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8第12章《全等三角形》单元检测卷
考试范围：第12章；考试时间：100分钟；满分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等
B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
3．（3分）如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数是（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
4．（3分）如图，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD＝BC C．AE＝CF D．AD∥BC
5．（3分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B．9 C．7 D．11
8．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC面积是18cm2，AB＝10cm，AC＝8cm，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝8，AC＝3，则BE的值为 ．
12．（3分）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 （SAS）； 或 （AAS）．
13．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝60°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为 度．
14．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，AB＝AC，BD＝BA，点E在BC的延长线上，CA＝CE，连接AE，则∠DAE的度数为 °．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；⑤∠EHG＝∠GBF；⑥BD＝CD﹣AF，其中正确的是 ．（填序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF．求证：AF＝DF．
18．（8分）如图，C是线段AB的中点，CD∥BE，且CD＝BE，求证：AD＝CE．
19．（8分）如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
21．（8分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，B，C，D三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）找出格点A，连接AB，AD使四边形ABCD为菱形；
（2）画出菱形ABCD沿直线l翻折后的图形；
（3）请求出四边形ABCD的面积．
22．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）如图②．∠BAC＝60°，求∠BCE的度数；
（3）如图③，设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在线段BC上移动时，直接写出α，β之间的数量关系．
23．（10分）（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为 ．
（2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果）
24．（12分）已知：平面直角坐标系中，如图1，点A（a，b），AB⊥x轴于点B，并且满足．
（1）试判断△AOB的形状并说明理由．
（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标．
（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN＝45°交y轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM+MN﹣ON的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．中小学教育资源及组卷应用平台
8第12章《全等三角形》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS
【思路点拔】根据全等三角形的判定定理可直接得到答案．
【解答】解：SSA不能判定三角形全等，
故选：A．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等
B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
【思路点拔】根据全等图形的判定和性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；
腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；
形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；
全等三角形的面积一定相等，所以D正确，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数是（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
【思路点拔】首先根据邻补角互补可得∠AEB的度数，再根据全等三角形的性质可以计算出∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B，然后根据三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠AEC＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∠C＝∠B＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：B．
4．（3分）如图，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD＝BC C．AE＝CF D．AD∥BC
【思路点拔】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，
∵∠AEF＝∠CFE，
A、添加∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
B、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△CFB，符合题意；
C、添加AE＝CF，利用SAS能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
D、添加AD∥BC，得出∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【思路点拔】根据作图过程可得，两个三角形三条边对应相等，所以可得两个三角形全等．
【解答】解：由作图过程可得：AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
所以△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠CAD＝∠DAB，
故选：D．
6．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【思路点拔】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B．9 C．7 D．11
【思路点拔】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS），
∴EF＝DE，BF＝CD＝2，
∴AF＝AB+BF＝7，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝7，
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC面积是18cm2，AB＝10cm，AC＝8cm，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【思路点拔】AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，可得DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，进而可求出DE的值．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∴S△ABDAB DE，S△ACDAC DFAC DE，
∴S△ABD+S△ACDAB DEAC DEDE （AB+AC），
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，S△ABC＝18，
∴DE （AB+AC）＝18，
∵AB＝10，AC＝8，
∴DE （10+8）＝18，
∴DE＝2．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．易证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
故选：B．
10．（3分）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果．
【解答】解：如图所示：
由作图可知，∠1＝∠3，∠2＝∠4，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝8，AC＝3，则BE的值为 5 ．
【思路点拔】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝8，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵AB＝8，AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
12．（3分）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 CA＝FD （SAS）； ∠A＝∠D 或 ∠B＝∠E （AAS）．
【思路点拔】可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择SAS、AAS进行添加．
【解答】解：添加CA＝FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF；添加∠B＝∠E或∠A＝∠D，可利用AAS判断△ABC≌△DEF．
故答案可为CA＝FD．∠B＝∠E；∠A＝∠D
13．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝60°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为 80 度．
【思路点拔】根据全等三角形的性质得出∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，根据直角三角形的性质求出∠DAE＝80°，据此即可得解．
【解答】解：如图，AD交BC于点F，
∵△ABC≌△ADE，∠E＝70°，
∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝20°+60°＝80°，
∴∠BAC＝∠DAE＝80°．
故答案为：80．
14．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 2：3：4 ．
【思路点拔】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是40、60、80，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故答案为：2：3：4．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，AB＝AC，BD＝BA，点E在BC的延长线上，CA＝CE，连接AE，则∠DAE的度数为 45 °．
【思路点拔】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，是等腰直角三角形，所以∠B＝∠ACB＝45°，根据其他边相等可求出解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45°，
故答案为：45．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；⑤∠EHG＝∠GBF；⑥BD＝CD﹣AF，其中正确的是 ①②③④⑥ ．（填序号）
【思路点拔】由余角的性质可得∠EBD＝∠ACB＝45°，故①正确；由等腰三角形的性质可得EH垂直平分AF，可得AH＝HF，故②正确；由“SAS”可证△ABD≌△CFD，故③正确，利用全等三角形的性质可判断④⑤⑥，即可求解．
【解答】解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠EBD＝∠ACB＝45°，故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝∠ACB＝45°，
∴∠EBD＝∠BFD＝∠AFE＝DAC＝∠ACB＝45°，
∴AE＝EF，BD＝DF，AD＝CD，
∵EH平分∠AEF，
∴EH垂直平分AF，
∴AH＝HF，故②正确；
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS），故③正确；
∴AB＝CF，∠BAD＝∠DCF，
∴CH＝CF+HF＝AB+AH，故④正确；
∵EH⊥AD，AD⊥BC，
∴EH∥BC，
∴∠EHF＝∠FCB，
∴∠EHF＝∠FCB＝∠BAD，
由题意无法证明AF＝BF，
∴∠GBF不一定等于∠BAD，
∴∠GBF不一定等于∠EHF，故⑤错误，
∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，故⑥正确，
故答案为：①②③④⑥．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF．求证：AF＝DF．
【思路点拔】欲证明欲AF＝DF，只要证明△AFB≌△DFE即可；
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（ASA），
∴AF＝DF
18．（8分）如图，C是线段AB的中点，CD∥BE，且CD＝BE，求证：AD＝CE．
【思路点拔】利用SAS定理证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
19．（8分）如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB．
【思路点拔】（1）根据垂直的定义求出∠AFD＝∠CEB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A＝∠C，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）根据线段的和差求出AF＝CE，利用AAS即可证明△AFD≌△CEB．
【解答】证明：（1）∵DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，∠B+∠C＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠A＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，
即AF＝CE，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS）．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【思路点拔】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
21．（8分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，B，C，D三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）找出格点A，连接AB，AD使四边形ABCD为菱形；
（2）画出菱形ABCD沿直线l翻折后的图形；
（3）请求出四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）根据菱形的性质以及网格结构找出点A的位置，然后连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C、D关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（4）根据勾股定理列式求出AC、BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD为菱形；
（2）如图所示，菱形AB′C′D′即为所求作的菱形ABCD沿直线l翻折后的图形；
（3）根据勾股定理，AC2，
BD4，
所以，S四边形ABCDAC BD248．
22．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）如图②．∠BAC＝60°，求∠BCE的度数；
（3）如图③，设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在线段BC上移动时，直接写出α，β之间的数量关系．
【思路点拔】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，则∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；
（2）由（2）可知△BAD≌△CAE（SAS），得出∠B＝∠ACE＝60°，则可得出答案；
（3）证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出∠B＝∠ACE，β＝∠ABC+∠ACB，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；
（2）由（2）可知△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°；
（3）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，β＝∠ABC+∠ACB，
∴α+β＝180°．
23．（10分）（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为 ∠1+∠2＝90° ．
（2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果）
【思路点拔】（1）利用平角的定义即可求解；
（2）①先证明出△ADB≌△CEA（AAS），得出AE＝BD，AD＝CE，即可得出结果；
②证明出△ADB≌△CEA（AAS），得出AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论；
（3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠1+∠BAC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠1+∠2＝90°；
（2）①DE＝BD+CE，理由如下：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE；
②DE＝BD+CE成立．证明如下：
如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠DAB＝∠DAB+∠CAE，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）①当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（16﹣3t）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴16﹣3t＝12﹣2t，
∴t＝4；
②当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣16）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∴CD＝CE，
∴3t﹣16＝12﹣2t，
∴；
③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝12cm，CD＝（2t﹣12）cm，
∴CD＝CE，
∴12＝2t﹣12，
∴t＝12．
综上所述，当t＝4或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
24．（12分）已知：平面直角坐标系中，如图1，点A（a，b），AB⊥x轴于点B，并且满足．
（1）试判断△AOB的形状并说明理由．
（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标．
（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN＝45°交y轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM+MN﹣ON的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．
【思路点拔】（1）由非负性可求a＝﹣6，b＝6，可求点A坐标，即可求解；
（2）过点D作DH⊥OB于H，由“AAS”可证△BCO≌△HOD，可得DH＝BO，BC＝OH，由“AAS”可证△ABE≌△DHE，可得BE＝EH，即可求解；
（3）过点A作AP⊥MO于P，AQ⊥y轴于Q，AG⊥AM交y轴G，可得AP＝AQ＝6，∠PAQ＝90°＝∠MAG，由“ASA”可证△APM≌△AQG，可得AM＝AG，MP＝QG，由“SAS”可证△ANM≌△ANG，可得MN＝GN，即可求解．
【解答】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由如下：∵，
∴2a+b+6＝0，a﹣b+12＝0，
∴a＝﹣6，b＝6，
∴点A（﹣6，6），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝BO＝6，∠ABO＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点D作DH⊥OB于H，
∴∠DHO＝∠CBO＝90°，
∴∠BCO+∠BOC＝∠DOH+∠COB，
∴∠DOH＝∠BCO，
又∵CO＝DO，∠DHO＝∠CBO＝90°，
∴△BCO≌△HOD（AAS），
∴DH＝BO，BC＝OH，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC＝3，
∴OH＝3，BH＝BO﹣OH＝3，
∵AB＝DH，∠AEB＝∠DEH，∠ABE＝∠DHE＝90°，
∴△ABE≌△DHE（AAS），
∴BE＝EH，
∴OE＝OH+EH，
∴点E（，0）；
（3）OM+MN﹣ON的值不变，
理由如下：过点A作AP⊥MO于P，AQ⊥y轴于Q，AG⊥AM交y轴G，
∴AP＝AQ＝6，∠PAQ＝90°＝∠MAG，
∴∠PAM＝∠GAQ，
又∵∠APM＝∠AQG＝90°，
∴△APM≌△AQG（ASA），
∴AM＝AG，MP＝QG，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠GAN＝45°，
又∵AN＝AN，
∴△ANM≌△ANG（SAS），
∴MN＝GN，
∴OM+MN﹣ON＝OP+MP+GN﹣ON＝6+MP+ON+OG﹣ON＝6+QG+OG＝6+6＝12．
