2024-2025学年江苏省南京十三中高二（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京十三中高二（上）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则的模( )
A. B. C. D.
2.设，，若点在线段上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知直线：在轴、轴上的截距相等，则直线与直线：间的距离为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径直径为，深度为，则该抛物线顶点到焦点的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：，圆：，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点在线段上，与分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则( )
A. B. 点的坐标为
C. D. 直线的方程为
10.已知曲线：点，，则以下说法正确的是( )
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线存在点，使得
C. 直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
11.已知正方体的棱长为，为侧面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则的轨迹长度为
B. 若，则到直线的距离的最小值为
C. 若，则，且直线平面
D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于直线对称的点的坐标为______．
13.已知，是圆：为圆心上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为______．
14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是由，的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以，为焦点的椭圆．
如图，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校为了解本校身体素质情况，分别从男生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本甲，从女生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图．
已知乙样本中数据在的有个．
求和乙样本直方图中的值；
试估计该校女生本次体育测试成绩的平均值和男生本次体育测试成绩的上四分位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表；
采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在的学生中抽取人，并从这人中任取人，求这两人分数都在中的概率．
16.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点．
线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请说明理由；
求四面体的体积．
17.本小题分
在中，，，
求的值；
若，求的面积；
设为内一点，，，求的值．
18.本小题分
已知圆：．
过点作圆的切线，求的方程；
若直线方程为与圆相交于、两点，求；
在的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值．
19.本小题分
椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点．
求椭圆的方程；
椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．
证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
求面积的最大值．
参考答案
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15.解：根据题意可得，解得；
又乙样本中数据在的频率为，且乙样本中数据在的有个，
；
乙样本数据的平均数估计为，
估计该校女生本次体育测试成绩的平均值为分；
甲样本数据的前几组的频率依次为，，，，
甲样本数据的上四分位数估计为，
估计该校男生本次体育测试成绩的上四分位数为分；
甲样本数据中前三组的频率之比为：：：：，
中抽人，中抽人，中抽人，
再从这人中任取人，共有个结果，
而这两人分数都在中包含个结果，
所求概率为．
16.解：在上存在一点，且为的中点，使得平面，
理由如下：取的中点，中点，连接，，，
为的中点，
且，且，且，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
如图，取的中点，连接，
为等腰直角三角形，，
，
平面平面，
平面平面，平面，
平面，
又为的中点，
点到平面的距离等于的一半，
又，
，，
点到平面的距离等于，
在菱形中，，
，
，
，
，
四面体的体积为．
17.解：在中，由正弦定理，又，
所以，
又，所以，
所以，
即，
即，
所以；
因为，在中，由余弦定理，
即，解得负值已舍去，
则，所以；
在中，设，令，
则，，
在中，可得，，
由正弦定理，
，
所以，可得，即．
18.解：圆方程可化为，则圆心，半径为，
由可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
所以直线的方程为或．
直线方程为，
则圆心到直线的距离，
直线与圆相交，．
圆的圆心，半径，
点到直线：的距离，
点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值为．
19.解：设椭圆的方程为，
椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
椭圆过点，
，，
，
椭圆的标准方程为．
证明：因为直线与坐标轴不垂直，则设直线的方程为，
联立，消去得，
，即，
设，，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以．
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．
由知，，，
且，即，
又
，
令，则，
，
当且仅当时取“”，
面积的最大值为．
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