河北省邯郸市部分校2025届高三上学期月考（二）数学试卷（含答案）

河北省邯郸市部分校2025届高三上学期月考（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数( )
A. B. C. D. 或或
2.已知复数其中是虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知个数据的平均数为，中位数为，方差为若将这个数据均增加得到一组新数据，则下列关于这组新数据与原来的数据不变的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 第百分位数 D. 方差
4.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
5.记，设，为平面内的非零向量，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于、两点．若为靠近点的的三等分点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，点在线段上，且，则当三棱锥的体积最小时，线段的长度为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形记的内角、、的对边分别为、、，的面积，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的周期函数
B.
C. 函数的图象与函数的图象有两个交点
D. 当时，
10.已知函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列选项正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D. 函数在上没有零点
11.已知数列满足，则下列选项正确的是( )
A. ，是公差为的等差数列
B. ，是常数数列
C.
D. 若数列满足，则数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于、两点，若，则该椭圆的离心率为 ．
13.在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为 ．
14.已知实数、满足，则___ 在“”、“”中选一个填在横线处
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线过点，求实数的值；
若在内有两个不同极值点，求实数的 取值范围．
16.本小题分
某地元宵节举行了灯展活动，为了解观众对该活动的观感情况“一般”或“激动”，现从该活动现场的观众中随机抽取名，得到下表：
一般 激动 合计
男性
女性
合计
补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为观众对该活动的观感程度与性别有关？
该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有个红球、个白球和个黑球形状、大小、质地完全相同的抽奖箱里一次性摸出个球，若摸出个红球，则可获得元现金的返现；若摸出个红球，则可获得元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
如图，三棱柱中，平面，，过侧棱的平面交线段于点不与端点重合，交线段于点．
求证：
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的 左、右顶点分别为，离心率为过点的直线与的右支交于、两点，设直线的斜率分别为．
若，求：；
证明：为定值．
19.本小题分
规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个进制形式的数，且．
已知，试将表示成进制的简记形式；
若常数满足且，，求；
若数列满足，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
由题意得，，且定义域为．
则在处的切线方程为．
则，即．
设，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
又，且在上单调递减，所以．
由知，．
令，得有两个不同的解．
令，所以，
即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．
因为时，最小，且为，
且时，，
所以．

16.
补全的列联表如下：
一般 激动 合计
男性
女性
合计
零假设为观众对该活动的观感程度与性别没有关系．
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立．
因此我们可以认为成立，即认为观众对该活动的观感程度与性别无关．
设一次摸球摸出个红球的事件为，摸出个红球的事件为，没摸出红球的事件为，
则．
由题意，可取，，，，．
，
，
．
所以的分布列为：
．

17.
在三棱柱中，平面平面，
所以平面．
又平面平面平面，所以．
而平面平面，平面平面，平面平面，
所以．
所以四边形为平行四边形．所以．
在平面内过点作，
因为平面，平面，所以，．
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
建立如图所示的 空间直角坐标系．
因为，
所以，
．
因为，
所以，
．
设平面的一个法向量为，
则
令，得，，
所以为平面的一个法向量．
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.
设双曲线的焦距为，由题意得，，所以．
因为，所以，所以的标准方程为．
直线，由消去化简并整理得，
解得或舍，所以．
又直线过点，所以直线的方程为，所以．
设，则．
因为，所以．
设直线，由消去化简并整理得．
设，则
故
．
所以为定值．

19.
由题意，，
则．
因为，
．
证明：由题意，可求得．
，知是周期为的数列．
则
．
即．

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