE=x，AE=2-x，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BDC'∽△BCN，由相似三角形对应边成比例求出BD=2C'D=2x，则CD=2-2x=C'E，在Rt△AC'E中，由勾股定理建立方程求出x的值可得C'D与C'E的长；由由两组角对应相等的三角形相似得△DC'M∽△EC'A，由相似三角形对应边成比例可求出C'M的长，最后根据折叠性质可得答案.
18．【答案】5；8082
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
为整数
；；
，
是4的倍数，
或9
时，取到最小值，
或2，
的最小值为1239
时，取到最大值，
，或2，
的最大值为9321；
差为8082，
故答案为：5，8082.
【分析】根据“好数”定义得到，进一步结合 是整数及数字的特点得到；；
，则是4的倍数，根据数字的特点得或9，进而求出M的最小值及最大值，再求差即可.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式法则及完全平方公式分别展开括号，然后合并同类项即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【知识点】尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】证明：如图，过点作的垂线，垂足为点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴∠C=∠DFE=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
在△CDE与△FDE中，∵∠C=∠DFE=90°，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△CDE≌△FDE
∴，
∴；
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.
故答案为：，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【分析】利用尺规作，即可完成作图，由角平分线定义得∠BAE=∠DAE，由垂直定义及已知得∠B=∠AFE=90°，由AAS证明，由全等三角形的对应边相等得到，由二直线平行，同旁内角互补得∠C=90°，由角平分线的定义得∠ADE=∠CDE，从而用AAS判断出△CDE≌△FDE，由全等三角形的对应边相等得，即可证明问题；根据证明可得如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
21．【答案】（1）解：，，
（2）解：八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下：
∵八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9，
∴八年级更喜欢此次文艺汇演；
（3）解：样本中七年级学生非常喜欢的占比为，样本中八年级学生非常喜欢的占比为．
∴（人），
答：估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图以可得E和D两组人数和人，八年级的中间两数为9和10，
∴，
八年级的众数在D组，
∴，
七年级的成绩数据，9分以上有7人，
∴，
故答案为：9.5，10，10；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此并结合统计图表提供的信息可求出a、b的值；进而利用七年级满分的人数比上总人数可求出七年级的满分率，从而得到C的值；
（2）根据众数与优秀率进行判断即可求解；
（3）用该校七年级的总人数乘以样本中七年级学生非常喜欢的占比加上该校八年级的总人数乘以样本中八年级学生非常喜欢的占比即可估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生人数.
（1）解：根据扇形统计图以可得E和D两组人数和人，八年级的中间两数为9和10，
∴，
八年级的众数在D组，
∴，
七年级的成绩数据，9分以上有7人，
∴，
故答案为：9.5，10，35
（2）八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下：
八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9．
（3）样本中七年级学生非常喜欢的占比为，
样本中八年级学生非常喜欢的占比为．
∴（人），
答：估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人．
22．【答案】（1）解：关于的函数表达式为：；
（2）解：如图所示，利用描点法画出函数y1的图象如下：
性质：当时，y1随的增大而增大；当时，y1随的增大而减小；
（3）解：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）过点D作DM⊥AC于点M，如图1，
∴∠AMD=∠C=90°，
又∠A=∠A，
∴
∴，
∵为的中点，
∴
∴
∴
当时，
∴；
当时，过点D作DN⊥BC于点N，如图2，
∴∠BND=∠C=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDN∽△BAC，
∴，
∴
∴，
又
∴
；
∴关于的函数表达式为：；
（3）解：与，
得与，
由图象可得当时，的取值范围为：.
【分析】（1）分两种情况，当点P在线段AC上时，过点D作DM⊥AC于点M，如图1，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADM∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DM的长，然后用含x的式子表示出AP与DM，进而根据三角形面积公式可得y1关于x的函数关系式；点P在线段BC上，过点D作DN⊥BC于点N，如图2，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDN∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DN的长，然后用含x的式子表示出CP与BP，进而根据三角形面积公式由S△APD=S△ABC-S△ACP-S△PDB可得y1关于x的函数关系式；
（2）根据函数解析式，利用描点法画图，结合图象写出一条性质即可；
（3）联立两函数解析式求出得出第一象限内两交点坐标，结合函数图象，找出y1的图象在y2的图象上方部分相应的自变量的取值范围即可.
23．【答案】（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香(300-x)支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为100．
答：花店最多购进玫瑰100支；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设花店购进玫瑰支，则购进郁金香(300-x)支，玫瑰每支的利润为（5-2）元，郁金香每支的利润为（10-4）元，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支郁金香的销售利润购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）花店进玫瑰（100+10m）支，玫瑰每支的利润为（5+m）元，郁金香购进数量为[360-（100+10m）]支，销售数量为[360-（100+10m）](1-10％)支，利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为100．
答：花店最多购进玫瑰100支；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
24．【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，
则，，，，，
在中，，
，
在中，，
．
的长度为．
（2）解：由（1）知，，
，
，
在中，，
在中，，
．
鹅卵石步道的路程为，
所需时间为．
人工步道的路程为，
所需时间为．
，
他选择人工步道时间更快．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，过点作于点，易得四边形BEFC是矩形，则CF=BE，∠CFE=90°，在中，∠CDF的正弦函数可求出CF的长，进而可得的长，在中，∠DAE的余弦函数可求出的长，最后由可得答案；
（2）由等腰直角三角形性质得AE=DE=705，在Rt△CDF中，由∠CDF的余弦函数可求出DF的长，从而可算出EF的长，由矩形性质可得BC的长，分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案．
25．【答案】（1）解：∵，，点C是AB的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：过点A作AG⊥x轴于点G，
∵，，
∴AG=4，BG=，
∴
∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，
∴∠QAD=60°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，
∴，
过点Q作于点H，
∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，
此时Q与A重合，
∴，
∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：
由题可知，，
设，，
当为对角线时，如图，
，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
∵，
解得，
∴，
当为对角线时，如图，
，
解得，
∴，
综上，N点坐标为，或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据A、B两点坐标求得AG、BG的长，从而由∠ABG的正切函数求得，再旋转的性质及三角形内角和求得求得，根据等腰三角形的三线合一可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可；
（3）由平移的性质可知，设，，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，
∵，
∴，点C为中点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，
∴，
过点Q作于点H，
∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，
此时Q与A重合，
∴，
∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：
由题可知，，
设，，
当为对角线时，，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
∵，
解得，
∴，
当为对角线时，如图，
，
解得，
∴，
综上，N点坐标为，或．
26．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点G作于H，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：的最大值为：.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
设直线交于K，则，
∴，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
【分析】（1）由二直线平行同旁内角互补求出∠DBC=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠CAE=∠BCD，从而由ASA判断出△ACE≌△CBD，由全等三角形的对应边相等得到，再结合中点定义及等量代换可得结论；
（2）如图所示，过点G作GH⊥AB于H，连接HF，由二直线平行，内错角相等得∠FBD=∠FGA，∠D=∠FAG，从而由AAS判断出△AGF≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得到AG=BD，BF=GF，易得△AHG是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，进而可证明，则；设，则，可得由角平分线的定义可得，则可证明，进而由AAS证明△HFM≌△CFN，得到，即可证明；
（3）如图所示，过点D作交延长线与H，连接，则四边形是矩形，可得，证明是等边三角形，得到，进而得到，；由旋转的性质可得，由SAS证明DFQ≌△HFP，得到，则点Q在直线上运动，设直线交于K，则，可得，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则，设，则，则，；再求出，则，，由勾股定理得；由全等三角形的性质可得，则；由折叠的性质可得，由，得到当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，据此代值计算即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点G作于H，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
设直线交于K，则，
∴，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
1 / 1
