河北省邯郸市部分校2025届高三上学期月考（一）数学试卷（含答案）

河北省邯郸市部分校2025届高三上学期月考（一）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某地有个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为，，，，，，，，则这组数据的百分位数为的快递个数为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知圆：与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.冬奥会会徽以汉字“冬”如图甲为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象新梦想某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用，，，，，等特殊角度为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求该同学取端点绘制了如图乙，测得，若点恰好在边上，请帮忙计算的值( )
A. B. C. D.
6.年月日，杭州第届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊名火炬手分五棒完成若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知是三角形的一个内角，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，则( )
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
10.已知函数的部分图象如图所示则( )
A. 的图象关于中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
11.定义在上的函数满足，，若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是( )
A. 为的一个周期 B.
C. 若，则 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，，则的最小值为 ．
13.甲乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则 ．
14.已知实数，满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在区间上的最值
若直线是曲线的一条切线，求的值．
16.本小题分
“村”后，贵州“村超”又火出圈所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江三宝侗寨和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”“村超”的民族风乡土味欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男女同学各名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
附：．
根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
社团指导老师从喜欢足球
学生中抽取了名男生和名女生示范定点射门据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求人进球总次数的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成．

证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线，为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，在轴两侧，与分别交轴于，．
若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
19.本小题分
已知有穷数列：，，，中的每一项都是不大于的正整数对于满足的整数，令集合记集合中元素的个数为约定空集的元素个数为．
Ⅰ若：，，，，，，，，求及；
Ⅱ若，求证：，，，互不相同；
Ⅲ已知，，若对任意的正整数，都有或，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：当时，，
导函数，
即，
令，解得
，解得或，
所以当时，单调递减
当时，单调递增，
所以当时，，
又因为，，
所以；
导函数，
设直线与曲线相切于点，
则
消去得，
解得，
代入，
解得．
16.
依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关．
依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期．

17.
分别取的中点，连接，
由题意可知多面体的棱长全相等，且四边形为正方形，
所以，
因为平面，
所以平面，同理平面．
又平面平面，所以四点共面．
又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面．
以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则，
所以．
设平面的一个法向量为，则，即
令，则，所以．
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．

18.解：由题意可知：的斜率一定存在，
故设，，，直线，
联立可得，．
，在轴两侧，，，，
，，
又因为，故可得抛物线在点处的切线的斜率为，
点处的切线方程为，
同理点处的切线方程为，
由可得
又在直线上，，．
直线过定点．
由可得，在曲线上，
，
由可知，，，
，
，
令，，在单调递增，
，，四边形的面积的范围为
19.解：Ⅰ由题设知，
，；
Ⅱ证明：依题意，
则有，
因此，
又因为，
所以，
所以，，，互不相同；
Ⅲ根据题意可知，，
由或，
知或，
令，可得或，
对于，，，成立，
所以或，
当时，或．
当时，
由或，有，
同理，
所以．
当时，此时有，
令，，
可得或，
即或，
令，，
可得或．
令，，
可得，所以．
若，则令，，
可得与矛盾，
所以有，
不妨设，
令，，
可得，因此，
令，，则或，
故，
所以；
当时，，
所以，
综上，时，，
时，，
时，．
第1页，共1页