九年级数学上点拨与精练第24章圆第24章 阶段性方法训练 圆中常见计算题的计算技巧

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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
第24章 阶段性方法训练 圆中常见计算题的计算技巧
老师告诉你
与圆有关的计算题主要涉及圆与其他几何图形的结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量；利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等，其中涉及面积的计算，常采用“作差法、等积法、平移法、割补法”等，涉及实际问题，常采用建模思想来进行计算。
类型一 角度的计算
1．学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题．
【用数学的眼光观察】
（1）将下列解题过程补充完整．
例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作．
因为，，
所以C，D两点都在上．
因为，
所以__________°．
【用数学的思维思考】
（2）如图②，在四边形中，，，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
2．在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题．
例：如图①，在中，，，点D是外一点，且．求的度数．
（将下列解题过程补充完整）
图①
（1）解：以点A为圆心，长为半径作
，，
C，D两点都在上
，，
______（______）
【初步应用】
（2）如图②，在四边形中，，，求的度数．
图②
【方法迁移】
（3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
图③
3．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
(1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
(2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
类型二 弧长的计算
4．如图，在中，以点为圆心，长为半径作，分别交，于点，，的延长线交于点，连接，，已知是的切线．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
5．如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求弧的长．
6．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
类型三 面积的计算
技巧1.利用作差法求面积
7．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．

8．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
技巧2.利用等积法求面积
9．如图，直径为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转，使到达的位置，求图中阴影部分的周长和面积．

10．如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
11．如图，是的直径，点在上，且，过点作，垂足为．
(1)填空：______度；
(2)求的长；
(3)若的延长线交于点，求弦和围成的图形（阴影部分）的面积．
技巧3.利用平移法求面积
12．如图，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD．则阴影部分的面积为 cm2（结果保留准确数）
13．如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．

(1)求证：；
(2)求阴影部分的面积；
(3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线．
技巧4.利用割补法求面积
14．如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
15．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
类型四 实际应用中的计算
应用1.利用垂径定理解决水位问题
16．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
应用2.利用圆周角定理解决航行中的视角问题
18 ．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．
试题分析
（Ⅰ）如图1，在中，，，D是外一点，且．求的度数．
小朋：我发现试题中有三个等腰三角形，设，易知，又因为AD，得，即可算出的度数．
小丽：我发现．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心，线段AB长为半径的图上……
猜想证明
（Ⅱ）如图1，在中，，，点D、A在BC同侧．
猜想：若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点A为圆心，AB长为半径出圆．根据点与圆的位置关系，可以知道点D可能在内，或点D在上，或点D在外．故，只要证明点D不在内，也不在外，就可以确定点D一定在上．
（Ⅲ）进一步猜想：
如图2，在中，，，点D、A在BC同侧．若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．
(1)完成（Ⅰ）中的求解过程：
(2)补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）______；（Ⅲ）______；
(3)证明上面（Ⅲ）中的猜想：
(4)如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，，点A处为投影机，投影角，折线B—O—C为影像接收区．若影像接收区最大时（即最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长______．
图3
19．【问题提出】
（1）如图①，在中，为边的中点，画出关于点中心对称的图形（点的对应点记为）．若，求四边形周长的最大值．
【问题解决】
（2）如图②，某景区有一段笔直的湖域，有一处喷泉（点）在这个湖域中，景区在现有资金条件下，准备修建一条长150米的直通道，在通道的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观察游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观察到湖域的边界点，的正中间，求摄像头能观察区域的最大面积．
应用3.利用直线与圆的位置关系解决范围问题
20 ．综合与实践
【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点，连接、，请你比较与的大小，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图4，某球员在球场底线点处接到球后，沿射线方向带球跑动，，球门宽为8米，米，若该球员在射线上的点处射门角度最大，即最大，试求出此时的长度．
21．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
应用4.利用弧长公式解决滑轮问题
22．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到）
应用5.利用圆锥的侧面展开图解决材料最省问题
23．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
24．小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）．
(1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．
(2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：）
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
第24章 阶段性方法训练 圆中常见计算题的计算技巧
老师告诉你
与圆有关的计算题主要涉及圆与其他几何图形的结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量；利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等，其中涉及面积的计算，常采用“作差法、等积法、平移法、割补法”等，涉及实际问题，常采用建模思想来进行计算。
类型一 角度的计算
1．学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题．
【用数学的眼光观察】
（1）将下列解题过程补充完整．
例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作．
因为，，
所以C，D两点都在上．
因为，
所以__________°．
【用数学的思维思考】
（2）如图②，在四边形中，，，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）45；（2）；（3）见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，再根据圆周角定理进行求解即可；
（3）根据尺规作图画图即可．
【详解】解：（1）解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作．
因为，，
所以C，D两点都在上．
因为，
所以．
（2）
四点在以为直径的圆上，以为直径作出，
，
；
（3）①作出线段的垂直平分线，
②以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，得等边三角形
③以为圆心，为半径画，于直线交于两点，
则这两点为所有符合条件的点．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键．
2．在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题．
例：如图①，在中，，，点D是外一点，且．求的度数．
（将下列解题过程补充完整）
图①
（1）解：以点A为圆心，长为半径作
，，
C，D两点都在上
，，
______（______）
【初步应用】
（2）如图②，在四边形中，，，求的度数．
图②
【方法迁移】
（3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
图③
【答案】，一条弧所对的圆周角是圆心角的一半；；见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，再根据圆周角定理进行求解即可；
（3）根据尺规作图画图即可．
【详解】解：（1）以点A为圆心，长为半径作
，，
C，D两点都在上
，，
______（___一条弧所对的圆周角是圆心角的一半___）；
（2）
四点在以为直径的圆上，以为直径作出，
，
；
（3）①作出线段的垂直平分线，
②以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，得等边三角形
③以为圆心，为半径画，于直线交于两点，
则这两点为所有符合条件的点．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键．
3．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
(1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
(2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果；
（2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出；
本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识．
【详解】（1）解：连接．
，
．
∵点C是的中点，
．
．
∵AB是的直径，
．
．
．
（2）解：连接．
∵点D是半圆的中点，
．
．
，
．
，
．
，，
．
是等边三角形．
．
．
∵切于点C，
．即．
．
．
．
．
．
在中，．
类型二 弧长的计算
4．如图，在中，以点为圆心，长为半径作，分别交，于点，，的延长线交于点，连接，，已知是的切线．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和弧长公式．
（1）连接，如图，根据切线的性质得到，再证明，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）由得到，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明，则利用得到，然后求出的度数后用弧长公式计算．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
四边形为平行四边形，
∴，
，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴的长度．
5．如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算；
（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到，结合三角形内角和可得结论；
（2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，又，
在和中，
，，
；
（2）解：连接，
，
，
为直径，
，
，
，
，
∴的长=．
6．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由等边对等角得到，，再由三角形内角和定理得到，，则由平角的定义可得，据此可证明是的切线；
（2）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，则，证明四边形为矩形，得到，则，据此根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接,
，
，
，
，
，
∴，
，
，
又是的半径，
是的切线：
（2）解：如图，连接．
为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
，
四边形为矩形，
，
，
的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。
类型三 面积的计算
技巧1.利用作差法求面积
7．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．

【答案】/
【分析】连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接，．

在中，，，
，
∴，则，
∵是直径，
∴，
，
∵O是的中点，
∴是的中线，
∴，
，
故答案为．
8．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
技巧2.利用等积法求面积
9．如图，直径为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转，使到达的位置，求图中阴影部分的周长和面积．

【答案】（厘米）；（平方厘米）
【分析】本题主要考查了圆与旋转．熟练掌握旋转性质，弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键．
观察图形可知，这个阴影部分的周长等于直径3厘米圆的周长与半径3厘米，圆心角60度的弧长之和，据此根据圆的周长及弧长公式计算即可解答；根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积，即求阴影部分的面积就等于求扇形的面积．
【详解】解：阴影部分的周长是2个半圆的弧加以为半径的圆弧，
∴（厘米）；
阴影部分面积是以为半径的扇形面积，
∴（平方厘米）．
10．如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，根据角平分线的性质可得，结合即可求证；
（2）连接，在中根据含角的直角三角形的性质可得的值，可求出的半径，直径，是等边三角形，图形结合，根据不规则图形面积，扇形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
半径于点，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
在中，，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的证明方法，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，掌握以上知识的综合，图形结合分析是解题的关键．
11．如图，是的直径，点在上，且，过点作，垂足为．
(1)填空：______度；
(2)求的长；
(3)若的延长线交于点，求弦和围成的图形（阴影部分）的面积．
【答案】(1)30
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理求得，；即可求出；
（2）由求出，判断出是的中位线，就可得出的长；
（3）连接，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
本题考查了扇形的面积计算、含角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．
【详解】（1），，
，
是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2），，，
，
，
∴
又点是中点，
是的中位线，
．
（3）连接，
，
，
，，
，
，
，
故阴影部分的面积扇形的面积，
．
即可得阴影部分的面积为．
技巧3.利用平移法求面积
12．如图，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD．则阴影部分的面积为 cm2（结果保留准确数）
【答案】4π
【详解】分析：将两个圆变为同心圆．做OM⊥AB于M，连接OB、OF，构造直角三角形，利用所构造的两个三角形有公共边OM，可找到两个半圆的半径平方差与已知条件之间的关系：OB2-OF2=OM2+32-（OM2+12〕=8，阴影部分的面积是两个半圆的面积差．代入数据求解即可．
详解：如图将两个圆变为同心圆．
做OM⊥AB于M，连接OB、OF，
则MF=EF=1，BM=AB=3，
S阴影=πOB2-πOF2，
=π（OB2-OF2），
=π[OM2+32-（OM2+12）]，
=4π（cm2）．
点睛：本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．如通过观察可知阴影部分的面积正好等于两个半圆的面积差，根据条件可求出两个半圆的半径的平方差，整体代入即可求得阴影部分的面积．
13．如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．

(1)求证：；
(2)求阴影部分的面积；
(3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）证明，即可得到，从而即可得证；
（2）由可得阴影部分的面积，代入数据进行计算即可得到答案；
（3）由切线的性质可得，设交小半圆于，连接，由直角三角形的性质可得，从而推出是等边三角形，得到，，再由等腰三角形的性质及三角形外角的定义及性质可得，过点作于点，由角平分线的性质可得，由此即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，
阴影部分的面积；
（3）解：切小半圆于A，
，
如图，设交小半圆于，连接，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
也是小半圆的切线．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算、切线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
技巧4.利用割补法求面积
14．如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，

由（1）知：，，
∴．
15．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线．
（2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x．
（3）根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵，，
∴，，
∵，都是的切线，
∴设，则，
∴在中
，即，
解得，
∴．
（3）在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴
【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识．
类型四 实际应用中的计算
应用1.利用垂径定理解决水位问题
16．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
【答案】米
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解．
【详解】解：连接，交于点D，如图，
即，
∵点C为运行轨道的最低点，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故点C到弦所在直线的距离是米．
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
【答案】(1)桥拱的半径是10米；
(2)水面涨高了2米．
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，半径，，
设桥拱的半径是米，
，
（米，
拱高为4米，
米，
，
，
，
桥拱的半径是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面涨高了2米．
应用2.利用圆周角定理解决航行中的视角问题
18 ．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．
试题分析
（Ⅰ）如图1，在中，，，D是外一点，且．求的度数．
小朋：我发现试题中有三个等腰三角形，设，易知，又因为AD，得，即可算出的度数．
小丽：我发现．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心，线段AB长为半径的图上……
猜想证明
（Ⅱ）如图1，在中，，，点D、A在BC同侧．
猜想：若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点A为圆心，AB长为半径出圆．根据点与圆的位置关系，可以知道点D可能在内，或点D在上，或点D在外．故，只要证明点D不在内，也不在外，就可以确定点D一定在上．
（Ⅲ）进一步猜想：
如图2，在中，，，点D、A在BC同侧．若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．
(1)完成（Ⅰ）中的求解过程：
(2)补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）______；（Ⅲ）______；
(3)证明上面（Ⅲ）中的猜想：
(4)如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，，点A处为投影机，投影角，折线B—O—C为影像接收区．若影像接收区最大时（即最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长______．
图3
【答案】(1)见解析
(2)45°；
(3)见解析
(4)10
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理证明即可；
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）根据题意分情况讨论，根据三角形的外角的性质即可判断的位置；
（4）过点作，过作，交于点，交于点，以为圆心为半径，作，首先根据当时，影像接收区最大，根据（3）的结论可得在上，进而勾股定理解即可求解．
【详解】（1）解：小朋：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
小丽：如图，
．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心，线段AB长为半径的图上,
，
；
（2）由（1）可得，
在中，，，点D、A在BC同侧．
若45°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．同理在中，，，点D、A在BC同侧．若，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
故答案为：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）；
（3）证明：若点D在外，如图1，
∵点E在上
∴
又∵，且
∴点D在外不成立
若点D在内，如图2，
∵点E在上，
∴，
又∵，且，
∴点D在内不成立，
综上所述：点D在上．
（4），当时成立，
设，
如图，过点作，过作，交于点，交于点，以为圆心为半径，作，
四边形是矩形
四边形是正方形，
设，
，，
由（3）可得在上，
，
根据题意可得，
中，，
，
解得或（不合题意，舍去），
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
19．【问题提出】
（1）如图①，在中，为边的中点，画出关于点中心对称的图形（点的对应点记为）．若，求四边形周长的最大值．
【问题解决】
（2）如图②，某景区有一段笔直的湖域，有一处喷泉（点）在这个湖域中，景区在现有资金条件下，准备修建一条长150米的直通道，在通道的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观察游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观察到湖域的边界点，的正中间，求摄像头能观察区域的最大面积．
【答案】（1）；（2）平方米
【分析】（1）延长到点，使，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质得到，由圆周角定理及其推论，在中，结合含直角三角形性质及勾股定理得到，最后由中心对称性质得到答案；
（2）延长到点，使米，连接，如图所示，得到四边形是平行四边形，进而得到，分析当点A与点重合时，的面积最大，得到，再由三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）延长到点，使，连接，如图所示：
，
，
为等边三角形，
．
设三点共，连接并延长，交于点，连接，，
．
是的直径，
．
在中，，，则，由勾股定理可得，
．
由中心对称的性质得，
∴四边形ABCD周长的最大值为；
（2）延长到点，使米，连接，如图所示：
则四边形是平行四边形，
．
，
，
设三点共连接．
米，，
米．
连接，则，延长交于点，连接，当点A与点重合时，的面积最大，此时米，
的最大面积为平方米，
摄像头能观察区域的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及等边三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、含的直角三角形性质、勾股定理、中心对称性质、平行四边形判定与性质、三角形的面积公式、动点最值问题等知识，熟练掌握相关几何性质及动点最值问题的解法是解决问题的关键．
应用3.利用直线与圆的位置关系解决范围问题
20 ．综合与实践
【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点，连接、，请你比较与的大小，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图4，某球员在球场底线点处接到球后，沿射线方向带球跑动，，球门宽为8米，米，若该球员在射线上的点处射门角度最大，即最大，试求出此时的长度．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）．
【分析】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质：
（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可；
（2）设与交于点，连接，同（1）即可得出结论；
（3）由（2）可得，当经过的与相切时，最大，过点作交于点，延长交于点，先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设的半径，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
，
；
故答案为：，．
（2），理由如下：
如图所示，设与交于点，连接，由同弧所对的圆周角相等得出
，
是的外角，
．
（3）如图所示，由（2）可得，当经过的与相切时，最大，
过点作交于点，延长交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
设的半径，
，
，
解得：，或（舍去），
．
21．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
【答案】（1）见解析
（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米
（3）
【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想；
（2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题；
（3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，
，
，
视角最大，站在此处观赏最理想．
（2）连接，，，，作于点，
由题知，米，，
，
，
为等边三角形，
米，
，
米，
，
四边形为矩形，
米，
米，
距地面的距离为（米)，
即点C距地面的距离为1.2米．
（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，
米，
，，
米，
米，
由（2）同理可知，四边形为矩形，
米，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．
应用4.利用弧长公式解决滑轮问题
22．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到）
【答案】旋转了约
【分析】根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数．
【详解】解：∵半径为5cm，重物上升了10cm，
根据，
解得n≈115°．
答：滑轮上某一点P旋转了约．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式．
应用5.利用圆锥的侧面展开图解决材料最省问题
23．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
24．小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）．
(1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．
(2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)方案二
【分析】（1）根据题意利用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，即可得到本题答案；
（2）过点作，利用矩形性质及（1）中结论可知，再利用含角的直角三角形三边关系求得，继而求出方案一所需的矩形铁皮的面积，同法可得方案二所需的矩形铁皮的面积，再比较大小即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为，
∵底面半径为，高为的锥形漏斗，
∴圆锥的母线长为：，
∴，解得：，
即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为；
（2）解：如图，过点作，
四边形是矩形，由（1）知，
．
由（1）可得；，
在中，
，
，
，
，
方案一所需的矩形铁皮的面积；
如图，，
，
在中，
，
，
，
方案二所需的矩形铁皮的面积，
，
方案二所用的矩形铁皮面积较少．
【点睛】本题考查含角的直角三角形三边关系，矩形性质，弧长公式，勾股定理，圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
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