第26章 二次函数
第27章 (考试时间：120分钟，全卷满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1．下列函数中是二次函数的是(C)
A．y＝2x＋1 B．y＝ax2－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝2x－1
2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(B)
A．－2 B.2 C.－1 D.1
3．把抛物线y＝(x＋3)2向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得到的抛物线是(A)
A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x－1)2－2
C．y＝x2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x<1时，y随x的增大而增大， 则a的取值范围是(B)
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
5．若二次函数y＝3x2＋x－2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2＋x＝2m的根的情况是(A)
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，则y1与y2的大小关系为(A)
A．y1>y2 B．y17．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(A)
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x＋1)2＋b与y＝a(x－2)2＋b＋1交于点A.过点A作y轴的垂线，分别交两抛物线于点B，C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为 (B)
A．5 B．6 C.7 D．8
9．如图，某大门的形状是抛物线形，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是(建筑物厚度忽略不计)(A)
A．y＝－x2＋8 B．y＝－x2＋7 C．y＝x2＋8 D．y＝x2＋7
10．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是(C)
A B C D
11．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为(C)
A．(，) B．(2，2) C．(，2) D.(2，)
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，1)的抛物线的函数表达式：y＝x2＋1(答案不唯一)．
14．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－6，0)，B(4，0)，则抛物线的对称轴是直线x＝－1.
15．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时，x的取值范围是－1＜x＜2.
16．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙 BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是24 m2.
17．已知抛物线y＝x2－x＋2与直线y＝x－2的图象如图所示，点P 是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为.
18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球运动的时间为6 s；③小球抛出3 s时，速度为0；④当小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s，其中正确的有②③(选填序号)．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(本题满分10分)已知二次函数y＝4x2＋16x.
(1)写出它的对称轴与顶点坐标；
(2)写出它与坐标轴交点的坐标；
(3)指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，－16)．
(2)(0，0)，(－4，0)．
(3)当x≥－2时，y随x的增大而增大．
20．(本题满分10分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：(1)根据题意，得＝2，∴a＝3.
(2)y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，
设平移后图象所对应的二次函数的表达式为
y＝x2－4x＋3－b，把(0，0)代入，得b＝3.
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为
y＝x2－4x.
21．(本题满分10分)如图，点A(－1，0)，B(2，－3)都在二次函数y＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)a＝1，b＝－2；
(2)若二次函数的图象经过点(－2，y1)，(0，y2)，，比较y1，y2，y3的大小，并简述理由．
解：(2)y＝(x－1)2－4，∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，∴在对称轴的右侧，
y随x的增大而增大，
∵(－2，y1)关于对称轴的对称点(4，y1)，(0，y2)
关于对称轴的对称点(2，y2)，
∵2＜＜4，∴y2＜y3＜y1.
22．(本题满分10分)一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位：s)满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/m 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位：s)满足：y2＝52t2－2t，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23 s，求滑坡AB的长度．
解：设y1＝at＋bt1，把(1，4.5)和(2，14)代入函数关系式，得
解得
∴二次函数的表达式为y1＝2.5t＋2t1①.
y2＝52t2－2t，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，
此时，t2＝－＝13，23－13＝10(s)，
把t＝10代入①式，解得y1＝270.
∴滑坡AB的长度为270 m.
23．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋n 经过点A(－4，2)，分别与x，y轴交于点B，C，抛物线y＝x2－2mx＋m2－n的顶点为D.
(1)点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，1)；
(2)①直接写出抛物线顶点D的坐标(用含m的式子表示)；
②若抛物线y＝x2－2mx＋m2－n与线段BC有公共点，求m的取值范围．
解：(2)①∵y＝x2－2mx＋m2－n＝
(x－m)2－1，∴D(m，－1)．
②将点(0，1)代人y＝x2－2mx＋m2－1中，得m＝或m＝－.将点(4，0)代入
y＝x2－2mx＋m2－1中，
得0＝16－8m＋m2－1，解得m＝5或m＝3.
结合图象，可得－≤m≤5.
24．(本题满分12分)【综合与实践】
【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期的售价与日销售量情况，记录如下：
售价(元/盆) 日销售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(盆) 54 50 46 38 30
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
【拓广应用】
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中．
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
解：(2)观察表格可知销售量是售价的一次函数．
设销售量为y盆，售价为x元/盆，
日销售量y与售价x间的关系式为y＝－2x＋90.
(3)①(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆．
②设每天获得的利润为w元，根据题意得
w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元．
25．(本题满分14分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使以P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在．请说明理由．
解：(1)∵OB＝OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OC2＋OA2＝AC2，即(3OA)2＋OA2＝()2，
解得OA＝1，∴OC＝OB＝3，
∴A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)，代入
y＝ax2＋bx＋c中，得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(2)如图，S四边形PBAC＝S△BCA＋S△PBC，而△ABC的面积是定值，要使四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的面积最大即可．
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B(－3，0)，C(0，3)，设直线BC的表达式为
y＝mx＋n，则解得
∴直线BC的表达式为y＝x＋3，
设点P(x，－x2－2x＋3)，则点H(x，x＋3)，
S△BPC＝PH·OB＝×(－x2－2x＋3－x－3)×3
＝－x2－x＝－＋，
∵－<0，∴S△BPC有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x＝－，代入y＝－x2－2x＋3中，得y＝，
∴点P的坐标为.
(3)存在，点Q的坐标为，或.二次函数
(考试时间：120分钟，全卷满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝ax2－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝2x－1
2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )
A．－2 B.2 C.－1 D.1
3．把抛物线y＝(x＋3)2向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得到的抛物线是( )
A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x－1)2－2
C．y＝x2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x<1时，y随x的增大而增大， 则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
5．若二次函数y＝3x2＋x－2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2＋x＝2m的根的情况是( )
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，则y1与y2的大小关系为( )
A．y1>y2 B．y17．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x＋1)2＋b与y＝a(x－2)2＋b＋1交于点A.过点A作y轴的垂线，分别交两抛物线于点B，C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为 ( )
A．5 B．6 C.7 D．8
9．如图，某大门的形状是抛物线形，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是(建筑物厚度忽略不计)( )
A．y＝－x2＋8 B．y＝－x2＋7 C．y＝x2＋8 D．y＝x2＋7
10．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是( )
A B C D
11．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )
A．(，) B．(2，2) C．(，2) D.(2，)
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，1)的抛物线的函数表达式： ．
14．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－6，0)，B(4，0)，则抛物线的对称轴是直线 .
15．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时，x的取值范围是 .
16．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙 BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 .
17．已知抛物线y＝x2－x＋2与直线y＝x－2的图象如图所示，点P 是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为 .
18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球运动的时间为6 s；③小球抛出3 s时，速度为0；④当小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s，其中正确的有 (选填序号)．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(本题满分10分)已知二次函数y＝4x2＋16x.
(1)写出它的对称轴与顶点坐标；
(2)写出它与坐标轴交点的坐标；
(3)指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
20．(本题满分10分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
21．(本题满分10分)如图，点A(－1，0)，B(2，－3)都在二次函数y＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)若二次函数的图象经过点(－2，y1)，(0，y2)，，比较y1，y2，y3的大小，并简述理由．
22．(本题满分10分)一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位：s)满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/m 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位：s)满足：y2＝52t2－2t，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23 s，求滑坡AB的长度．
23．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋n 经过点A(－4，2)，分别与x，y轴交于点B，C，抛物线y＝x2－2mx＋m2－n的顶点为D.
(1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)①直接写出抛物线顶点D的坐标(用含m的式子表示)；
②若抛物线y＝x2－2mx＋m2－n与线段BC有公共点，求m的取值范围．
24．(本题满分12分)【综合与实践】
【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期的售价与日销售量情况，记录如下：
售价(元/盆) 日销售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆)
日销售量(盆)
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
【拓广应用】
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中．
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
25．(本题满分14分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使以P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在．请说明理由．
