2024-2025学年北京八十中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京八十中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，那么等于( )
A. B. C. D.
2.在复平面，复数对应的点坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
6.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出庄子天下，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完一尺约等于厘米若剩余的棍棒长度小于厘米，则需要截取的最少次数为( )
A. B. C. D.
8.已知是等差数列的前项和，则“”是“是递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知无穷数列，性质：，，，性质：，，，，给出下列四个结论：
若，则具有性质；
若，则具有性质；
若具有性质，则；
若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．
则所有正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角，的终边关于原点对称，则 ______．
12.已知向量，且与的夹角为，则 ______．
13.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则，”为假命题的一组和公比的值为 ______， ______．
14.设函数，若，则的最大值为______；若无最大值，则实数的取值范围是______．
15.在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点点为正方体表面上的动点，满足给出下列四个结论：
线段长度的最大值为；
存在点，使得；
存在点，使得；
是等腰三角形．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分别是棱，的中点．求证：
平面；
E.
17.本小题分
设函数，从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在．
Ⅰ求的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
条件：函数的图象经过点；
条件：在区间上单调递增；
条件：是的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅰ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，求最大时的面积．
19.本小题分
已知直线与函数的图象相切．
求的值；
求函数的极大值．
20.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若函数存在正零点．
求的取值范围；
记为的极值点，证明：．
21.本小题分
给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：，，，满足如下三个性质：
，，且；
；
与不同时在数对序列中．
Ⅰ当，时，写出所有满足的数对序列；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ当为奇数时，记的最大值为，求．
参考答案
1.
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15.
16.证明：在三棱柱中，，分别是棱，的中点．
，，，
平面，平面，
平面．
侧面底面，侧面底面，，
面，
面，E.
17.解：Ⅰ若选，，
由函数的图象经过点，
则，，
即，，
由条件：在区间上单调递增，有，
又，即，所以，
此时不存在；
选条件，，
由条件：在区间上单调递增，有，
又，即，所以，
由条件：是的一条对称轴，有，
即，，所以，，
由可得，
所以，，
由，
解得，
所以的单调递减区间为；
若选，函数的图象经过点，
则，，
即，，
由是的一条对称轴，有，
即，，所以，，
此时不存在；
Ⅱ因为，所以，
所以，，
因为对于任意的，都有，所以，
即的取值范围为．
18.解：因为，由正弦定理得，
整理得，
结合正弦定理得，所以；
由余弦定理得．
当且仅当，即时，取等号．
而余弦函数在上是减函数，所以当取最小值时，角最大．
此时，，舍负．
所以最大时，的面积．
19.解：由已知，设切点为 ，
，，
切线的斜率为 ，
即切线方程为，
代入，即 ，解得 ，
．
由可得：，
设，则 ，
令，得．
当 时，；当 时，，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
故，
又，，
存在，，
综上可得当 时，；当时，；，，
从而在 ， 上单调递减，在上单调递增，
故存在唯一极大值．
20.解：由已知可得的定义域为，且，
因此当时，，从而，
所以的单减区间是，无单增区间；
由知，，
令，，
当时，，单调递减．
当时，可知，在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
当时，，，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
当时，，此时，，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减．
令，则当时，，
故在内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数的取值范围为；
由题意，，即，
从而，即，
由知当时，，即，有，
又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得．
21.解：Ⅰ：，，，或：，，；
Ⅱ证明：因为和不同时出现在中，故，
所以，，，，，每个数至多出现次，
又因为，
所以只有，对应的数可以出现次，
故；
Ⅲ当为奇数时，先证明，
因为和不同时出现在中，所以，
当时，构造：，，恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：
，，，，
，，，，
，
，，，，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以，
其次，对每个不大于的偶数，将如下个数对并为一组：
，，，，共得到组，将这组数对以及，，，
按如下方式补充到的后面，
即：，，，，，，，，，，，，
此时恰有项，
所以，
综上，当为奇数时，．
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