甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）数学试题（含答案）

甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的实部为( )
A. B. C. D.
3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为，则到左焦点的距离为( )
A. B. C. D. 或
4.已知某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.在平行四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
7.若锐角满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，则下列结论错误的是( )
A. B. 是奇函数
C. D. 的图象关于点对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，则( )
A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的倍
10.设函数的最小正零点为，则( )
A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为
C. 是等比数列 D. 的前项和为
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角角度用弧度制表示例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在正方体中，，则( )
A. 在四面体中，点的曲率为
B. 在四面体中，点的曲率大于
C. 四面体外接球的表面积为
D. 四面体内切球半径的倒数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取个数据，则这个数据不相等的概率为 ．
13.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明月日运动了分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多分钟，则从月日到月的最后一天，小明运动的总时长为 分钟．
14.若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，．
求的长；
设为边上一点，且，求．
16.本小题分
如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．
证明：平面平面．
若，，，求平面与平面夹角锐角的余弦值．
17.本小题分
贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏按个计算的质量单位：克服从正态分布，且从该种植园成熟的贵妃杏中选取了个，它们的质量单位：克为，这个贵妃杏的平均质量恰等于克．
求．
求．
甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取个，若选取的贵妃杏的质量大于克且不大于克，则赠送个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于克，则赠送个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为．
求的方程；
若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率．
19.本小题分
定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数．
已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；
已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；
若函数，证明：“”为三角形函数参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
在中，，
由余弦定理得：．
在中，由正弦定理得，
所以．

16.
因为平面，平面，
所以，
所以点四点共面，
因为平面，平面，
所以，
因为四边形为正方形，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
因为平面，平面，
所以，，
因为四边形为正方形，所以，
以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，故
令，可得，，
故为平面的一个法向量，
因为平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
所以．
所以平面与平面夹角锐角的余弦值为．

17.
；
因为，所以，
所以．
设人获赠贵妃杏的个数为，则．
依题意可得的可能取值为，
，
，
，
，
，
则的分布列为
所以．

18.
设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，
则，
当三点共线且点在线段上时，取得最小值，
则，整理得，解得或，
因为，所以，故的方程为．
设过点的直线．
联立，消元得，则
由，
得
代入韦达定理得：
化简得，
得或．
故的斜率为或．

19.
由，，
得，令，解得．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以．
因为为二次函数，且，所以的对称轴为，
设，
要使“”为三角形函数，只要，
取，则，
，满足，
则，即成立．
故若，取，可使得“”为三角形函数．
答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以
，
当时，，
则任意，故“”为三角形函数．
当时，由，
则，；
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，
所以；
当时，则，
要使“”为三角形函数，由，解得，
则有，
所以；
综上所述，实数的取值范围为．
，．
由知，，
则任意，；
下面证明．
由，，
则，
令，
则，所以在上单调递减．
又，由参考数据可知，，
则存在唯一的实数，使，即
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故，
由式可知，
则，
令，
则，
所以在单调递增，
故．
即．
所以成立，即．
故“”为三角形函数，命题得证．

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