2024-2025学年高一数学苏教版必修一单元过关检测 第5章 函数概念与性质（含解析）

2024-2025学年高一数学苏教版必修一单元过关检测 第5章 函数概念与性质
一、选择题
1．已知函数的定义域是R，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2．在下列集合E到集合F的对应中,不能构成E到F的函数的是( )
A. B.
C. D.
3．已知是定义在R上的偶函数,且,当时,,则( )
A. B. C.2 D.98
4．下列函数在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．函数满足,则( )
A. B.0 C.2 D.
7．若函数在区间上为不单调函数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．函数是定义在R上周期为2的奇函数,若则( ).
A. B.1 C.0 D.0.5
二、多项选择题
9．下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
10．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
11．设定义在R上的函数,则下列函数必为偶函数的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知是奇函数,则实数a的值为________.
13．函数的单调递减区间为______.
14．已知是定义在R上的奇函数，且当时，.若，则______.
四、解答题
15．已知函数
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)解方程.
16．某厂家拟进行某产品的促销活动,根据市场情况,该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数）,如果不搞促销活动,则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入5万元,厂家将每件产品的销售价定为元,设该产品的月利润为y万元.（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用）
(1)将y表示为x的函数;
(2)月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大？最大利润为多少？
17．已知函数为偶函数.
(1)证明：函数在上单调递增;
(2)若不等式对任意的恒成立,求实数m的取值范围.
18．已知函数的图像过点．
(1)求实数m的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明．
19．已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)解不等式;
(3)设函数,若,,使得,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是R上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是R上的奇函数可得是上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
2．答案：D
解析：根据函数的定义可知,E中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应,
显然A、B、C符合题意,
而D选项中,E中的元素b在F中有两个元素对应,不符合函数的定义.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,所以4是的一个周期,
.
故选:C.
4．答案：C
解析：对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，故D错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意可知，解不等式得.
故选：D
6．答案：D
解析：因为,令,可得.
故选:D.
7．答案：C
解析：因为二次函数的对称轴为,
又函数在区间上为不单调函数,所以,
故选:C
8．答案：A
解析：因为函数是定义在R上周期为2的奇函数,
所以,又,即,
故,
故选:A.
9．答案：BC
解析：对于A：的定义域为R,且,
所以为奇函数,故A错误;
对于B：的定义域为R,且,所以为偶函数,
当时,由一次函数的性质可知,在上单调递增,
即在上单调递增,故B正确;
对于C：的定义域为R,且,
所以为偶函数,由幂函数的性质可知,在上单调递增,故C正确;
对于D：的定义域为,且,
所以为奇函数,故D错误;
故选：BC.
10．答案：BC
解析：对于A,定义域为R,因为,所以此函数为偶函数,所以A不符合题意,
对于B,定义域为,因为,所以此函数为奇函数,在R上为增函数,所以B符合题意,
对于C,定义域为R,因为,所以此函数为奇函数,因为在R上为增函数,所以C符合题意,
对于D,定义域为,因为,所以此函数为奇函数,因为,所以函数在不是增函数,所以D不符合题意,
故选:BC
11．答案：ABD
解析：对于A,令,,即为偶函数,A正确;
对于B,令,,为偶函数,B正确;
对于C,令,,无法判断的奇偶性,C错误;
对于D,令,,为偶函数,D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：的定义域为R,又因为是奇函数,
所以,即,解得.
当时,,
所以,即是奇函数.
所以.
故答案为:.
13．答案：,
解析：由,得到或,
函数的图像如图所示,
由图知,函数的单调递减区间为,,
故答案为:,.
14．答案：
解析：是定义在R上的奇函数，且时，，
，，
，即，.
故答案为：.
15．答案：(1)偶函数,详细见解析
(2)
解析：(1)因为且定义域为R,所以是偶函数.
(2)当时,,
去绝对值符号可得,化简可得,
解之可得或(舍),
当时,,
去绝对值符号可得,化简可得（舍）,
综上,的解为.
16．答案：(1),
(2)月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为6万元
解析：(1)由题意知当时,,代入
则,解得,.
利润,
又因为,
所以,.
(2)由(1)知
因为时,,
因为,当且仅当时等号成立
所以,
故月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为6万元
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：函数为偶函数,
.
,
,
设,则,
,
函数在上单调递增.
(2)函数为偶函数,且在上单调递增,
函数在上单调递减.
不等式对任意的恒成立,
对恒成立,
当时,对恒成立,即;
当时,即对恒成立,则,
或,
即实数m的取值范围为.
18．答案：(1)2
(2)奇函数,证明见解析
解析：(1)函数的图像过点,
,;
(2)证明：函数的定义域为,
又,
函数是奇函数．
19．答案：(1)是奇函数
(2)或
(3)
解析：（1）因为定义域是R,且,
所以是奇函数.
（2）设,则,
因为在R上递增,且在上递减,
所以是R上减函数,
又因为在R上是奇函数,
则可转化为,
且在R是减函数,则,整理得,
解得或,可得或,
所以不等式的解集为或.
（3）由题意可得：
因为,即,则,可得,
所以的值域是,
若,,使成立,只需,
设,,
则
可知在上单调递增,
可知：,即时,取到最大值为,
所以,解得,
所以实数m的取值范围.