人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数中k的几何意义
一、夯实基础
1．（2024九上·石家庄月考）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A．
B．随的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，，则
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
2．（2024九上·常德月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
4．（2024八下·榆树月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
5．（2024九上·桂林月考）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的点，过点作轴的垂线交于点，点在轴上，若的面积为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
6．（2024九上·邵东月考）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
7．（2024九上·遂宁月考）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，、分别交反比例函数的图像于点、，则四边形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
8．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数系数k的几何意义；三角形的角平分线、中线和高
9．（2024九上·栾城期末）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．
（1）直接写出的值以及，的坐标；
（2）根据图象直接写出：当时x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1），，
（2）或
（3）3
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
二、能力提升
10．（2024九上·岳阳月考）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
11．（ 四川省简阳市禾丰镇中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题 ）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．1.5 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
12．（2023·兴隆台模拟）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 点C是OA的中点，
∴ ，
∴
∴
点B在双曲线 上， 轴，
∴
双曲线经过一，三象限
故选：C．
【分析】先证出，再结合，求出，再结合反比例函数的图象与系数的关系求出k的值即可。
13．（2024八下·西湖期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
14．（2024九下·安庆模拟）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
15．（2024九上·丰城月考）如图，直线交轴于点，与双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），是线段上的点（不与、重合）过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为，的面积为，的面积为，则、、的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
16．（2024九上·澧县月考）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的角平分线、中线和高
17．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，
∴∠OHM=∠OGM=90°，
∵矩形ABCO，
∴OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，
∴MH∥BC，MG∥AB，
∴四边形OHMG是矩形，
∴CO=2OH，OA=2OG，
∴S矩形OABC=4S矩形OHMG，
∵点，M、E、A在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴S矩形OHMG=2S△OCE=2S△ADO=k，
∴S矩形OABC=4k，
∴S矩形OABC=S△OCE+S△ODA+S四边形ODBE=S矩形OHMG+S四边形ODBE=4k
∴k+12=4k
解之：k=4.
故答案为：4.
【分析】过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，可证得∠OHM=∠OGM=90°，利用矩形的性质可证得OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，由此可推出MH∥BC，MG∥AB，可证得四边形OHMG是矩形，利用矩形的性质去证明S矩形OABC=4S矩形OHMG；再利用反比例函数的几何意义，可推出S矩形OABC=4k，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
18．（2024九上·衡阳开学考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得，再求出k的值即可.
19．（2024九下·江阳模拟）如图所示，一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，过A点作x轴的垂线，的面积为6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】（1），，
（2）时，或时，
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
20．（2024九下·让胡路模拟）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）点的坐标为(4，2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的角平分线、中线和高
三、拓展创新
21．（2024八下·沈丘期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
22．（2024八下·祁东期中）函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
23．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
24．（2024九下·青浦模拟）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定与性质
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数中k的几何意义
一、夯实基础
1．（2024九上·石家庄月考）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A．
B．随的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，，则
2．（2024九上·常德月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·榆树月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2024九上·桂林月考）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的点，过点作轴的垂线交于点，点在轴上，若的面积为，则的值为 ．
6．（2024九上·邵东月考）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ．
7．（2024九上·遂宁月考）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，、分别交反比例函数的图像于点、，则四边形的面积为 ．
8．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为 ．
9．（2024九上·栾城期末）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．
（1）直接写出的值以及，的坐标；
（2）根据图象直接写出：当时x的取值范围；
（3）求的面积．
二、能力提升
10．（2024九上·岳阳月考）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（ ）
A． B． C． D．
11．（ 四川省简阳市禾丰镇中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题 ）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．1.5 B．1 C．3 D．2
12．（2023·兴隆台模拟）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
13．（2024八下·西湖期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
14．（2024九下·安庆模拟）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九上·丰城月考）如图，直线交轴于点，与双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），是线段上的点（不与、重合）过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为，的面积为，的面积为，则、、的大小关系为 ．
16．（2024九上·澧县月考）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则的面积是 ．
17．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
18．（2024九上·衡阳开学考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为 ．
19．（2024九下·江阳模拟）如图所示，一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，过A点作x轴的垂线，的面积为6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
20．（2024九下·让胡路模拟）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
三、拓展创新
21．（2024八下·沈丘期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
22．（2024八下·祁东期中）函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
24．（2024九下·青浦模拟）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
2．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
4．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
5．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
6．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
7．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
8．【答案】6
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数系数k的几何意义；三角形的角平分线、中线和高
9．【答案】（1），，
（2）或
（3）3
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
11．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
12．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 点C是OA的中点，
∴ ，
∴
∴
点B在双曲线 上， 轴，
∴
双曲线经过一，三象限
故选：C．
【分析】先证出，再结合，求出，再结合反比例函数的图象与系数的关系求出k的值即可。
13．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
14．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
16．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的角平分线、中线和高
17．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，
∴∠OHM=∠OGM=90°，
∵矩形ABCO，
∴OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，
∴MH∥BC，MG∥AB，
∴四边形OHMG是矩形，
∴CO=2OH，OA=2OG，
∴S矩形OABC=4S矩形OHMG，
∵点，M、E、A在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴S矩形OHMG=2S△OCE=2S△ADO=k，
∴S矩形OABC=4k，
∴S矩形OABC=S△OCE+S△ODA+S四边形ODBE=S矩形OHMG+S四边形ODBE=4k
∴k+12=4k
解之：k=4.
故答案为：4.
【分析】过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，可证得∠OHM=∠OGM=90°，利用矩形的性质可证得OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，由此可推出MH∥BC，MG∥AB，可证得四边形OHMG是矩形，利用矩形的性质去证明S矩形OABC=4S矩形OHMG；再利用反比例函数的几何意义，可推出S矩形OABC=4k，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得，再求出k的值即可.
19．【答案】（1），，
（2）时，或时，
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
20．【答案】（1），
（2）点的坐标为(4，2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的角平分线、中线和高
21．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
22．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
23．【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
24．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定与性质
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