中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，﹣1，3，中，比0大的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用实数大小比较方法进行判断即可．
解：∵0，﹣1＜0，3＞0，0，
∴比0大的数有2个，
故选：B．
2．（3分）如图，甲、乙都是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它们的视图，判断正确的是（ ）
A．仅主视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．主视图与俯视图相同
【思路点拔】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，依据三视图进行判断即可．
解：如图所示：
由图可得，主视图与俯视图相同．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a6b3 B．a2+a＝a3
C．a3 a4＝a12 D．a6÷a3＝a2
【思路点拔】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．（BD选项非试卷原题）
解：A．（a2b）3＝a6b3，故本选项符合题意；
B．a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a3 a4＝a7，故本选项不合题意；
D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b．若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．125° D．145°
【思路点拔】要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其邻补角的度数．
解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°．
∴∠2＝180°﹣∠3＝125°．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式﹣2x﹣4＞0，得：x＜﹣2，
在数轴上表示为：．
故选：A．
6．（3分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，根据“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，
依题意，得：．
故选：C．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
【思路点拔】根据等边三角形的判定方法判断A，再利用三角形的外角定义判定B，利用等腰三角形的性质判断C，用特殊角的三角函数判断D即可．
解：由作图可知：AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，故A正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由作图可知：BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝30°，故B正确，不符合题意；
∵△CDB是等腰三角形，
∴点C在BD的中垂线是上，故C正确，不符合题意；
∵∠A＝60°，∠D＝30°，
∴cosD，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【思路点拔】根据垂径定理求出AE＝BEAB，∠BOC＝2∠D＝60°，根据直角三角形的性质求出OB＝4，OE＝2，再根据勾股定理求解即可．
解：∵OC⊥AB于E，
∴，AE＝BEAB，
∴∠BOC＝2∠D＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∵OE＝OC﹣CE＝OB﹣CE，CE＝2，
∴OE＝OB﹣2，
∴OB＝OB﹣2，
∴OB＝4，
∴OE＝2，
∴BE2，
∴AB＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，AC＝8，BD＝6．则线段OE的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
【思路点拔】由菱形的性质得BO＝DO＝3，AO＝CO＝4，AC⊥BD，再由勾股定理得CD＝5，然后证OE为△DBC的中位线，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴BO＝DO＝3，AO＝CO＝4，AC⊥BD，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD5，
∵点E为BC的中点，
∴OE为△DBC的中位线，
∴OECD．
故选：B．
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路点拔】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：2 ．
【思路点拔】先利用二次根式的乘法法则，再把结果化简成最简二次根式．
解：原式＝2
＝2
．
12．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，则α2+4α+β＝ 2017 ．
【思路点拔】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝2020，再把α2+4α+β变形为α2+3α+α+β，即可求出答案．
解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣2020＝0，
∴α2+3α＝2020，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝2020﹣3＝2017，
故答案为：2017．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 y＝3x ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 37.5 吨．
【思路点拔】（1）通过题目分析，用水不超过20吨时，y与x之间的关系式为y＝3x；
（2）由该户四月份平均水费为每吨3.7元，判断出该用户用水超过20吨，再根据等量关系进行计算，列出方程解得答案．
解：（1）若每月用水量不超过20吨，设用水量为x吨，应收水费为y元，
由题意可得关系式：y＝3x，
故答案为：y＝3x；
（2）∵该用户四月份平均水费为每吨3.7元，
∴该用户用水超过20吨，
设该用户四月用水a吨，则有，
3.7a＝3×20+（a﹣20）×4.5，
解得a＝37.5，
故答案为：37.5．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回；再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是 ．
【思路点拔】画树状图，共有9种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是4的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是4的结果有3种，
∴摸出的两球的数字之和是4的概率是，
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝ ．
【思路点拔】过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，根据等边三角形和矩形的性质，当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，然后根据勾股定理即可求出AE的长．
解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，
∴BH＝CH，
∵BD＝3CD＝3，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝3+1＝4，
∴BH＝CH＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AH＝2，
∵DE＝AB＝2DG＝4，
∴DG＝2，
∵四边形DEFG是矩形，
∴FG＝DE＝4，∠DGF＝90°，EF＝DG＝2，
∵AG+AF≥FG，
∴当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，
∵DH＝CH﹣CD＝2﹣1＝1，
在Rt△ADH中，根据勾股定理，得
AD，
在Rt△ADG中，根据勾股定理，得
AG3，
∴AF＝GF﹣AG＝4﹣3＝1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理，得
AE．
∴当AG+AF最小时，则AE．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算： 5 ．
【思路点拔】利用零次幂的法则，负整数指数幂的法则进行化简，再合并计算可得结果．
解：
＝1+4
＝5．
故答案为：5．
17．（6分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴ AB∥CD ．
∴∠ABD＝∠CDB，
∵EF垂直平分BD，
∴ DE＝BE ．（ 垂直平分线上的点到两端点的距离相等 ）
∴∠BDE＝∠DBE，
∴ ∠ABD＝∠DBE ．
∴BD平分∠ABE．
【思路点拔】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
（2）利用平行四边形以及线段垂直平分线的性质证明即可．
（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵EF垂直平分BD，
∴DE＝BE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等）．
∴∠BDE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE．
∴BD平分∠ABE．
故答案为：AB∥CD；DE＝BE；垂直平分线上的点到两端点的距离相等；∠ABD＝∠DBE．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 83 ，c＝ 80 ，d＝ 65 ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
【思路点拔】（1）根据题目中给出的数据，可以得出a，再根据中位数、众数以及方差公式即可得出b、c、d；
（2）用总人数乘以A班成绩大于等于90分的人数所占的百分比即可；
（3）根据题目中的数据，可以得到哪个班同学的网课学习效果更好，然后说明理由即可．
解：（1）由题目中的数据可得：a＝5，
把这些数从小到大排列为：72，76，80，81，81，85，90，92，95，98，
中位数b83，
80出现了2次，出现的次数最多，
则众数c＝80，
A班的方差d[（85﹣85）2+（80﹣85）2+（72﹣85）2+（81﹣85）2+（90﹣85）2+（98﹣85）2+（76﹣85）2+（95﹣85）2+（81﹣85）2+（92﹣85）2]＝65；
故答案为：5，83，80，65；
（2）根据题意得：5020（人）．
答：估估计A班成绩大于等于90分的人数有20人；
（3）B班同学的网课学习效果更好，
理由：B班的中位数大于A班，方差小于A班．
19．（8分）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进，某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A．B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求仰角α的正切值；
（2）求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，）
【思路点拔】（1）作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，首先根据题意得到四边形AEFD是矩形，然后求出CF＝CE﹣EF＝40m，利用勾股定理得到，然后即可求解；
（2）首先根据矩形的性质得到AE＝DF＝30m，然后在Rt△CEB中利用60°角的正切值求出BE≈24，进而求解即可．
解：（1）如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，
∵无人机的飞行高度为41.6m，
∴CE＝41.6m，
由题意可得，四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6m，
∴CF＝CE﹣EF＝40m，
∵DF⊥CE，CD＝50m，
∴，
∴；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30m，
∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，
∴∠CBE＝60°，
∴，
即，
解得BE≈24，
∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，
∴A，B两点之间的距离54m．
20．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y的解析式
（②）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b．
【思路点拔】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b时，自变量x的取值范围．
解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y的图象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD2×22×4＝6；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠APB＝360°﹣（90°+90°+120°）＝60°．
∴∠APB＝60°，
连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APOAPB＝30°，
在Rt△APO中，tan30°，
∴AP4（cm），
∴S阴影＝2S△AOP﹣S扇形＝2×（4×4）＝（16）（cm2）．
22．（10分）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于m时，求d的取值范围．
【思路点拔】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；
②根据题意，列式 y 2﹣ y 1 （x﹣4）2+2，然后解不等式即可．
解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2，
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，
解得a1，
∴y1x2，
当x＝12时，y1122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2（x﹣6）2+1，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3（x+6）2+1，
②设彩带的长度为L m，
则L＝y2﹣y1（x﹣6）2+1﹣（x2）x2﹣x+4（x﹣4）2+2，
∵这条彩带的长度小于m，
∴（x﹣4）2+2，
解得x．
∴d的取值范围d．
23．（11分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，且AG＝DC．
①连接CG，求证：四边形BFCG是菱形；
②若DB∥CF，求的值．
【思路点拔】（1）先证DE＝CD，再证四边形ABFD是平行四边形，则AD＝BF，∠ADE＝∠ABF，然后证∠ABF＝∠DCF，则∠ADE＝∠FCD，由SAS即可得出结论；
（2）①连接CG，先证四边形AGCD是平行四边形，得CG∥AD，CG＝AD，再证四边形BFCG是平行四边形，然后证平行四边形BFCG是菱形，即可得出结论；
②先证△ABE∽△DEC，得，再由AB＝DF，得，进而证△BDE∽△CFE，得，则，然后求出，即可得出结论．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠CBA＝∠CED＝∠CBA，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠DEC＝∠DCB，
∴ED＝DC，
∵BF∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴DA＝FB，∠ADE＝∠ABF，
∵CF＝BF，
∴∠FBC＝∠FCB，AD＝CF，
∴∠ABC+∠FBC＝∠DCB+∠FCB，
即∠ABF＝∠DCF，
∴∠ADE＝∠FCD，
在△ADE和△FCD中，
，
∴△ADE≌△FCD（SAS）；
（2）①证明：如图2，连接CG，
由（1）得：△ADE≌△FCD，
∴∠AED＝∠FDC，
∴EA∥DC，
∵GA＝CD，
∴四边形CDAG是平行四边形，
∴AD∥CG，AD＝CG，
∵AD＝BF，AD∥BF，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∴四边形BFCG是平行四边形，
∵CF＝BF，
∴平行四边形BFCG是菱形，
∴BC平分∠DBF；
②解：由（1）可知，△ADE≌△FCD，
∴∠AED＝∠FDC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠AED，∠ABE＝∠DEC，
∴∠BAE＝∠FDC，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF，
∴，
由①可知，四边形BFCG是平行四边形，
∴BD∥FC，
∴△BDE∽△CFE，
∴，
∴，
∵DF＝DE+EF，
∴，
即DE2＝DE EF+EF2，
两边除以DE2得：，
解得或（舍去），
∴．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若P是抛物线对称轴上的点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使得QA＝QC？若存在，求此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）过抛物线上的动点R作RE⊥y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点R的坐标．
（5）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（6）已知x轴上一点N的坐标为（44，0），连接CN，G是线段CN上一点，过点G作GH⊥CO于点H，GK⊥AC于点K，判断是否为定值，并说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设抛物线对称轴交直线AC于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）QA＝QC，则点Q在AC的中垂线上，即可求解；
（4）当OD⊥AC时，DO最小，则点D为AC的中点，则点D（2，2），即可求解；
（5）如图，设抛物线的对称轴交AC于点M，则点M是所求点，即可求解；
（6）证明直线CN是∠OCA的角平分线，即可求解．
解：（1）∵OA＝OC＝4OB＝4，
则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，4），
则函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）设抛物线对称轴交直线AC于点P，则点P为所求点，理由：
PA+PC＝PB+PC＝AC为最小值，
由点C、A的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，
当x时，y＝﹣x+4，
即点P（，）；
（3）存在，理由：
∵QA＝QC，则点Q在AC的中垂线上，
则点Q所在的中垂线的表达式为：y＝x，
联立y＝x和抛物线的表达式得：x＝﹣x2+3x+4，
解得：x＝1±，
则点Q的坐标为：（1，1）或（1，1）；
（4）由题意得，四边形OEFD为矩形，
则EF＝OD，
则当OD⊥AC时，DO最小，则点D为AC的中点，
则点D（2，2），
当y＝2时，则2＝﹣x2+3x+4，
解得：x，
即点R的坐标为：（，2）或（，2）；
（5）存在，理由：
如图，设抛物线的对称轴交AC于点M，则点M是所求点，理由：
△BCM的周长＝BC+AM+BM＝BC+AC为最小，
由（2）知，点M（，）；
（6）是定值，理由：
过点N作NI⊥AC于点I，
由点A、C的坐标知，∠CAO＝45°，
则NIAN（4﹣44）＝44＝ON，
则直线CN是∠OCA的角平分线，
则HG＝GK，则∠OCN＝22.5，
则2sin∠OCN＝2sin22.5°为常数．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，﹣1，3，中，比0大的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）如图，甲、乙都是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它们的视图，判断正确的是（ ）
A．仅主视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．主视图与俯视图相同
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a6b3 B．a2+a＝a3
C．a3 a4＝a12 D．a6÷a3＝a2
4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b．若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．125° D．145°
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，AC＝8，BD＝6．则线段OE的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：2 ．
12．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，则α2+4α+β＝ ．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 吨．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回；再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是 ．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝ ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算： ．
17．（6分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴ ．
∴∠ABD＝∠CDB，
∵EF垂直平分BD，
∴ ．（ ）
∴∠BDE＝∠DBE，
∴ ．
∴BD平分∠ABE．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
19．（8分）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进，某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A．B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求仰角α的正切值；
（2）求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，）
20．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y的解析式
（②）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于m时，求d的取值范围．
23．（11分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，且AG＝DC．
①连接CG，求证：四边形BFCG是菱形；
②若DB∥CF，求的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若P是抛物线对称轴上的点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使得QA＝QC？若存在，求此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）过抛物线上的动点R作RE⊥y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点R的坐标．
（5）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（6）已知x轴上一点N的坐标为（44，0），连接CN，G是线段CN上一点，过点G作GH⊥CO于点H，GK⊥AC于点K，判断是否为定值，并说明理由．
