九年级数学上点拨与精练第24章圆 综合质量检测卷（原卷版+解析版）

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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆 综合质量检测卷
考试范围：24章；考试时间：120分钟；满分120分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．三角形外心到三边距离相等
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
3．用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将三块完全相同的等腰直角三角板的一个锐角顶点都放在点处，再使其各有一条直角边恰好在的边上，此时点是（ ）

A．的外心 B．的内心
C．的重心 D．的垂心
5．如图是一个弓形暗礁区，灯塔A，灯塔B，点C分别在圆周上，现在船只正在安全区航行，若此时，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
6．云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
7．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
8．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，则 .
12．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ．
13．如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则
14．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
15．工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为 cm．
三、解答题（共8小题。共75分。）
16．（8分）在 中，①是直径；②，垂足为；③；④；⑤．
请从上述五个命题中选出两个作为已知条件，三个作为结论并证明．
(1)已知： ，求证： ．
(2)证明：
17．（8分）如图，，为⊙O直径，弦，分别交半径，于点G，H，且 ．
(1)求证： ．
(2)若，且，求的度数．
18．（10分）利用素材解决：《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
方案一 方案二
圆弧型 抛物线型
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
19．（8分）在等腰中，，过A，B两点的⊙O交射线于点D．
（1）如图1，已知，若点O在上，过点D作⊙O的切线交射线于点E，求的度数．
（2）如图2，已知．与交于点F，过点D作，交射线于点E．求证：是⊙O的切线．
20．（9分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？
任务：
(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；
(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；
(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．
21．（8分）已知四边形内接于，．
(1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长；
(2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长．
22．（12分）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
23．（12分）综合与实践
问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形．
猜想证明：
(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________．
(2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究：
(3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由．
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆 综合质量检测卷
考试范围：24章；考试时间：120分钟；满分120分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案．
【详解】解：∵点A、B、C在上，，
∴，
故选：D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．三角形外心到三边距离相等
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
【答案】D
【分析】根据圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形外心到三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件．熟练掌握这些数学概念的解题的关键．
3．用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明：“若的周长为16，则较长边的长不小于4”，
则应先假设，
故选：C．
4．如图，将三块完全相同的等腰直角三角板的一个锐角顶点都放在点处，再使其各有一条直角边恰好在的边上，此时点是（ ）

A．的外心 B．的内心
C．的重心 D．的垂心
【答案】B
【分析】本题考查三角形内接圆，三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等，由点M到的距离相等，从而确定点M是的内心．
【详解】解：根据题意可得：点M到的距离相等，都为等腰直角三角形的腰长，
点M是的内心．
故选：B．
5．如图是一个弓形暗礁区，灯塔A，灯塔B，点C分别在圆周上，现在船只正在安全区航行，若此时，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，设与圆相交于D，连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，设与圆相交于D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴选项A符合题意，
故选：A．
6．云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理，
首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长．
【详解】∵母线长为，高度为，
∴底面圆的半径为，
∴底面圆的周长为，
∴这个圆锥的侧面展开图的弧长等于．
故选：D．
7．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
如图所示，连接，，，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可．
【详解】如图所示，连接，，，
∵，是的切线
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
设步，则步，步，
∵，，是的切线
∴步，步，
∵步，
∴
∴
∴．
故选：B．
8．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答．
【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图，
则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，
∵点E为中点，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点F为弧上一动点，
∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值．
∴的最小值为．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，连接由点A的坐标可求出由得，由是的切线知，由勾股定理得，因为所以当最小时最小，即时最小，运用等积法求出，代入可得结论．
【详解】解：连接如图，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
∵是的切线，
∴，
∴
∵，
∴当最小时最小，即时最小，
∵
，
又
∴，
∴，
故选：C
10．如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】B
【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为．
故Ⅰ错误；
∵垂直平分，
∴点D与点B关于对称，
∴，
当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，
∴阴影部分的周长的最小值为，
∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
故Ⅱ正确；
故选：B
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，则 .
【答案】55
【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握掌握一条弧所对的圆心角是圆周角的倍是解题的关键．
【详解】解：由圆周角定理知，，
解得．
故答案为：．
12．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，进而根据点到圆的最小距离为，即可求解．
【详解】解：∵切于点 ，
∴，
在中，
∴
∴点到的最小距离是，
故答案为：．
13．如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则
【答案】8
【分析】本题考查了正方形的性质，内切圆的性质，根据正方形内切圆半径为2，得出，结合，再代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵正方形内切圆半径为2
∴
∵四边形是正方形
∴
则
故答案为：8
14．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明，再求出，根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵D是的中点，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
故答案为：
15．工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为 cm．
【答案】
【分析】如图，切三角板的斜边于点，连接、，利用邻补角计算出，再根据切线长定理和切线的性质得到平分，，所以，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到圆的直径．
【详解】解：如图，切三角板的斜边于点，连接、，则，
与三角板和直尺相切，
平分，，
，，
在中，
，
cm，
该圆木的直径为cm．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键．
三、解答题（共8小题。共75分。）
16．（8分）在 中，①是直径；②，垂足为；③；④；⑤．
请从上述五个命题中选出两个作为已知条件，三个作为结论并证明．
(1)已知： ，求证： ．
(2)证明：
【答案】(1)①②；③④⑤
(2)证明过程见详解
【分析】（1）已知，① 是直径 ；② ，垂足为，求证③ ；④；⑤ ，是证明垂径定理的性质；
（2）如图所示（见详解），连接，可得等腰直角三角形，，由三角形全等即可求证．
【详解】（1）解：根据是直径 ，，垂足为，可证明；；成立，是垂径定理的性质，
∴已知是直径 ，，垂足为，求证；；．
（2）解：如图所示，
是直径 ，，垂足为，连接，，
∵，是半径，，
∴，，，
∴，
∴；
∵，
∴，则，
∴，，同圆中，等角所对的弧相等．
【点睛】本题主要考查圆的垂径定理的性质的证明，掌握圆中直径、半径、弦的位置关系，圆心角与所对弧的关系是解题的关键．
17．（8分）如图，，为⊙O直径，弦，分别交半径，于点G，H，且 ．
(1)求证： ．
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)108°
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，根据直角三角形的性质得到，根据弧、圆周角关系得出，进而得到，则，根据弧、弦的关系即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理推出，根据弧、圆周角的关系得出，即，求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为⊙O直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠FBA＝∠EDC，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2））解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为⊙O直径，
∴度数之和为：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴的度数为108°．
【点睛】本题考查圆周角定理，等弧，等弦，等角．熟练掌握圆周角定理，以及等弧，等弦，等角是解题的关键．同时考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．
18．（10分）利用素材解决：《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
方案一 方案二
圆弧型 抛物线型
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
【答案】任务一：方案一，米；方案二，
任务二：方案一，能通过；方案二，不能通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．任务一：方案一，设圆的半径为米，根据即可求解；方案二，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；任务二：方案一，根据即可判断；方案二，当H点的横坐标时，计算其纵坐标即可判断．
【详解】解：任务一
方案一，设圆的半径为米，
在中，，
（米）
方案二，∵顶点C坐标为，
设桥拱的函数解析式为
代入得，．
函数解析式为．
任务二
方案一，如图，由上得，
在中，
．
能通过
方案二，如图建立直角坐标系，
当H点的横坐标时，，
不能通过．
19．（8分）在等腰中，，过A，B两点的⊙O交射线于点D．
（1）如图1，已知，若点O在上，过点D作⊙O的切线交射线于点E，求的度数．
（2）如图2，已知．与交于点F，过点D作，交射线于点E．求证：是⊙O的切线．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析
【分析】（1）利用半径相等以及等边对等角求得，利用切线的性质求得，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）利用圆周角定理求得，利用平行线的性质求得，即可证明是⊙O的切线．
【详解】（1）连接，，
∵，，
∴∠ABC=∠ACB=，∠ABO=∠BAO=，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
在中，；
（2）连接，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（9分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？
任务：
(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；
(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；
(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．
【答案】(1)直径所对的圆周角是直角；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据作图，结合直径所对的圆周角是直角即可作答；
（2）根据作图，证明是线段的垂直平分线即可作答；
（3）连接、，先求出，，即有，即可得半径，根据弧长公式，问题得解．
【详解】（1）解：根据作图可知：线段是的直径，
即，即有，
则是的高线，
故作法依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角；
（2）连接，，如图
由作图过程可知：，，
∴点B，点C都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，即，
∴是的高线；
（3）连接、，如图，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴半径，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，求解弧长以及垂直平分线的判定与性质等知识，掌握圆周角定理是解答本题的关键．
21．（8分）已知四边形内接于，．
(1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长；
(2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长．
【答案】(1)
(2)AC
【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图2，连接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分线的定义得到，则可证明，求出，由勾股定理可得． 再证明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，据此可得答案．
【详解】（1）解：，
是直径，
∵的半径为6，
．
在中，由勾股定理，得，
∵
∴，
；
（2）解：如图2，连接，作于H，
，，，
．
平分，
，
，
．
四边形内接于，，
，
在中，由根据勾股定理，得，
∴，
∴．
，
∴是等腰直角三角形，
同理可得．
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
22．（12分）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【答案】(1)
(2)7
(3)①；②的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到；
（3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形
∴
∵四边形内接于
∴；
（2）如图所示，延长到点F使，
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
∴；
（3）①由（2）可得，
∵点P在劣弧上运动
∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度
∵是等边三角形
∴
∴的最小值为
∴的最小值为；
当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示，
∴此时是的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，负值舍去
∴的最大值为8
∴的最大值为8；
∴的值的取值范围是；
②如图所示，延长到点F使，过点A作
由（2）得，是等边三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
．
∴的值是定值96．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形．
23．（12分）综合与实践
问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形．
猜想证明：
(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________．
(2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究：
(3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由．
【答案】(1)或；
(2)是，证明见详解；
(3)，理由见详解．
【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；
（2）根据对余四边形的定义，由圆周角定理得出，说明即可；
（3）将绕着点B逆时针旋转得到，连接，利用已知条件得出，利用勾股定理可得结论．
【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形，
或
时，．
∴或．
故答案为或．
（2）
证明：是的直径，点A，B，C在上，
．
即．
∴四边形是对余四边形．
（3）猜想：线段和之间的数量关系为：．理由如下：
，
∴将绕着点B逆时针旋转得到，连接，如图，

则，．
．
为等边三角形．
．
，
．
∴∠BFA+∠ADB=30°．
，
．
．
．
．
．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．
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