山西省三晋名校2025届高三上学期10月联合考试数学试卷（含答案）

山西省三晋名校2025届高三上学期10月联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4.现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为( )
A. B. C. D.
5.已知数列是等差数列，，都是正整数，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆与圆交于两点，则为圆的圆心面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是( )
A. 这年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大
B. 这年上半年地月降雨量的中位数比地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年地月降雨量的极差比地月降雨量的极差大
D. 这年上半年地月降雨量的分位数比地月平均降雨量的分位数大
10.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 若直线是图象的对称轴，则
C. 在上的值域为
D. 若，且，则
11.在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值是
B. 点到平面的距离是
C. 三棱锥的体积为
D. 四面体外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量满足，则与的夹角为 ．
13.对于非空数集，，定义，将称为“与的笛卡尔积”记非空数集的元素个数为，若，是两个非空数集，则的最小值是 ．
14.已知满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆：的离心率是，且点在椭圆上
求椭圆的标准方程；
过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积是，求直线的方程．
16.本小题分
在中，角的对边分别是，且．
证明：．
若是锐角三角形，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，．
证明：平面平面．
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件在闭区间上连续，在开区间内可导，则，而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则现已知函数．
设可导函数，证明：，；
若在上的最小值为，求的取值范围．
19.本小题分
某项测试共有道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得分；部分选对得分；有选错或不答得分．记道题的总得分为的取值个数为．
求的值；
当时，若某人参加这项测试，每道题得分、分、分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求的概率；
求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：
由题意可得，解得，，，
故椭圆的标准方程为．
由题意可知直线的斜率不为，．
设直线：，，，
联立，整理得，直线过椭圆焦点，必有，
则，，
故．
因为的面积是，所以，即，
整理得，即，解得，
则直线的方程为或或

16.解：由题设，
所以，
则，即，
又，则，且，
所以，得证．
由题设，即，得，
由，而，故．

17.解：过作，垂足为，则，
因为，则，且平面，
如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面．
若，由可知：，
可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
则，
由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．

18.解：因为，且在上连续，在内可导，
所以，由罗尔中值定理得，．
设，则．
当，即时，，
当，得，则在上单调递减，
当，得，则在上单调递增，
从而，故符合题意．
当时，即时，令，得或．
当，即时，
当或，得，则在和上单调递增，
当，得，则在上单调递减．
因为在上的最小值为，且，则，得；
当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意；
当，即时，
当或，得，则在和上单调递增，
当，得，则在上单调递减，
从而，故，不合题意；
综上，的取值范围为．

19.解：当时，总得分的取值为，，
当时，情况如下：
两题都得分；两题都得分；两题都得分；一题得分，一题得分；
一题得分，一题得分；一题得分，一题得分．
．
当时，情况如下：
三题都得分；三题都得分；三题都得分；
一题得分，两题得分；两题得分，一题得分；
一题得分，两题得分；两题得分，一题得分；．
一题得分，两题得分；两题得分，一题得分；
一题得分，一题得分，一题得分，总得分与重复，
．
综上得，．
由题意得，每道题得分、分、分的概率均为．
当两题得分，三题得分时，，概率为，
当个题得分均为分时，，概率为，
的概率为．
当题目个数为时，
全部得分，全部得分，全部得分，总得分的取值个数为，
当每个题目得分为分和分的一种时，总得分的取值个数为，
当每个题目得分为分和分的一种时，总得分的取值个数为，
当每个题目得分为分和分的一种时，总得分的取值个数为，
当每个题目得分包含了分、分和分时，总得分情况与重复，
，经检验得均满足上式，
，
，
，
．

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