人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的对称性
一、夯实基础
1．（2024九下·九江期中）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布的第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：A、把点(5，-1)带入反比例函数，得，即k=-5，A正确；
B、由k=-5＜0可知该函数图象分布在二、四象限，B正确；
C、反比例函数图象关于原点中心对称，C正确；
D、由反比例函数图象过二、四象限可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，D错误。
故答案为：D.
【分析】把点坐标带入解析式，可求出反比例函数的解析式为，可知该反比例函数的k=-5＜0，所以函数图象过二四象限，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而增大，由图像可知反比例函数的图象是关于原点中心对称的。
2．（2024九下·无锡模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
3．（2024八下·长春经济技术开发期末）如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质
4．反比例函数 的图象如图所示， 以下结论正确的是（ ）
①常数 ；② 随 的增大而减小；③若 为 轴上一点， 为反比例函数图象上一点， 则 ；④若点 在图象上， 则点 ， 也在图象上．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题图可知，反比例函数在一、三象限，则，得，①正确；
由图象可知，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，②错误；
设点A的坐标为点B的坐标为，则，③错误；
因为反比例函数的图象关于原点对称，故若在图象上，则也在图象上，故④正确；
由上可得，结论正确的是①④，
故答案为：D.
【分析】根据题图可知，反比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而减小，则，可得m的取值范围，函数的图象关于原点对称，据此判断题目中的结论是否正确．
5．（2024八下·邗江月考）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】1
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义
6．（2024九下·东城模拟）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性
7．（2024九下·清镇市模拟）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
（1）直接写出C点坐标
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）反比例函数的解析式为
（3）或
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式
8．（2022九上·阜平月考）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点．
（1）求这个函数的表达式．
（2）判断点是否在这个函数的图上，并说明理由．
（3）上述函数图象的两个分支是否成中心对称？若是，请指出对称中心，并写出两对对称点的坐标．
【答案】（1）
（2）点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上
（3）成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和，和
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；中心对称及中心对称图形
二、能力提升
9．（2024·杭州模拟） 如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数图象交于，两点，轴于点，连接交轴于点，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数为常数图象与反比例函数为常数图象交于，两点 ，
∴OA=OB，
∴S△AHO=S△BHO，
∵OG∥AH，OA=OB，
∴HG=BG，
∴S△GHO=S△BGO=3，
∴S△BHO=3+3=6，
∴S△AHO=S△BHO=6，
∴S△AHO==6，
∵反比例函数图象位于二四象限，
∴k=-12.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质可知：点A、B关于原点点对称，可得AO=OB，根据等底同高可得△GHO=S△BGO=3，S△AHO=S△BHO=6，根据反比例函数系数k的几何意义可得=6，继而求解.
10．（2024·湖南模拟）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵反比例函数与的一个交点为，
∴的半径为=，
∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴ 图中阴影部分的面积和等于的四分之一，
∴阴影部分的面积为×π×（）2=.
故答案为：C.
【分析】由反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，可知图中阴影部分的面积和等于的四分之一，由点P坐标求出的半径，继而求解.
11．（2024·仪陇模拟）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；反比例函数图象的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，
∴点B与C关于y轴对称，
∴选项A，C不符合题意；
∵，，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∴选项B不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用点B与C关于y轴对称，判断出选项A，C不符合题意；再利用当x<0时，y随x的增大而增大，判断出选项B不符合题意，选项D符合题意，从而得解.
12．（2024九下·新泰模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A．0＜x＜2 B．x＞2
C．x＞2或-2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
13．（2024九上·游仙期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性
14．（2024九上·零陵期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；
②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；
③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；
④如图，
根据图象可知，的解集是；结论错误；
正确的有②③；
故答案为：B．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，最后结合函数图象逐项分析判断即可.
15．（2023·黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设BC交y轴于点F，
设点，根据双曲线的对称性得点，OA=OB，即点O为线段AB的中点，
∵AC=AB，AE⊥BC，BC∥x轴，
∴BE=CE，AE∥y轴，
∴BF=EF=b，
∴CF=3b，
∴，
∴点，
∴，
∴k= .
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设出点B的坐标，通过双曲线的对称性求出A点的坐标，通过等腰三角形的三线合一及三角形中位线定理可表示出点C的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点可得到点D的坐标，从而可用含k的式子表示出点BC、CD的长，最后结合△BCD的面积建立方程可求出k的值.
16．（2024·陕西模拟）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
【答案】1
【知识点】反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣对称
17．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为 .
【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x， )，则B点坐标为( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案为：6.
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得A、B两点的横纵坐标互为相反数，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点的横坐标相同，于是可设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形ABC的面积公式计算即可求解．
18．（2024·南昌模拟） 如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴于点D，
，
，，
，
．
，
．
根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．
若点B经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了；
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上．
【分析】首先求出 是等腰三角形，且顶角为120°，然后根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．然后分成三种情况：若点B经过，可得绕着点O顺时针旋转了；若点A经过，绕着点O顺时针旋转了；若点A经过，绕着点O顺时针旋转了．故而得出旋转的角度为 ：或 。
19．（2024九上·常德月考）如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足.
(1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
(2)连接，求的最小值；
(3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
【答案】（1）点P的坐标为(6，2)；（2）；（3）Q (4 ，5)，Q (4+，5)，Q (4 2， 1)，Q (4+2， 1)．
【知识点】反比例函数图象的对称性；菱形的性质
三、拓展创新
20．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
21．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB斜边上的中点C在y轴正半轴上，M为AC的中点.反比例函数在第二象限的图象经过点A，M，延长MO交函数在第四象限的图象于点N.反比例函数(x>0)的图象经过点B，连结BN.若△BMN的面积为18，则m-n的值为
【答案】-24
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A，B分别作x，y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G，则四边形ADOG为矩形，
∵M，N关于点O对称，则MO=NO，又的面积为18，
∴，
又∵斜边上的中点C在y轴的正半轴上，M为AC的中点，
∴∴，
∴
又∵C是AB的中点，则，故，故即，
故，∴.
故答案为：
【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，属于较难题型，过点A，B分别作x，y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G，根据已知条件可求得进而证明，即可求得，据此即可求解.
23．（2021·海沧模拟）如图，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，点B在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数 （ ）的图象关于AO所在的直线对称，且与AO、AB分别交于D、E两点，过点A作AH⊥OB交x轴于点H，过点E作EF OB交AH于点G，交AO于点F，则四边形OHGF的面积为
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象关于 所在的直线对称，
直线 的解析式为 ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ， ，
，即 ，
则四边形 的面积为 ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】 先证△AEF为等腰直角三角形，得AG=EG=FG，设点的坐标为A(a，a)(a＞0），点E的坐标为E(b，)(b＞0），故AG=FG=EG=b-a，AH=OH=a，AG=AH-GH=a-，得，即，由四边形 计算即得.
24．（2023九下·禅城模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如、、都是“不动点”，已知双曲线．
（1）求双曲线上的“不动点”；
（2）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”．
①当时，求的取值范围；
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）双曲线上的“不动点”为和；
（2）①；②
【知识点】反比例函数图象的对称性
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的对称性
一、夯实基础
1．（2024九下·九江期中）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布的第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，随的增大而减小
2．（2024九下·无锡模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2024八下·长春经济技术开发期末）如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．6
4．反比例函数 的图象如图所示， 以下结论正确的是（ ）
①常数 ；② 随 的增大而减小；③若 为 轴上一点， 为反比例函数图象上一点， 则 ；④若点 在图象上， 则点 ， 也在图象上．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④
5．（2024八下·邗江月考）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．
6．（2024九下·东城模拟）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
7．（2024九下·清镇市模拟）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
（1）直接写出C点坐标
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
8．（2022九上·阜平月考）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点．
（1）求这个函数的表达式．
（2）判断点是否在这个函数的图上，并说明理由．
（3）上述函数图象的两个分支是否成中心对称？若是，请指出对称中心，并写出两对对称点的坐标．
二、能力提升
9．（2024·杭州模拟） 如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数图象交于，两点，轴于点，连接交轴于点，若，则的值为( )
A． B． C． D．
10．（2024·湖南模拟）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·仪陇模拟）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九下·新泰模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A．0＜x＜2 B．x＞2
C．x＞2或-2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2
13．（2024九上·游仙期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（ ）
A．1 B． C． D．
14．（2024九上·零陵期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
15．（2023·黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·陕西模拟）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
17．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为 .
18．（2024·南昌模拟） 如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ．
19．（2024九上·常德月考）如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足.
(1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
(2)连接，求的最小值；
(3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
三、拓展创新
20．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB斜边上的中点C在y轴正半轴上，M为AC的中点.反比例函数在第二象限的图象经过点A，M，延长MO交函数在第四象限的图象于点N.反比例函数(x>0)的图象经过点B，连结BN.若△BMN的面积为18，则m-n的值为
23．（2021·海沧模拟）如图，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，点B在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数 （ ）的图象关于AO所在的直线对称，且与AO、AB分别交于D、E两点，过点A作AH⊥OB交x轴于点H，过点E作EF OB交AH于点G，交AO于点F，则四边形OHGF的面积为
24．（2023九下·禅城模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如、、都是“不动点”，已知双曲线．
（1）求双曲线上的“不动点”；
（2）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”．
①当时，求的取值范围；
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：A、把点(5，-1)带入反比例函数，得，即k=-5，A正确；
B、由k=-5＜0可知该函数图象分布在二、四象限，B正确；
C、反比例函数图象关于原点中心对称，C正确；
D、由反比例函数图象过二、四象限可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，D错误。
故答案为：D.
【分析】把点坐标带入解析式，可求出反比例函数的解析式为，可知该反比例函数的k=-5＜0，所以函数图象过二四象限，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而增大，由图像可知反比例函数的图象是关于原点中心对称的。
2．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
3．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质
4．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题图可知，反比例函数在一、三象限，则，得，①正确；
由图象可知，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，②错误；
设点A的坐标为点B的坐标为，则，③错误；
因为反比例函数的图象关于原点对称，故若在图象上，则也在图象上，故④正确；
由上可得，结论正确的是①④，
故答案为：D.
【分析】根据题图可知，反比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而减小，则，可得m的取值范围，函数的图象关于原点对称，据此判断题目中的结论是否正确．
5．【答案】1
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义
6．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性
7．【答案】（1）
（2）反比例函数的解析式为
（3）或
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式
8．【答案】（1）
（2）点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上
（3）成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和，和
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；中心对称及中心对称图形
9．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数为常数图象与反比例函数为常数图象交于，两点 ，
∴OA=OB，
∴S△AHO=S△BHO，
∵OG∥AH，OA=OB，
∴HG=BG，
∴S△GHO=S△BGO=3，
∴S△BHO=3+3=6，
∴S△AHO=S△BHO=6，
∴S△AHO==6，
∵反比例函数图象位于二四象限，
∴k=-12.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质可知：点A、B关于原点点对称，可得AO=OB，根据等底同高可得△GHO=S△BGO=3，S△AHO=S△BHO=6，根据反比例函数系数k的几何意义可得=6，继而求解.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵反比例函数与的一个交点为，
∴的半径为=，
∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴ 图中阴影部分的面积和等于的四分之一，
∴阴影部分的面积为×π×（）2=.
故答案为：C.
【分析】由反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，可知图中阴影部分的面积和等于的四分之一，由点P坐标求出的半径，继而求解.
11．【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；反比例函数图象的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，
∴点B与C关于y轴对称，
∴选项A，C不符合题意；
∵，，
∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∴选项B不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用点B与C关于y轴对称，判断出选项A，C不符合题意；再利用当x<0时，y随x的增大而增大，判断出选项B不符合题意，选项D符合题意，从而得解.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
13．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性
14．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；
②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；
③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；
④如图，
根据图象可知，的解集是；结论错误；
正确的有②③；
故答案为：B．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，最后结合函数图象逐项分析判断即可.
15．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设BC交y轴于点F，
设点，根据双曲线的对称性得点，OA=OB，即点O为线段AB的中点，
∵AC=AB，AE⊥BC，BC∥x轴，
∴BE=CE，AE∥y轴，
∴BF=EF=b，
∴CF=3b，
∴，
∴点，
∴，
∴k= .
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设出点B的坐标，通过双曲线的对称性求出A点的坐标，通过等腰三角形的三线合一及三角形中位线定理可表示出点C的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点可得到点D的坐标，从而可用含k的式子表示出点BC、CD的长，最后结合△BCD的面积建立方程可求出k的值.
16．【答案】1
【知识点】反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣对称
17．【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x， )，则B点坐标为( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案为：6.
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得A、B两点的横纵坐标互为相反数，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点的横坐标相同，于是可设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形ABC的面积公式计算即可求解．
18．【答案】或
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴于点D，
，
，，
，
．
，
．
根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．
若点B经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了；
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上．
【分析】首先求出 是等腰三角形，且顶角为120°，然后根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．然后分成三种情况：若点B经过，可得绕着点O顺时针旋转了；若点A经过，绕着点O顺时针旋转了；若点A经过，绕着点O顺时针旋转了．故而得出旋转的角度为 ：或 。
19．【答案】（1）点P的坐标为(6，2)；（2）；（3）Q (4 ，5)，Q (4+，5)，Q (4 2， 1)，Q (4+2， 1)．
【知识点】反比例函数图象的对称性；菱形的性质
20．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
21．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
22．【答案】-24
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A，B分别作x，y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G，则四边形ADOG为矩形，
∵M，N关于点O对称，则MO=NO，又的面积为18，
∴，
又∵斜边上的中点C在y轴的正半轴上，M为AC的中点，
∴∴，
∴
又∵C是AB的中点，则，故，故即，
故，∴.
故答案为：
【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，属于较难题型，过点A，B分别作x，y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G，根据已知条件可求得进而证明，即可求得，据此即可求解.
23．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象关于 所在的直线对称，
直线 的解析式为 ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ， ，
，即 ，
则四边形 的面积为 ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】 先证△AEF为等腰直角三角形，得AG=EG=FG，设点的坐标为A(a，a)(a＞0），点E的坐标为E(b，)(b＞0），故AG=FG=EG=b-a，AH=OH=a，AG=AH-GH=a-，得，即，由四边形 计算即得.
24．【答案】（1）双曲线上的“不动点”为和；
（2）①；②
【知识点】反比例函数图象的对称性
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