2024-2025学年广西南宁二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁二中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.体育老师记录了班上名同学分钟内的跳绳次数，得到如下数据：，，，，，，，，，这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则下列结论中不正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
8.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：与圆：，下列说法正确的是( )
A. 过定点 B. 的半径为
C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为
10.已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 若满足，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，，若，则 ______．
13.第届“东盟博览会”于年月号至月号在南宁召开，某记者与参会的名国际友人代表一起合影留念人站成一排若记者不站中间，国际友人甲不站两边则有______种排法．
14.在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状则任意一位病人有症状的概率为______，病人有症状时患疾病的概率为______症状只在患有疾病，，时出现
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了件进行测评，并将测评结果“优”或“良”制成如下所示列联表：
良 优 合计
甲生产线
乙生产线
合计
通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了件产品若在这件产品中随机抽取件，求这件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
16.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别是，，已知．
求角；
若点在边上，，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．
为的角平分线；为的中线．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，，分别为线段，上一点，．
若为的中点，证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在处的切线方程；
当时，，恒成立，求实数的最大值；
当时，证明：，．
19.本小题分
定义：若椭圆的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆：上一点．
求“共轭点对”中点所在直线的方程．
设为坐标原点，点，在椭圆上，且．
求中的直线和椭圆的两个交点，的坐标；
设四点，，，在椭圆上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．
参考答案
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15.解：，
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系．
在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，
由题意可知：，，，则：
，
可得的分布列为：
所以的数学期望．
16.解：在中，由正弦定理知，
，
又，，
，
又，，
，
化简得，即，
又，
；
选，为的角平分线，
由得：，
即，，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
；
选，为的中线，
，平方得，
，，
又，，
在中，由余弦定理得，
．
17.解：证明：取的中点，连接，，
由已知及得，
为的中点，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系，
则，
不妨设，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则
，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
18.解：当时，，
可得，
又，
又，
所以切线方程为，
即；
当时，，
当时，恒成立，
所以，
设，函数定义域为，
可得，
令，函数定义域为，
可得，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以函数在上单调递增，
则，
即，
所以函数在上单调递增，
则，
即，
所以函数在上单调递增，
则，
所以，
故实数的最大值为；
证明：由知，当时，，
此时等价于，
即，
设，取，
此时，
即，
所以，
因为，
所以．
故，．
19.解：设“共轭点对”中点的坐标为，
由题意得：，即，
所以点所在直线的方程；
联立，
解得：，或，
所以，；
证明：设点，，则，
两式相减得，
又，所以，所以，
即，线段被直线平分，
设点到直线的距离为，
则四边形的面积，
由，，得，
设过点且与直线平行的直线的方程为，
则当与相切时，取得最大值．
由，消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，
即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
故直线与不可能相切，
即小于平行直线和或的距离，
故．
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