2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知是关于的方程的一个虚根，则( )
A. B. C. D.
4.设是锐角，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知点，，动点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.存在函数满足：对任意都有( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. ，为奇函数 B. 当时，单调递增
C. ，使得恰有一个极值点 D. 当时，存在三个零点
10.已知正项等比数列的前项积为，且，，是互不相等的正整数，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则( )
A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上
C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量，，则，则 ______．
13.已知，，，且恒成立，则的取值范围是______．
14.已知函数在上单调递减，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，且．
若，求；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点．
求的方程；
过原点作直线的平行线与椭圆交于，两点，证明：，，，四点共圆，并求该圆的标准方程．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，，分别为，的中点，且平面平面．
证明：；
若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为．
若，，，求的值；
定义数列满足：，，，，，．
证明：数列是一个项数为的对数等和数列；
已知数列是首项为，公比为的等比数列，若，求的值．
19.本小题分
已知函数，且．
当时，证明：为增函数；
若存在两个极值点，．
求的取值范围；
设的极大值为，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由及正弦定理得：，即，
又因为，所以，，
从而．
由余弦定理可知，，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，即，
所以，
当时取等号，即的面积的最大值为．
16.解：，由，得，解得，
代入椭圆方程得，所以，设直线，
联立，消去并整理得，
因为直线与有唯一的公共点，
所以，
整理得，解得，
因此直线的方程为：．
证明：依题意，直线的方程为，联立椭圆可得，
即，即，，，．
设圆的方程为，代入，，，可得：
，解得，
此时圆方程为，
将点代入上述方程，得，
所以点也在此圆上，故，，，四点共圆，
其标准方程为．
17.解：证明：设，，过点作于，
由平面平面，且平面平面，平面，
平面，
平面，；
，分别为，的中点，，．
由底面为正方形可知，
，，平面，
平面，平面，，
为的中点，；
设，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
由可知，点在平面内，设，由，
即，即，
当的体积最大时，，
此时，则，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，取，得．
设平面的法向量为，
则，取，得，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：根据已知可得，又因为，
因此，所以．
证明：根据题意，那么，所以，
因此，所以数列是一个项数为的对数等和数列．
根据题意，，
所以，
所以，所以，所以，
又因为，因此，所以，
那么，所以，，
又因为，
因此．
19.证明：当时，，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，所以为增函数．
解：设，则，
则．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，令，由，且在上单调递增，
故仅有一个零点，不符合题意；
当时，
当时，则，此时，，单调递增，不符合题意；
当时，则，此时存在两个零点，
当时，；当时，，；
当时，，，存在两个极值点，符合题意．
综上可知，．
由可知，且，满足，
故，
设，则，
设，则，
故单调递减，且，则，
即．
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