2024-2025学年天津一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则集合( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为( )
将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象；
的图象经过点；
的图象的一个对称中心是；
在上是减函数．
A. B. C. D.
6.已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是( )
A. B. 与的夹角等于
C. D. 与在方向上的投影相等
7.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，且，若实数、使得有实根，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.复数______．
11.在的展开式中，的系数是______．
12.已知，则的值为______．
13.若不等式对于一切正数，恒成立，则实数的最小值为______．
14.已知平行四边形中，，，，则______；若，，则的最大值为______．
15.已知函数若存在，使得在上恰有两个零点，则实数的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．
求角的大小；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．
17.本小题分
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且
求函数的最小正周期；
若的图象经过点求函数在区间上的取值范围．
18.本小题分
已知四棱锥中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知等差数列中，，，．
求数列的通项公式；
若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，，，，，依此类推，第项由相应的中项的和组成．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
证明：对任意的，有；
若，，证明：
参考答案
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14.
15.
16.解：，
由正弦定理得，
从而有，
，
，
，
；
由已知得，，
，，
，
，
，
由余弦定理得，，
即，解得，
的周长为．
17.解：
图象关于直线对称，，
，又
时，
函数的最小正周期为
由
故函数在区间上的取值范围为
18.证明：取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
故D平面
解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
，则，
设平面的法向量为，
，则，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
解：因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
19.解：因为，可得等差数列为递增数列，设公差为，则，
由，，可得，，
则，
所以；
由题意得：
，
而是首项为，公差为的等差数列的项的和，
所以，
所以；
，
所以．
20.解：因为的定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
证明：令，函数定义域为，
可得，
令，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递增，且，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，
此时，
则，
即，
故；
证明：对任意的，，令，
可得
令，
可得，
所以在上单调递增，
此时，
即，单调递减，
设，
可得，
即
所以，
当单调递增，
所以，
即，
所以，
当单调递减，
所以，
即，
所以，
当，
因为单调递增，
所以，
此时，
所以，
因为单调递减，
所以，
此时，
所以，
则．
故
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