广西钦州市2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷（含答案）

广西钦州市2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
3.若向量，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.在四棱锥中，“”是“平面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. ( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若数列、满足，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.广西壮族自治区有个市区的面积大于万平有千米，这个市区为南宁市平方千米、柳州市平方千米，桂林市平方千米，百色市平方千米，河池市平方千米，来宾市平方千米，崇左市平方千米，这个市区的面积构成一组数据，则( )
A. 这组数据的极差为平方千米
B. 这组数据的中位数对应的市区为桂林市
C. 这组数据的第百分位数对应的市区为柳州市
D. 这组数据中，大于万平方千米的频率为
10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角角度用弧度制表示例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在正方体中，，则( )
A. 在四面体中，点的曲率为
B. 在四面体中，点的曲率大于
C. 四面体外接球的表面积为
D. 四面体内切球半径的倒数为
11.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线轴对称
D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.的展开式中，各项系数之和为 ，项的系数为 ．
14.两条都与轴平行的直线之间的距离为，它们与抛物线和圆分别交于点，和，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）在中，，，分别是内角，，的对边，且，．
求；
求的最小值．
16.（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形．
证明：平面．
若，，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.（15分）已知函数．
讨论的单调性；
若存在最大值，且最大值小于，求的取值范围．
18.（17分）甲、乙两个口袋都装有个小球个黑球和个白球现从甲、乙口袋中各取个小球交换放入另外一个口袋即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋，交换小球次后，甲口袋中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求，；
求，；
求数列的通项公式，并证明．
19.（17分）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”．
证明：椭圆为“质朴椭圆”．
是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为，所以，
因为，所以；
因为，
由正弦定理可知，
所以，
由，
得，
则，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．

16.解：
因为四边形为菱形，所以．
又平面，平面，所以．
因为，平面，
所以平面．
由题意得，．
以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
易知平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．

17.解：
显然，的定义域为，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，由，得，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．
由知，当且仅当时，存在最大值，且最大值为，
设，求导得，函数在上单调递增，
又，则由，得，
所以的取值范围为．

18.解：
第次换球后甲口袋中有个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则．
第次换球后甲口袋中有个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得．
若第次换球后甲口袋中有个黑球，
则当第次换球后甲口袋中有个黑球时，第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
当第次换球后甲口袋中有个黑球时，第次甲、乙口袋同取白球，
所以．
若第次换球后甲口袋中有个黑球，
则当第次换球后甲口袋中有个黑球时，第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
当第次换球后甲口袋中有个黑球时，第次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，
当第次换球后甲口袋中有个黑球时，第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，
所以．
第次换球后，甲口袋中的黑球个数为的情形有：
若第次换球后甲口袋中有个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；
若第次换球后甲口袋中有个黑球，则第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；
若第次换球后甲口袋中有个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球．
所以．
设，
则，则，得．
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列
所以，即
所以
．

19.解：
由已知椭圆，
即，，
则，
所以焦距，离心率，即，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“质朴椭圆”；
椭圆的焦距为，离心率，
若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”，
则，均为质数，
又，所以，，，，，
即，，，，，
则，，，，，这些数都不是质数，
所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”；
设的右焦点为，
则直线方程为，
设直线与椭圆的交点为，，
联立
得，，
则，，
，
解得，
则的焦距为为质数，
离心率，其倒数为质数，
所以为“质朴椭圆”．

第1页，共1页