2024 年秋学期高二年级期中考试试卷
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题
1．圆的圆心为（ ）．
A． B． C． D．
2．等比数列中，，公比，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．7 D．
4．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．18 B． C．27 D．
6．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小孟最近给自己制定了一个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A．29天 B．28天 C．27天 D．26天
7．过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点
10．已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
三、填空题
12．已知是双曲线的一个焦点，则 ．
13．已知数列的前项和，则 ．
14．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为 .
四、解答题
15．已知顶点、、．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
17．已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且.
(1)求圆的方程；
(2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程.
①；②.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18．已知数列中．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和；
19．已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点
(1)求的周长；
(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；高二数学中期考试参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D A A C B ABD AC
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.
【详解】由，得，
所以圆心为，
故选：A
2．C
【分析】由等比数列通项公式直接求解即可.
【详解】数列为等比数列，，解得：.
故选：C.
3．A
【分析】利用直线垂直的斜率关系计算即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以，解得．
故选：A
4．D
【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度.
【详解】由已知，，
又，即，
所以，解得，
故的短轴长为，
故选：D.
5．A
【分析】借助双曲线离心率定义计算即可得.
【详解】由题可得实半轴长，所以半焦距，
所以．
故选：A．
6．A
【分析】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设经过n天后他完成健身计划，
则，整理得．因为函数 在上为增函数，且，，
所以．
故选：.
7．C
【分析】根据圆的切线的性质，利用直角三角形求半角的正弦，再由二倍角的余弦公式得解.
【详解】由，得，所以圆心为，半径为，
设切点分别为，连接，如图，
则为两切线的夹角，由于，
所以，
由二倍角公式可得．
故选：C．
8．B
【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.
【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，
所以，
又，故，
故选：B
9．ABD
【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】利用等差数列的性质来解决本题，A、C选项找公差，求，B、D选项把前项和转换为项的值.
【详解】对于A，由，可得，所以，A正确;
对于B，由，得，B错误;
对于C，由，得的公差为，C正确;
对于D， 的值不确定，D错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；
对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；
对于D，圆的方程化为，
其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】化为双曲线的标准方程，再利用关系得到方程，解出即可.
【详解】显然，则双曲线方程为，即，
因为是双曲线的一个焦点，
所以，解得.
故答案为：.
13．
【分析】当时，由，，即可求出的通项.
【详解】当时，即，
当时，，
又也符合上式，
.
故答案为：.
14．
【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度的最小值.
【详解】由题意得直线过定点，
圆圆心为，半径为，在圆内，
当直线与垂直时，弦长最小，
此时，
所以AB长度的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程；
（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.
【详解】（1）由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
17．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程.
（2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程.
【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，
根据点点到直线距离公式：，，
根据勾股定理：，
得圆的方程：
（2）选①：
由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程；
若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式，
因为直线与圆相切，则，解得，
直线的方程为：，
综上所述过点与圆相切的直线的方程为或.
选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为，
则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为
根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由构造得，又，可证数列是等比数列；
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）由，得，即，
又，有，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，则有，
，
，
①-②得
，
，即.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的方程；
【详解】（1）因为曲线E：，
所以，则，
所以，，
故的周长为；
（2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：，
联立，消去，得，
恒成立，
由韦达定理得：，，
因为，，
所以，则，
从而有，
消去，得，即，
所以直线AB的方程为；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
