河北省邯郸市联考2025届高三上学期高考单科模拟综合卷（三）（10月）数学试题（含答案）

河北省邯郸市联考2025届高三上学期高考单科模拟综合卷（三）
数学试题（10月）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
4.设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：
若，且，则；
若，，，则；
若，且，则；
若，，，则．
则正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知甲、乙、丙等人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知、分别是中心在原点的双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过点，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据
满足以下条件：
甲球员：个数据的中位数是，众数是；
乙球员：个数据的中位数是，平均数是；
丙球员：个数据有个是，平均数是，方差是；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是( )
A. 甲球员连续场比赛得分都不低于分
B. 乙球员连续场比赛得分都不低于分
C. 丙球员连续场比赛得分都不低于分
D. 丙球员连续场比赛得分的第百分位数大于
10.已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点且靠近点，，与交于点设三角形的面积为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
11.如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是棱的中点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C. 若，则的最大值为
D. 平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，则 ．
13.已知抛物线，过点的直线交于、两点，为坐标原点，且，则 ．
14.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
若，，求的面积；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程；
若，时，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知在三棱柱中，，，，，．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，点、为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为．
求椭圆的标准方程；
若斜率不为的直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于点、求证：、两点的纵坐标之积为定值．
19.本小题分
设正整数的个正因数分别为，且．
当时，若正整数的个正因数构成等比数列，请写出的最小值；
当时，若，且构成等比数列，求正整数；
记，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为，所以，由题意可得，即，，
又，即，
解得，
所以．
由，得，得，
所以，所以，
所以．
16.解：
，，
，，
所以的图象在点处的切线方程为，即
，则，
当时，，即在上单调递增．
当时，，与题意不符．
当时，，，在上单调递增；
，，在上单调递减．
当时，取得最大值，且为．
由题意可得，解得．
即实数的取值范围为．

17.解：
设的中点为，连接、．
因为，所以．
又因为，且，所以．
因为、平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
在中，由余弦定理得，，即，
解得或舍．
在和中，可知，．
在中，，因此．
又，且、平面，且，所以平面．
又平面，所以平面平面．
以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则．
令，得．
设平面的一个法向量为，
则．
令，得
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：
因为点，为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
又，所以．
所以，由椭圆定义与勾股定理知
所以，所以，所以．
又，解得．
所以，故椭圆的标准方程为．
因为，所以可设直线的方程为．
联立方程组，消去化简并整理得．
设，，可得，．
因为，所以直线的方程为．
设点、的纵坐标分别为，，令，可得，同理可得．
所以
．
所以、两点的纵坐标之积为定值．

19.解：
当时，正整数的个正因数构成等比数列，
设等比数列的公比为，可得，可得，
由，可得且，
则时，取得最小值为，
，，，，为的所有正因数，符合题意，
即的最小值为．
由题意可知，，，．
因为，依题意可知，所以．
化简可得，所以．
，
所以，解得或舍去，
所以，
累加得，
所以．
由题意知，
所以．
因为，
所以
．
因为，，所以，
所以，即．

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