2024-2025学年重庆市巴蜀中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市巴蜀中学高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
4.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是( )
A. B.
C. D.
7.在中，若，，分别为内角，，的对边，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B. C. D.
11.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前天内，它们的变化规律如图所示均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B. 第天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，三内角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为______．
13.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数表示的阶乘，即该公式也称为麦克劳林公式根据该公式估算的值为______精确到小数点后两位
14.已知，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值及图象的对称轴方程；
在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间．
16.本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点．
求椭圆的方程；
过的直线交椭圆于，两点，若的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
设的三个内角，，的对边分别为，，，已知角为钝角，．
若，求的周长；
求的取值范围．
18.本小题分
重庆市高考数学自年起第至题为多选题，每道题共个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是：每道题满分分，全部选对得分，部分选对得部分分，错选或不选得分现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试．
假设第题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第题得分的概率；
已知第题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项；第题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项若第题和题正确选项是两个和三个的概率都为求乙同学第题和题得分总和的分布列及数学期望．
19.本小题分
设函数，．
当时，判断在上的单调性；
当时，证明：；
设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
，，
由的最小正周期，故，，
令，得对称轴方程：．
由五点作图法，列表如下：，
在上的图象如图所示，
由图象可知，在上的单调递增区间为，．
16.解：椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点．
依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为，
由离心率，得，解得，
所以椭圆的方程为．
过的直线交椭圆于，两点，若的面积为，
显然直线的斜率存在，设其方程为，设，，
由消去得，显然，
，，
则的面积，则有，解得，
所以直线的方程是．

17.解：由及正弦定理得，，
因为，
所以，即，
而为钝角，所以为锐角，所以，
由，得，
由，为锐角，得，
由正弦定理得，，
所以，
所以，
由余弦定理得，，
所以，解得，
所以的周长为．
由知，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：假设四个选项分别为，，，，其中错误选项为，
甲同学随机地选了两项或三项作答，所有情况如下：
，，，，，，，，，，共有种，
其中得分的选法为，，，，，，共种，
故所求概率为；
第题乙同学三个选项中随机猜选两项，用，，分别表示第题乙同学得，，分，
第题乙同学四个选项中随机猜选一项，用，，分别表示第题乙同学得，，分，
则，，，
，，，
所以的所有可能取值为，，，，，，，，
则，，
，，
，
，，
，
所以的分布列为：
所以．
19.解：函数，
当时，，，
，
令，则，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
证明：，
令，
则，
令，则，当时，，
在上单调递增，即在上单调递增；
，在上单调递增，
，不等式成立．
函数，
，
，
即，
则，
令且，
函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，
又且，
令，
则且
当时，，
当时，在上单调递减，
在上单调递增．
，
又，即，又，
由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
当时，；当时，，
当时，，
，
由知：在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
又，
由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
当时，；当时，
在上单调递减，上单调递增，
当时，，
又，由知：，
由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
当时，；当时，，
即为在上唯一变号零点，符合题意；
当时，由时，得：
，
令且，
则且，
令，
又，则在上单调递增，
即在上单调递增，，
在上单调递增，，
当时，，
即在上无零点，不符合题意．
综上：，
即实数的取值范围为．
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