中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上册期中仿真模拟卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
2．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
4．点A(-2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
7．二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE·OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，将边长为 的正六边形 在直线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点 所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
10．如图，函数 的图象经过 斜边 的中点 ，与直角边 相交于 ，连结 .若 ，则 的周长为（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝x2-4x+5的图象与y轴交点坐标是 ．
12．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得函数解析式为 ．
13．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
14．如果两个相似多边形面积的比为25：49，则它们的相似比为 ．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= .
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论：① b2＞4ac；② abc＞0；③ a－c＜0；④ am2＋bm≥a－b（m为任意实数），其中正确的结论是
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
18．已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴.
19．：在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
20．2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5
销售量y（千克） 1000 900 800 700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）.
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
22．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
（1）问题提出：如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为 ，位置关系为 .
（2）问题探究：如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证： .
（3）应用拓展：某农庄有如图2的一块矩形菜园，BC边长40米，AB边长24米.两条互相垂直的过道DE、CF将菜园分成四块种植区，其中过道一端F距菜园顶点D3.6米.已知AD边紧挨着一条河流，现需从AD边上某处M挖两条直直的引水渠，将河水分别引至E、C两处浇灌蔬菜，问两条水渠长度之和ME＋MC的最小值是多少？
23．如图，在 ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）说明： ABC∽ FCD
（2）若 ，BC＝10，求DE的长.
（3）若 ，求 ABC的面积.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上册期中仿真模拟卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线x＝1，
正确A．
【分析】根据二次函数的性质，即可得到答案.
2．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A.一次函数，不符合题意；
B.原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，不符合题意；
C.不是整式，不符合题意；
D.原函数可化为：y=2x2+2x，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．
3．一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故答案为：B．
【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长（x＞y），分三种情况讨论：①当长的边对应长的边时，②当长的边对应长的边时，③当长的边对应长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
4．点A(-2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，
∵-2＜0＜1，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
5．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
；
故答案为：D．
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
6．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：一本书的宽与长之比为黄金比，
这本书的长，
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的性质求出这本书的长即可。
7．二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：图象的开口向下，
∴，
图象与轴交于正半轴，
∴
∵对称轴为，
∴，
，故①错误；
根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边，
可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故②正确；
当时，函数具有最大值为，
，即，故③正确；
设，在二次函数上，
，，
，关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
，故④正确，
综上所述，正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系，结合二次函与一元二次方程的关系判定。由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．
8．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE·OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是边长为3的正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
，故①符合题意；
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，故②不符合题意；
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
即，故③符合题意；
，，
，
，
∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，故④符合题意，
故正确的有①③④，共3个，
故答案为：C．
【分析】利用正方形的性质、三角形相似的判定方法和性质及全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．如图，将边长为 的正六边形 在直线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点 所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，A1A6=A5A6
∴∠HA1A6＝30°，
∴A6H＝ a，A1H= ＝ a，
∴A1A5＝A1A3＝ a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A2，A3，A4，A5，A6为圆心，以a， a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长＝ + + + + = .
故答案为：B.
【分析】连接A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，由正六边形的性质可得A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，A1A6=A5A6，则∠HA1A6＝30°，然后求出A6H，A1H，A1A5，A1A3，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A2，A3，A4，A5，A6为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，接下来结合弧长公式进行计算即可.
10．如图，函数 的图象经过 斜边 的中点 ，与直角边 相交于 ，连结 .若 ，则 的周长为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AO于点E，
设点D（a，b），
则DE＝b，OE＝－a，
∵点D在函数 的图象上，
∴ ，
∴ab＝－1，
∴DE·OE＝－ab＝1，
∵∠BAO＝90°，点D为OB的中点，
∴AD＝DO＝3，
∴在Rt△DOE中，DE2＋OE2＝DO2＝9，
∴（DE＋OE）2＝ DE2＋OE2＋2 DE·OE
＝9＋2
＝11
∴DE＋OE＝ （舍负）
∴ ，
∵点D为OB的中点，
∴DO＝ ，
∵∠BAO＝90°，DE⊥AO
∴∠BAO＝∠DEO＝90°，
∴DE∥AB，
∴△DEO∽△BAO，
∴ ，
∴
，
故答案为：D.
【分析】 过点D作DE⊥AO于E，由直角三角形的性质可得BO＝6，由平行线分线段成比例可得AB＝2DE，AO＝2OE，由勾股定理可求OA＋AB，即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝x2-4x+5的图象与y轴交点坐标是 ．
【答案】（0，5）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=5；
则二次函数y＝x2-4x+5的图象与y轴交点坐标是（0，5）.
故答案为：（0，5）.
【分析】当x为0时，求出y的值，据此就可以得出二次函数的图象象与y轴交点坐标.
12．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得函数解析式为.
故答案为：．
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得解．
13．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜9
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，
∴ （﹣6）2﹣4m＞0，
解得：m＜9，
故答案为：m＜9．
【分析】先求出 （﹣6）2﹣4m＞0，再求解即可。
14．如果两个相似多边形面积的比为25：49，则它们的相似比为 ．
【答案】5：7
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为两个相似多边形面积的比为 ，且 ，
所以它们的相似比为5：7，
故答案为：5：7．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可。
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= .
【答案】7
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵△ADE的面积为4，
∴S△ABC=16，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴ ，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∴ ，
∵AD=BD，
∴S△BDE=S△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S△DEG= S△ADE=2，
∵ ，
∴S△ODE= S△BDE=1，
∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=1，
∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=12，
∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=12-4-1=7.
故答案为：7.
【分析】由三角形中位线的性质可得DE∥BC，DE=BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质以及△ADE的面积可得S△ABC=16，证明△ODE∽△OFB，△DEG≌△FCG，得到DE=CF，结合相似三角形的性质可得BF=3DE，易得S△BDE=S△ADE=S，S△DEG=S△ADE=2，S△ODE=S△BDE=1，进而求出S△OEG，S四边形DBCE，然后根据S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG进行计算.
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论：① b2＞4ac；② abc＞0；③ a－c＜0；④ am2＋bm≥a－b（m为任意实数），其中正确的结论是
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2-4ac＞0，∴①正确；∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，c＞0， ∴abc＞0，∴②正确；∵对称轴为直线x＝－1，顶点在第三象限，∴ a－b+c＜0，-b÷2a=-1，∴2a=b，∴ a－2a+c＜0，∴a－c＞0，∴③错误；∵对称轴为直线x＝－1，∴ 当x=-1时，y有最小值a－b+c，当x=m时，y=am2＋bm+c，∴am2＋bm+c≥a－b+c，∴am2＋bm≥a－b，∴④正确.故答案是：①②④
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况可判断① ；判断出a、b、c的符号可判断②；根对称轴及顶点可判断③；据函数的最小值可判断④.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
【答案】（1）解：∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）= ；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况.合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）= .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）利用不合格品的件数除以产品的总件数即得结论；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况.合格的有3种情形 ，然后利用概率公式计算即可.
18．已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴.
【答案】（1）解：把点（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3得：0＝a+2﹣3，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1） 把点（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3中求出a值即可；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，即可求解.
19．：在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
【答案】（1）证明：，
，，，
，
∴函数与x轴有交点；
（2）解：，
∴顶点坐标为：，
∵函数经过函数的顶点，
∴，
化简可得：，
∴实数m，n的关系式为：；
（3）解：抛物线的对称轴为：，
∵二次项系数，开口向上，作草图如下：
∴（-3，a）与（1，a）关于对称，
∵，
∴根据函数图象的性质可得：，
∴的取值范围为：．
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先把二次函数解析式化成一般式，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将y1化为顶点式得到顶点坐标，然后代入y2解析式，再化简即可得出实数m，n的关系式；
（3）根据题意画出草图，由于对称轴为 ， 得出 （-3，a）与（1，a）关于对称，根据 ， 结合图象，即可得出x1取值范围.
20．2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5
销售量y（千克） 1000 900 800 700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）.
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设一次函数为：y＝kx+b，依题意得：
解得：
函数表达式为：y＝﹣200x+2200；
（2）解：依题意得：（x﹣5）（﹣200x+2200）＝1600，
整理得：x2﹣16x+63＝0，
解得：x1＝7，x2＝9（舍去），
答该天的销售单价应定为7元.
（3）解：设利润为w，依题意得：w＝﹣200x2+3200x﹣11000＝﹣200（x﹣8）2+1800
故，当定价为8元时，有最大利润1800元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设一次函数的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求一次函数的解析式；
（2）利用利润=每千克大米的利润×销售量，列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（3） 设利润为w， 根据利润=每千克大米的利润×销售量，列出函数关系式，再化成顶点式，利用二次函数的性质，即可得出答案.
21．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ， 在抛物线 上，则 ，解得 ，
抛物线解析式为
（2）解：当 时，即 ，解得 或 ，
， ，
设直线 解析式为 ，由题意可得 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
点 是线段 上的一个动点，
可设 ，则 ，
，
当 时， 有最大值，最大值为2，
此时 ，
，即 为 的中点，
综上所述，当 运动到 的中点时， ，此时 点坐标为 .
（3）解：存在，理由：
，
抛物线对称轴为直线 ，
， ，且 ，
，
点 在 轴上，
可设 ， ，
，
当 时，则有点 和点 关于 轴对称，此时 点坐标为 ， ；
当 时，
则有 ，
∴
∴ 或
此时 点坐标为 ， 或（4，0）；
综上可知存在满足条件的点 ，其坐标为 ， ；（4，0）； ， ；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入可得b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，求出x，可得点A、B的坐标，求出直线BC的解析式，设E（m，m+2），则F（m，m2+m+2），表示出EF，根据二次函数的性质可得EF的最大值以及对应的m的值，进而得到点E的坐标，据此解答；
（3）由抛物线的解析式可得对称轴，进而得到点C、D的坐标，求出CD的值，设P（a，0），表示出PD，然后分PC=CD、PD=CD，求出a的值，进而可得点P的坐标.
22．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
（1）问题提出：如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为 ，位置关系为 .
（2）问题探究：如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证： .
（3）应用拓展：某农庄有如图2的一块矩形菜园，BC边长40米，AB边长24米.两条互相垂直的过道DE、CF将菜园分成四块种植区，其中过道一端F距菜园顶点D3.6米.已知AD边紧挨着一条河流，现需从AD边上某处M挖两条直直的引水渠，将河水分别引至E、C两处浇灌蔬菜，问两条水渠长度之和ME＋MC的最小值是多少？
【答案】（1）相等；垂直
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90° ，
∴DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠DFG=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF，
∴
（3）解：矩形ABCD中，AD=BC=40米，DC=AB=24米，DF=3.6米，
由(2)知：△ADE∽△DCF，
∴ ，
∴ (米)，
延长BA到点E ，使AE =AE=6米，则AD垂直平分EE ，
∴EM=E M，
由“两点之间，线段最短”可知：当点M在CE 与AD的交点处时，E M+CM的值最小，从而EM+CM的值最小，最小值为CE 的长，
在Rt△BCE 中，
BE =AB+AE =24+6=30（米），由勾股定理，得
（米），
即两条水渠长度之和EM+CM的最小值是50米.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，
∴∠A=∠CDF=90°，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE=DF，
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴DE=CF，∠ADE=∠DCF，
∴∠ADE+∠CDG=∠ADC=90 ，
∴∠DCF+∠CDG=90°，
∴∠CGD=90 ，
∴DE⊥CF，
故答案为：相等，垂直；
【分析】（1）由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠A=∠CDF=90°，结合中点的概念可得AE=DF，证明△ADE≌△DCF，得到DE=CF，∠ADE=∠DCF，推出∠CGD=90，据此解答；
（2）由矩形的性质可得∠A=∠CDF=90°，由垂直的概念可得∠DGF=90°，根据同角的余角相等可推出∠AED=∠DFC，证明△ADE∽△DCF，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）由矩形的性质可得：AD=BC=40米，DC=AB=24米，DF=3.6米，由（2）知：△ADE∽△DCF，根据相似三角形的性质求出AE，延长BA到点E ，使AE =AE=6米，则AD垂直平分EE ，EM=E M，推出当点M在CE 与AD的交点处时，E M+CM的值最小，从而EM+CM的值最小，最小值为CE 的长，据此求解.
23．如图，在 ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）说明： ABC∽ FCD
（2）若 ，BC＝10，求DE的长.
（3）若 ，求 ABC的面积.
【答案】（1）解：△ABC∽△FCD.
理由如下：
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD.
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴ .
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20.
又∵S△ABC= ×BC×AM，BC=10，
∴AM=4.
又DM=CM= CD，DE∥AM，
∴△BED∽△BAM，
∴DE：AM=BD：BM= ，
∴DE= .
（3）解：∵△ABC∽△FCD，
∴DF：AD=DF：AC=DC：BC=1：2，
∴DF=AF
∴S△EDF=S△AEF， S△DCF=S△ACF
∴S△EDC=S△AEC
∵BD=DC
∴S△BDE=S△EDC
∴S△ABC=S△BDE+S△DEC+S△AEC=3(S△EDF+ S△DCF)
及4 S△DCF=3(3+ S△DCF)
S△DCF=9
∴S△ABC=36
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ADC=∠ACD，EB=EC，则∠EBC=∠ECB，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过A作AM⊥CD，垂足为M，由相似三角形的性质结合△FCD的面积可得△ABC的面积，根据三角形的面积公式可得AM，由等腰三角形的性质可得DM=CM=CD，DE∥AM，证明△BED∽△BAM，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）由相似三角形对应边成比例可得DF=AF，根据等底同高的三角形面积相等得S△EDF=S△AEF， S△DCF=S△ACF，根据BD=DC可得S△BDE=S△EDC，则S△ABC=3(S△EDF+ S△DCF)，据此求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
