2024-2025学年安徽省“皖中名校联盟”高一（上）第二次教学质量检测数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省“皖中名校联盟”高一（上）第二次教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.已知定义在上的函数，满足，且，则 ( )
A. B. C. D.
6.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 函数与函数表示同一函数
B. 若函数，则
C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数为偶函数，为奇函数，则为偶函数
10.将某几何图形置于坐标系中，直线从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为，若函数的大致图象如图所示，则该几何图形可以是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，，设，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则__________．
13.不等式的最小整数解是__________．
14.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，对于给定的，定义，则 ，若集合，则中元素的个数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
设用水量为时，水费为元，求关于的函数解析式
若户居民本月用水量为时，求户居民本月交纳的水费为多少元若户居民本月交纳的水费为元，求户居民本月用水量．
16.本小题分
设均为正数，且，证明：若，则：
已知为正数，且满足，证明：．
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求，的值；
判断函数的单调性并用定义加以证明；
求使成立的实数的取值范围．
18.本小题分
如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”已知函数的定义域为，且．
Ⅰ若，，求的定义域；
Ⅱ当时，若为“同域函数”，求实数的值；
Ⅲ若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义在上的连续函数满足对任意，，．
证明：；
判断并证明的奇偶性；
若对于任意，不等式恒成立，求出的最大值．
参考答案
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15.解：当时，，
当时，，
当时，，
关于的函数解析式为：；
由得，当时，元
当时，，不满足
当时，，满足
当时，，不满足
所以，户居民本月用水量为时，户居民本月交纳的水费为元若户居民本月交纳的水费为元，则户居民本月用水量为．
16.解：因为，
又因为，则为正数，
所以，
因此．
因为，，，当且仅当时，取等号，
又，故有．
所以，当且仅当时取等号．

17.解： 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
所以 ，又因为 ，得 ，所以 ，
设 且 ，则

，
， ， 在 上是增函数
由知 ， 在 上是增函数，
又因为 是定义在 上的奇函数，
由 ，得 ，
，
即 ，解得 ．
故实数 的取值范围是

18.解：Ⅰ当，时，由题意知：，且，解得：．
的定义域为；
Ⅱ当时，，
当，即时，的定义域为，值域为
时，不是“同域函数”．
当，即时，当且仅当时，为“同域函数”．
．
综上所述，的值为．
Ⅲ设的定义域为，值域为．
当时，，此时，，，从而，
不是“同域函数”．
当，即，
设，则的定义域
当，即时，的值域．
若为“同域函数”，则，
从而，，
又，
的取值范围为．
当，即时，的值域．
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立．
综上所述，的取值范围为．
19.证明：令，则有，
，，
因为 是任意的，，由，
得，，
，，；
解：令，由得，
将 代入，
解得 或 ，舍去，
代入，得；
令，则有，
两式相加得，
由的运算结果，代入上式，
得：，
由可知，如果，则有，不可能，
所以，
，
即，即，
又由，
，为偶函数，
，，是奇函数，
解：由于，不等式，
即为：，，
由，，得，
令，则不等式转化为，其中，
，
，当且仅当，即 时等号成立，
所以的最大值为．
综上，的最大值为．
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