北师大四上：商不变的规律
一、填空题
1．根据28×15=420，可以知道：
28×30= 56×15= × =1680
420÷28= 840÷15= 420÷28=
2．已知A÷B=20，如果数A乘10，数B不变，那么商是 ；如果数B乘10，数A不变，那么商是 。
3．在里填上“>”“<”或“ =”
731÷43(731×6)÷(43×6) 864÷18(864÷4)÷(18×4)
1120÷20(1120÷5)÷(20÷5) 288-24(288×3)÷(24÷3)
4．（2024四上·奉化期末）根据○÷☆=36，(O×2)÷(☆×2)= ，(○×3)÷☆= ，(○÷2)÷☆= ，○÷(☆+☆)= 。
二、单选题
5．奇奇用计算器计算116000÷3200时，错误地输入成116÷32，妙妙帮他弥补了这个错误，妙妙的做法是( )。
A．商乘10 B．商除以100 C．商除以10
6．[传统文化]《宋词三百首》是一部经典的中小学课外阅读书籍。春风小学花费了600元刚好购买了25 本《宋词三百首》，用算式 600÷25 计算一本《宋词三百首》的钱数时，运用了商不变规律的是( )。
A．100÷25×6=4×6=24
B．600÷(100÷4)=600÷100×4=24
C．(600×4)÷(25×4)=2400÷100=24
7．下面算式中，和560÷40的商不同的是( )。
A．280÷20 B．5600÷400 C．980÷80
8．（2024四上·临平期末）下列说法正确的有（ ）个。
①一个标准足球场的面积约是7140公顷。
②两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，
③98÷8=12....2，根据商的变化规律可得，980÷80=12.....2。
④两个锐角的和不一定比直角大。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024四上·余姚期末）两个数相除商是200，如被除数与除数同时扩大5倍，商应是（ ）
A．200 B．1000 C．40 D．不能确定
10．（2024四上·柯城期末）下面说法错误的是（ ）。
A．两个乘数的末尾都没有0，积的末尾一定没有0。
B．计算800÷25时，可以运用商不变规律进行简便计算。
C．□81×95的积一定是五位数。
D．直线没有端点，线段有2个端点。
三、计算题
11．（2024四上·天桥期末）利用商不变的规律，进行简便计算。
⑴350÷14
=
=
= ⑵2000÷125
=
=
=
12．（2024四上·沈河期末）列竖式计算。(第③题用商不变规律计算，第④题要验算。)
①12×302= ②784÷49= ③9200÷40= ④342÷43=
答案解析部分
1．【答案】840；840；56；30；15；56；15
【知识点】商的变化规律；积的变化规律
【解析】【解答】解：28×30=420×2=840
56×15=420×2=840
56×30=1680
420÷28=15
840÷15=56
420÷28=15。
故答案为：840；840；56；30；15；56；15。
【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变；
两个数相乘，一个因数乘几，另一个因数也乘几（0除外），积乘两个因数分别乘的数；
两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数缩小多少倍，商扩大多少倍（0除外）。
2．【答案】200；2
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：20×10=200；
20÷10=2。
故答案为：200；2。
【分析】两个数相除，除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小几分之一（0除外）。
3．【答案】731÷43(731×6)÷(43×6) 864÷18(864÷4)÷(18×4)
1120÷20(1120÷5)÷(20÷5) 288-24(288×3)÷(24÷3)
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：731÷43=(731×6)÷(43×6) ；
864÷18＞(864÷4)÷(18×4) ；
1120÷20=(1120÷5)÷(20÷5) ；
288÷24＜(288×3)÷(24÷3) 。
故答案为：=；＞；=；＜。
【分析】在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变；
在除法里，被除数缩小或扩大几倍，除数扩大或缩小几倍，商就缩小或扩大它们的倍数之积，据此解答；
在除法里，被除数扩大或缩小几倍，除数缩小或扩大几倍，商就扩大或缩小它们的倍数之积，据此解答。
4．【答案】36；108；18；18
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：○÷☆=36，(O×2)÷(☆×2)=36；
(○×3)÷☆=36×3=108；
(○÷2)÷☆=36÷2=18；
○÷(☆+☆)=36÷2=18。
故答案为：36；108；18；18。
【分析】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；
两个数相除，除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数缩小多少倍，商扩大多少倍（0除外）
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小多少倍（0除外）。
5．【答案】A
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：116000÷3200=1160÷32，错误地输入成116÷32，除数不变，被除数缩小了10倍，要弥补这个错误，商扩大10倍。
故答案为：A。
【分析】商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
6．【答案】C
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：600÷25=(600×4)÷(25×4)=2400÷100=24
故答案为：C。
【分析】总价÷数量=单价，观察算式可知，被除数和除数同时乘4，商不变，可以使计算简便。
7．【答案】C
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：选项A，因为560÷2=280，40÷2=20，所以560÷40=280÷20；
选项B，因为560×10=5600，40×10=400，所以560÷40=5600÷400；
选项C，因为560×2=1120，40×2=80，所以560÷40≠980÷80。
故答案为：C。
【分析】商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
8．【答案】B
【知识点】角的度量（计算）；公顷和平方千米的认识与使用；平行四边形的特征及性质；商的变化规律
【解析】【解答】解：①一个标准足球场的面积约是7140平方米。原来说法错误；
②两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，原来说法正确；
③98÷8=12....2，根据商的变化规律可得，980÷80=12.....20。原来计算错误；
④两个锐角的和不一定比直角大。原来说法正确。
故答案为：B。
【分析】①1公顷=10000平方米，边长为100米的正方形面积是1公顷，足球场的面积大约是7140平方米；
②把两个完全一样的三角形对应边颠倒后拼在一起就能拼成一个平行四边形；
③商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数要扩大或缩小相同的倍数；
④锐角是小于直角的数，两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角。
9．【答案】A
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：被除数与除数同时扩大5倍，商不变，还是200。
故答案为：A。
【分析】商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
10．【答案】A
【知识点】线段、直线、射线的认识及表示；三位数乘两位数的笔算乘法；商的变化规律；含0的乘法
【解析】【解答】解： A：25×44=1100，原选项说法错误；
B：（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32，原选项说法正确；
C：181×95=17195，981×95=93195，原选项说法正确；
D：直线没有端点，线段有2个端点。原选项说法正确。
故答案为：A。
【分析】A：两数相乘，乘数未尾都没有0，两乘数的个位数字相乘后有可能未尾是0，如25×44的积；
B： 计算800÷25时 ， 可以运用商不变规律 被除数和除数同时乘4，变形为800×4）÷（25×4）进行简便计算；
C： □81×95 中的三位数最小是181，最大是981，可以分别计算出181与95的积，981与95的积，再根据积来解答；
D，直线无端点，可以向两端无限延伸，没有长度；线段有两个端点，有长度。
11．【答案】解：
⑴350÷14
=350÷7÷2
=50÷2
=25 ⑵2000÷125
=（2000×8）÷（125×8）
=16000÷1000
=16
【知识点】除数是两位数的笔算除法；商的变化规律
【解析】【分析】（1）连除性质：除以两个数的积，等于分别除以这两个数，据此简算；
（2）商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
12．【答案】解：①12×302=3624
②784÷49=16
③9200÷40=230
④342÷43=7……41
验算：
【知识点】三位数乘两位数的笔算乘法；除数是两位数的笔算除法；商的变化规律
【解析】【分析】①三位数乘以两位数：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐，然后把几次乘得的数加起来；
②除数是两位数的除法：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果不够除，就多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小，并在余数右边一位落下被除数在这一位上的数，再继续除；
③商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；
④被除数=除数×商+余数，据此进行验算。
1 / 1北师大四上：商不变的规律
一、填空题
1．根据28×15=420，可以知道：
28×30= 56×15= × =1680
420÷28= 840÷15= 420÷28=
【答案】840；840；56；30；15；56；15
【知识点】商的变化规律；积的变化规律
【解析】【解答】解：28×30=420×2=840
56×15=420×2=840
56×30=1680
420÷28=15
840÷15=56
420÷28=15。
故答案为：840；840；56；30；15；56；15。
【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变；
两个数相乘，一个因数乘几，另一个因数也乘几（0除外），积乘两个因数分别乘的数；
两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数缩小多少倍，商扩大多少倍（0除外）。
2．已知A÷B=20，如果数A乘10，数B不变，那么商是 ；如果数B乘10，数A不变，那么商是 。
【答案】200；2
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：20×10=200；
20÷10=2。
故答案为：200；2。
【分析】两个数相除，除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小几分之一（0除外）。
3．在里填上“>”“<”或“ =”
731÷43(731×6)÷(43×6) 864÷18(864÷4)÷(18×4)
1120÷20(1120÷5)÷(20÷5) 288-24(288×3)÷(24÷3)
【答案】731÷43(731×6)÷(43×6) 864÷18(864÷4)÷(18×4)
1120÷20(1120÷5)÷(20÷5) 288-24(288×3)÷(24÷3)
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：731÷43=(731×6)÷(43×6) ；
864÷18＞(864÷4)÷(18×4) ；
1120÷20=(1120÷5)÷(20÷5) ；
288÷24＜(288×3)÷(24÷3) 。
故答案为：=；＞；=；＜。
【分析】在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变；
在除法里，被除数缩小或扩大几倍，除数扩大或缩小几倍，商就缩小或扩大它们的倍数之积，据此解答；
在除法里，被除数扩大或缩小几倍，除数缩小或扩大几倍，商就扩大或缩小它们的倍数之积，据此解答。
4．（2024四上·奉化期末）根据○÷☆=36，(O×2)÷(☆×2)= ，(○×3)÷☆= ，(○÷2)÷☆= ，○÷(☆+☆)= 。
【答案】36；108；18；18
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：○÷☆=36，(O×2)÷(☆×2)=36；
(○×3)÷☆=36×3=108；
(○÷2)÷☆=36÷2=18；
○÷(☆+☆)=36÷2=18。
故答案为：36；108；18；18。
【分析】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；
两个数相除，除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大多少倍（0除外）；
两个数相除，被除数不变，除数缩小多少倍，商扩大多少倍（0除外）
两个数相除，被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小多少倍（0除外）。
二、单选题
5．奇奇用计算器计算116000÷3200时，错误地输入成116÷32，妙妙帮他弥补了这个错误，妙妙的做法是( )。
A．商乘10 B．商除以100 C．商除以10
【答案】A
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：116000÷3200=1160÷32，错误地输入成116÷32，除数不变，被除数缩小了10倍，要弥补这个错误，商扩大10倍。
故答案为：A。
【分析】商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
6．[传统文化]《宋词三百首》是一部经典的中小学课外阅读书籍。春风小学花费了600元刚好购买了25 本《宋词三百首》，用算式 600÷25 计算一本《宋词三百首》的钱数时，运用了商不变规律的是( )。
A．100÷25×6=4×6=24
B．600÷(100÷4)=600÷100×4=24
C．(600×4)÷(25×4)=2400÷100=24
【答案】C
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：600÷25=(600×4)÷(25×4)=2400÷100=24
故答案为：C。
【分析】总价÷数量=单价，观察算式可知，被除数和除数同时乘4，商不变，可以使计算简便。
7．下面算式中，和560÷40的商不同的是( )。
A．280÷20 B．5600÷400 C．980÷80
【答案】C
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：选项A，因为560÷2=280，40÷2=20，所以560÷40=280÷20；
选项B，因为560×10=5600，40×10=400，所以560÷40=5600÷400；
选项C，因为560×2=1120，40×2=80，所以560÷40≠980÷80。
故答案为：C。
【分析】商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
8．（2024四上·临平期末）下列说法正确的有（ ）个。
①一个标准足球场的面积约是7140公顷。
②两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，
③98÷8=12....2，根据商的变化规律可得，980÷80=12.....2。
④两个锐角的和不一定比直角大。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的度量（计算）；公顷和平方千米的认识与使用；平行四边形的特征及性质；商的变化规律
【解析】【解答】解：①一个标准足球场的面积约是7140平方米。原来说法错误；
②两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，原来说法正确；
③98÷8=12....2，根据商的变化规律可得，980÷80=12.....20。原来计算错误；
④两个锐角的和不一定比直角大。原来说法正确。
故答案为：B。
【分析】①1公顷=10000平方米，边长为100米的正方形面积是1公顷，足球场的面积大约是7140平方米；
②把两个完全一样的三角形对应边颠倒后拼在一起就能拼成一个平行四边形；
③商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数要扩大或缩小相同的倍数；
④锐角是小于直角的数，两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角。
9．（2024四上·余姚期末）两个数相除商是200，如被除数与除数同时扩大5倍，商应是（ ）
A．200 B．1000 C．40 D．不能确定
【答案】A
【知识点】商的变化规律
【解析】【解答】解：被除数与除数同时扩大5倍，商不变，还是200。
故答案为：A。
【分析】商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
10．（2024四上·柯城期末）下面说法错误的是（ ）。
A．两个乘数的末尾都没有0，积的末尾一定没有0。
B．计算800÷25时，可以运用商不变规律进行简便计算。
C．□81×95的积一定是五位数。
D．直线没有端点，线段有2个端点。
【答案】A
【知识点】线段、直线、射线的认识及表示；三位数乘两位数的笔算乘法；商的变化规律；含0的乘法
【解析】【解答】解： A：25×44=1100，原选项说法错误；
B：（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32，原选项说法正确；
C：181×95=17195，981×95=93195，原选项说法正确；
D：直线没有端点，线段有2个端点。原选项说法正确。
故答案为：A。
【分析】A：两数相乘，乘数未尾都没有0，两乘数的个位数字相乘后有可能未尾是0，如25×44的积；
B： 计算800÷25时 ， 可以运用商不变规律 被除数和除数同时乘4，变形为800×4）÷（25×4）进行简便计算；
C： □81×95 中的三位数最小是181，最大是981，可以分别计算出181与95的积，981与95的积，再根据积来解答；
D，直线无端点，可以向两端无限延伸，没有长度；线段有两个端点，有长度。
三、计算题
11．（2024四上·天桥期末）利用商不变的规律，进行简便计算。
⑴350÷14
=
=
= ⑵2000÷125
=
=
=
【答案】解：
⑴350÷14
=350÷7÷2
=50÷2
=25 ⑵2000÷125
=（2000×8）÷（125×8）
=16000÷1000
=16
【知识点】除数是两位数的笔算除法；商的变化规律
【解析】【分析】（1）连除性质：除以两个数的积，等于分别除以这两个数，据此简算；
（2）商的变化规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
12．（2024四上·沈河期末）列竖式计算。(第③题用商不变规律计算，第④题要验算。)
①12×302= ②784÷49= ③9200÷40= ④342÷43=
【答案】解：①12×302=3624
②784÷49=16
③9200÷40=230
④342÷43=7……41
验算：
【知识点】三位数乘两位数的笔算乘法；除数是两位数的笔算除法；商的变化规律
【解析】【分析】①三位数乘以两位数：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐，然后把几次乘得的数加起来；
②除数是两位数的除法：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果不够除，就多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面；每次除得的余数必须比除数小，并在余数右边一位落下被除数在这一位上的数，再继续除；
③商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；
④被除数=除数×商+余数，据此进行验算。
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