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人教版八年级上册期中提分专项卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ）
A．19cm B．19cm 或 14cm C．11cm D．10cm
4．把分式方程 ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
5．如图，已知 ，再添加一个条件使 ，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为 （ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
8．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110° B．125° C．140° D．150°
9．在 中， ， ，点 是边 上一定点，此时分别在边 ， 上存在点 ， 使得 周长最小且为等腰三角形，则此时 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．在 中， ，在直线 或 上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点 P（-1，2）关于 轴的对称点的坐标为 .
12．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数比为5∶1，则这个多边形的边数是 .
13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6cm2，则△BDE的面积为 .
15．如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 ．
16．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．已知：如图，M是AB的中点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：
（1）△AMC≌△BMD；
（2）AC＝BD.
18．计算：
（1）（a+2b）(a-2b)- b(a-8b)；
（2）（x -1）（x2+x+1）；
（3）（x+y）（x－y）－2（4 x－y2+ x2）；
（4）(2a+ b)( b- a)．
19．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．
20．若关于x，y的一元一次方程组 的解都为正数.
（1）求a的取值范围；
（2）若方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长，求满足条件的整数a的值.
21．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（即三角形顶点是网格线的交点）.
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将线段BC向下平移2个单位，再向右平移3个单位，画出平移得到的线段B2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，且使得△A2B2C2是轴对称图形.
22．如图，在平面直角坐标系中， .
（1）作出 关于 轴的对称图形 ；
（2）写出点 的坐标.
（3）在 轴上找一点 ，使 的长最短.
23．如图（1），平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°.
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点，求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求证：F为DE的中点.
24．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO＝2，AB＝2OA.
（1）作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标；
（2）求∠BAO的度数；
（3）如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形 ，DA的延长线交y轴于点Q，
①求AQ的长；
②若OB＝2 ，求BD的最小值.
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人教版八年级上册期中提分专项卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴点A( 3，2)关于y轴的对称点坐标为（3，2），
故答案为：C，
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案。
2．下列式子中分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
B、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
C、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
D、分母含未知数，是分式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的定义逐项判断即可。
3．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ）
A．19cm B．19cm 或 14cm C．11cm D．10cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】当8cm的边是腰时，三角形的周长=8+8+3=19cm，当3cm的边是腰时，因为3+3＜8，所以不能组成三角形，所以等腰三角形ABC的周长=19cm，
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①当8cm的边是腰时，②当3cm的边是腰时，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别解答即可.
4．把分式方程 ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故答案为：D
【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x，首先要化成x－2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
5．如图，已知 ，再添加一个条件使 ，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，AC=AC，由SSS可以判定 ，故此选项不符合题意；
B、 ， ，AC=AC，不可以判定 ，故此选项符合题意；
C、 ， ，AC=AC，由SAS可以判定 ，故此选项不符合题意；
D、 可得 ， ，AC=AC，由SAS可以判定 ，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS进行逐一判断即可.
6．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为 （ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】已知三角形一边长为2，(1)当这一边是等腰三角形的腰时，它的腰长就为2，则底边是4
根据三角形三边关系，这种情况不符合条件；(2)当这一边是等腰三角形的底边时
∵ 周长为8，底边为2
∴ 腰长为： =3 (等腰三角形两腰相等)
根据三角形三边关系，这种情况符合条件；
综上所述，这个等腰三角形的腰长为3.
故答案选B.
【分析】根据等腰三角形性质和已知条件，进行分类讨论，即可得到答案，要注意的是一定要符合构成三角形的三边关系.
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，
分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.
8．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110° B．125° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴AB=CB，BE= BD，∠ABC=∠DBE=∠BED=∠BDE= 60°，
∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠AEB=∠CDB，
设∠AEB=∠CDB=x，
∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=x-60°，
∴∠CED= 360°-∠AEB-∠BED-∠AEC= 360°-x-60° -110° = 190° -x，
∴∠DCE= 180°-(∠CDE+∠CED) = 50°，
∵△CDE是不等边三角形，
∴∠CDE≠∠CED≠∠DCE，
∴x- 60°≠190° -x≠50°，
解得x≠125°，x≠140°，x≠110° .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质有关边和角相等，利用角的和差关系求出∠ABE=∠CBD，利用SAS证明证明△ABE≌△CBD，则可得出∠AEB=∠CDB，设∠AEB=∠CDB=x，然后把∠CDE、∠CED分别用含x的代数式表示，根据三角形内角和定理求出∠DCE的度数 ，然后根据不等边三角形的定义分析即可解答.
9．在 中， ， ，点 是边 上一定点，此时分别在边 ， 上存在点 ， 使得 周长最小且为等腰三角形，则此时 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图作 分别关于 ， 对称，得 ， ，以及 的对称点 ， ，
则 ， ，
所以 、M、N、 共线时， 周长最小。
作 、 、 关于 的垂线，垂足为 、 、 ，
由梯形的性质，得 ，
在 中， ，
设 ， ， ， ，
则由 ，
，
令 ，由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，
所以 ，
又因为 平分 ，故 ，
所以 ，
若 ，则 ，解得 （负根舍去），
此时 ，
同理可知，若 或 均可得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据题意证明△PEN≌△PFM，即可得到PE=PF，根据30°角直角三角形的性质，求出答案即可。
10．在 中， ，在直线 或 上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）.③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个。
故答案为：C。
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，故需要分类讨论：①以点A为等腰三角形的顶角的顶点，AB为腰；②以点B为等腰三角形的顶角的顶点，AB为腰；③以点M为等腰三角形的顶角的顶点，AB为等腰三角形的底边，三种情况一一判断即可得出答案。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点 P（-1，2）关于 轴的对称点的坐标为 .
【答案】(-1，-2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（-1，2）与对称点关于x轴对称，
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标为（-1，-2）.
故答案为：(-1，-2).
【分析】关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数,从而即可得出答案.
12．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数比为5∶1，则这个多边形的边数是 .
【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的外角为 ，则内角为 ，由题意得：
，
解得 ，
这个多边形的边数： .
故答案为：十二.
【分析】设这个多边形的外角为 ，则内角为 ，根据多边形的相邻的内角与外角互补可得方程 ，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.
13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
【答案】55°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6cm2，则△BDE的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△BDE= S△ABD，S△ABD= S△ABC，
∴S△BDE= S△ABC= ×6= .
故答案为： .
【分析】根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知： 是 面积的2倍，△ABC的面积是 面积的2倍，依此即可求解.
15．如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，AM，如图，
∵AB＝AC， D为BC的中点，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴，
∴AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴NA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），
∴MA+MD的最小值是5，
即BM+MD的最小值是 5.
故答案为：5.
【分析】连接AD，AM，利用三线合一得，结合面积公式求出AD的长度，根据三角形三边的关系得出当A、M、D共线时MA+MD最小进行求解。
16．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个.
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形.
故答案为：6.
【分析】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．已知：如图，M是AB的中点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：
（1）△AMC≌△BMD；
（2）AC＝BD.
【答案】（1）证明：∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AMC和△BMD中，
，
∴△AMC≌△BMD（AAS）
（2）证明：∵△AMC≌△BMD，
∴AC＝BD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由线段中点的定义可得AM=BM，结合已知用角角边可证 △AMC≌△BMD；
（2）由全等三角形的对应边相等可求解.
18．计算：
（1）（a+2b）(a-2b)- b(a-8b)；
（2）（x -1）（x2+x+1）；
（3）（x+y）（x－y）－2（4 x－y2+ x2）；
（4）(2a+ b)( b- a)．
【答案】（1）解答：解：（a+2b）（a-2b）- b（a-8b），
=a2-4b2- ab+4b2，
=a2- ab．
（2）解答：解：
（x -1）（x2+x+1）
= x3+ x2+x-（x2+x+1）
= x3+ x2+x-x2-x-1
= x3 -1
（3）解答：解：
（x+y）（x－y）－2（4 x－y2+ x2）
=x2 -y2-(8x-2y2+x2）
= x2 -y2-8x+2y2-x2
=y2-8x
（4）解答：解：
(2a+ b)( b- a)
= ab-a2+ b2- ab
= ab-a2+ b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则计算得出．
19．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】（1）解：∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，∴∠BAE=40°+90°=130°，∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°
（2）解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中 ，∴△BAF≌△CAF（SAS），∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，∴∠AEB=∠ACF
（3）解：∵△BAF≌△CAF，∴BF=CF，∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和已知条件可得
AB=AE ，根据等边对等角可得
∠ABE=∠AEB， 则
∠BAE =∠EAC+∠BAC，所以∠AEB=
即可求解；
（2）用边角边易证 △BAF≌△CAF ，则 ∠ABF=∠ACF， 由（1）中的结论即可得证；
（3）由（2）中的全等三角形可得 BF=CF ，结合已知易证 ∠CFG=∠EAG=90°， 于是用勾股定理即可得证。
20．若关于x，y的一元一次方程组 的解都为正数.
（1）求a的取值范围；
（2）若方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长，求满足条件的整数a的值.
【答案】（1）解：解 得
∵若关于x、y的二元一次方程组 的解都为正数，
∴﹣2＜a＜1
（2）解：∵方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长，
∴2（a+2）＞1﹣a，
解得：a＞﹣1，
∵a为整数，
∴a＝0，
∴a的值是0.
【知识点】解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）将a作为常数求出方程组的解，根据方程组的解都是正数，列出关于a的不等式组，求解即可得出a的取值范围；
（2）根据等腰三角形的两腰相等及三角形的三边关系列出关于a的不等式，求解得出a的取值范围，结合（1）中a的取值范围及a是整数即可得出a的值.
21．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（即三角形顶点是网格线的交点）.
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将线段BC向下平移2个单位，再向右平移3个单位，画出平移得到的线段B2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，且使得△A2B2C2是轴对称图形.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；图形的平移
【解析】【分析】（1）根据三角形的三个顶点，关于直线l作对称点，将对称点连线得到答案即可。
（2）根据线段BC的端点的坐标，将其向下和向右平移，得到符合条件的图形即可。
22．如图，在平面直角坐标系中， .
（1）作出 关于 轴的对称图形 ；
（2）写出点 的坐标.
（3）在 轴上找一点 ，使 的长最短.
【答案】（1）解：如图所示， 为所求作；
（2）解：由图可得：
（3）解：如图所示，连接 ，交 轴于点 ，则点 即为所求作.
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作出△ABC各顶点关于y轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点A′，B′，C′的坐标即可；
（3） 连接AC′，交y轴于点P，根据轴对称的性质得出PA=PA′，再根据两点之间线段最短，即可得出点P即为所求.
23．如图（1），平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°.
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点，求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求证：F为DE的中点.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°.
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形.
∴DA=AO.
在△ABD与△AEO中，
∵ ，
∴△ABD≌△AEO（SAS）.
∴BD=OE.
（3）证明：作EH⊥AB于H.
∵AE=BE，∴AH= AB，
∵BO= AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD.
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，
，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF.
∴F为DE的中点.
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质求解即可；
（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO（SAS），可得BD=OE.
（3）作EH⊥AB于H， 再证Rt△AEH≌Rt△BAO（HL）， 再证△HFE≌△AFD（AAS），利用全等三角形的性质即得结论.
24．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO＝2，AB＝2OA.
（1）作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标；
（2）求∠BAO的度数；
（3）如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形 ，DA的延长线交y轴于点Q，
①求AQ的长；
②若OB＝2 ，求BD的最小值.
【答案】（1）解：如图1中，
∵A，E关于y轴对称，
∴OA＝OE＝2，
∴E（2，0）.
（2）解：如图1中，∵OA＝OE，BO⊥AE，
∴BA＝BE，
∵AB＝2OA＝AE，
∴AB＝BE＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAO＝60°.
（3）解：①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J.
∵△PBD，△ABE都是等边三角形，
∴BA＝BE，BP＝BD，∠PBD＝∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝∠EBP，
在△ABD和△EBP中，
，
∴△ABD≌△EBP（SAS），
∴∠EPB＝∠ADB，
∵∠AJP＝∠DJB，
∴∠PAJ＝∠DBJ＝60°，
∴∠OAQ＝∠PAJ＝60°，
∵∠AOQ＝90°，
∴∠AQO＝30°，
∴AQ＝2AO＝4.
②∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，
∵AQ＝4，
∴AB＝AQ，
∵AO⊥BQ，
∴OQ＝OB＝2 ，
∵∠AQO＝30°，
∴点D的运动轨迹是直线QD，
根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，最小值＝ .
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先作出A点关于y轴的对称点E，然后读出其坐标即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质得出AB=BE，进而结合已知推出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案；
(3)①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J，利用SAS证明△ABD≌△EBP，得出∠EPB＝∠ADB，然后根据角的关系推出∠AQO=30°，根据含30°的直角三角形的性质，即可解答；
②由∠AQO=30°，推出点D的运动轨迹是直线QD，根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时， BD的值最小，然后根据含30°的直角三角形的性质，解答即可.
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