吉林省友好学校2025届高三上学期10月期中考试（第78届联考）数学试题（含答案）

吉林省友好学校2025届高三上学期10月期中考试（第78届联考）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，那么命题为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4.圣索菲亚教堂英语：坐落于中国黑龙江省，是一座始建于年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位其中央主体建筑集球圆柱棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为
A. B. C. D.
5.设，若，则( )
A. B. C. D.
6.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.函数有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. 的最大值为
C. 若，则
D. 命题“，”的否定是“，”
10.下列说法正确的是( )
A. 函数与是相同的函数
B. 函数的最小值为
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
11.已知函数的图象为，以下说法中正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 图象关于中心对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 函数图象上，横坐标伸长到原来的倍，向左平移可得到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则函数的最小值是 ．
13.已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
14.关于函数，有如下命题：
是图象的一条对称轴；
是图象的一个对称中心；
将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象．
其中真命题的序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最小值．
17.本小题分
已知函数
求的最小正周期及单调递增区间；
求在区间上的值域．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
求的最大值．
19.本小题分
设函数．
求函数的极小值；
若关于的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：若，则，所以或，又因为，所以．
由得，，又因为，所以，解得．

16.解：
由题意得，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在区间上的最小值为．

17.解：
．
的最小正周期，
令，，
得，，
的单调递增区间为，；
时，，
，
所以的最大值为，最小值为
在区间上的值域为．

18.解：方法：由及正弦定理可得：
，
所以，
故，
因为，即，故，
所以，又，所以．
方法：由及余弦定理可得：
，
所以，
所以，又，所以．
由正弦定理可知，
即
，其中，
故当时， 取得最大值，最大值为．

19.解：依题意知的定义域为，
，
，
令解得或
则单调递增，
，单调递减．
所以当时函数取得极小值，且极小值为．
，
所以，
只需．
令，则，
由，得；由，得
在区间上是增函数，在区间上是减函数．
当时函数有最大值，且最大值为，
又，
当或时，在区间上有唯一解，
实数的取值范围为．

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