中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版九年级上册期中真题汇编培优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，x，y，m，n均不为0，则把它改写成比例式后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 ，点 ，以线段 为边作正方形 ，且点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．20
8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（ ）
A．（ ， ），（ ， ）
B．（ ， ），（ ， ）
C．（ ， ），（ ， ）
D．（ ， ），（ ， ）
9．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）.若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果，那么 .
12．方程x(x－1)＝x的解为
13．如图所示，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD 。
14．若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为 .
15．如图是一种机器零件的示意图，其中米，米，则四边形的面积为 米2
16．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是 ．
17． 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
18．如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接DE，BE．若，的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则的值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
20．如图，函数的图象 与函数 的图象交于点A（2，1）、B，与y轴交于C（0，3）
（1）求函数y1的表达式和点B的坐标；
（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．
21．为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同.
（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；
（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由.
22．已知关于x的一元二次方程kx2+6x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
23．在 中， ， ， ，
（1）求 ；
（2）求 ．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设 ＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
25．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ//BC；
（2）当 时，求S△BPQ：S△ABC的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．
26．如图，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝ 经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，若AB的对应线段CB恰好经过点O.
（1）求点B坐标及双曲线解析式.
（2）判断点C是否在双曲线上，请说明理由.
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBD的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版九年级上册期中真题汇编培优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵＝，
∴，
将代入中，
得，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得到b=2a，将其代入代数式进行计算，将其结果化简.
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、由 可得是二元一次方程，故不符合题意；
B、由 可得是一元三次方程，故不符合题意；
C、由 可得是一元二次方程，故符合题意；
D、由 可得是分式方程，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，据此判断.
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，则方程没有实数根，∴A符合题意；
B、∵方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵，则方程有两个相等的实数根，∴C不符合题意；
D、∵方程整理为，，则方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）逐项分析判断即可.
4．已知，x，y，m，n均不为0，则把它改写成比例式后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A．
【分析】利用比例的性质（比例内项之积等于比例外项之积）分析求解即可.
5．直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与，
直角三角形两直角边是方程的两根，
，，
根据勾股定理可得：，
.
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与，根据根与系数的关系求出，，再由勾股定理可得，然后整体代入即可求解.
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故答案为：A．
【分析】根据正弦值定义求解即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 ，点 ，以线段 为边作正方形 ，且点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，当x＝0时，y＝0＋3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝ ，
∴x＝ 2，
∴B（ 2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO.
在△AOB和△BEC中， ，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝2＋3＝5，
∴C点坐标为（-5，2），
∵点C在反比例函数 （x＜0）图象上，
∴k＝ 5×2＝ 10.
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可.
8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（ ）
A．（ ， ），（ ， ）
B．（ ， ），（ ， ）
C．（ ， ），（ ， ）
D．（ ， ），（ ， ）
【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M.过点C作y轴的垂线交FA、
∵点A坐标（-2，1），点C纵坐标为4，
∴AF=1，FO=2，AE=3，
∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，
∴∠EAC=∠AOF，
∵∠E=∠AFO=90°，
∴△AEC∽△OFA，
，
∴点C坐标 ，
∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，
∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3， ，
∴点B坐标 ，
故答案为：C.
【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M.过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题.
9．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）.若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：
一，若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，
则（x﹣2）：3＝4：（x+2）
解得x＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，
则（x﹣2）：（x+2）＝4：3
解得：x＝﹣14
不存在.
二，若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）
解得：x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，
方程无解；
三，若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），
∴x＝14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（ ，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）.
故答案为：D.
【分析】分类讨论当点P在AB的左边、当点P在AB与CD之间、当点P在CD的右边，根据x轴上两点间的距离表示可得BP、CP的长度，再根据相似三角形对应边成比例可得或者，代入可得结果.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．
∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=C′E，
∴△AEC≌△AEC′．
∴CE=EC′．
∴CE+EF=C′E+EF．
∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值．
∵C′F⊥AC，BC⊥AC，
∴C′F∥BC．
∴△AFC′∽△ACB．
∴ = ，即 = ，解得FC′= ．
故答案为：C
【分析】在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E，利用全等三角形的判定定理证明△AEC≌△AEC′．得出对应边相等，即CE=EC′．就可得出CE+EF=C′E+EF=FC′，当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值，再证明△AFC′∽△ACB，得出对应边成比例，就可求出FC′的长。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果，那么 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由，可得，
因此：，
故答案为：．
【分析】根据比例的性质，由得，再计算即可。
12．方程x(x－1)＝x的解为
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x－1）＝x，x（x－1）-x=0，x（x－2）＝0，∴ ．
【分析】由题意先移项，再提公因式x可分解因式求解。
13．如图所示，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD 。
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD， ∠ACB=∠ADC=90°，
∴，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质得出，把AB=5，AC=4代入进行计算，即可得出答案.
14．若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设 ，则有 ，
∵C是线段 的黄金分割点， ，
∴ ，即 ，
解得： ；
∴ ；
故答案为： .
【分析】设 ，则有，由点C是线段的黄金分割点可得，据此建立关于x方程并解之即可.
15．如图是一种机器零件的示意图，其中米，米，则四边形的面积为 米2
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过A点作于点G，如图，
根据题意可得：，，，，
即有，，，且四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是梯形，
∴，
故答案为：．
【分析】过A点作于点G，利用锐角三角函数求出EF，继而求出AB，易证四边形是梯形，利用梯形的面积公式即可求解.
16．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是 ．
【答案】1.2
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，此时PE∥AB，
∵，，，
∴AB =10，
由翻折的性质可知：，．
，
．
又为定值，
有最小值．
又，，
．
，
即，
解得：．
．
故答案为：1.2
【分析】由勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点在以为圆心，以2为半径的圆上，所以当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，据此画出图形，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．
17． 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
【答案】③④
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
18．如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接DE，BE．若，的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵的面积为9，四边形ABDE的面积为14 ，
∴△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，
设A（m，），则E（），
∴AE=m-，
∵，
∴B（-2m，-），D（-2m，-）
∴点B到AE的距离为+=，BD=--（-）=，
点E到BD的距离为-（-2m）=+2m，
∴△ABE的面积=×（m-）×=9，△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a-b=12①，
∴△BDE的面积=××（+2m）=5，
∴a=-3b②，
联立①②可得a=9.
【分析】易求△BDE的面积=四边形ABDE的面积-的面积=5，设A（m，），则E（），可推出B（-2m，-），D（-2m，-），由△ABE的面积=9可得a-b=12①，由△BDE的面积=5可得a=-3b②，联立①②即可求解.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
【答案】（1）解：△OB′C′是所求的三角形；
（2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长BO到点B′，使OB′=2OB，则B′就是B点的对应点，延长CO到点C′，使OC′=2OC，则C′就是C点的对应点，顺次连接OB′，OC′，B′C′，则三角形OB′C′就是所求的三角形；
（2）根据图形再平面直角坐标系中的位置，直接写出B′、C′点的坐标即可。
20．如图，函数的图象 与函数 的图象交于点A（2，1）、B，与y轴交于C（0，3）
（1）求函数y1的表达式和点B的坐标；
（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．
【答案】（1）解：由题意，得 解得
∴
又A点在函数 上，所以 ，解得
所以
解方程组
得
所以点B的坐标为（1， 2）．
（2）解：当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2；
当1＜x＜2时，y1＞y2；
当x=1或x=2时，y1=y2．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】根据待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据图象可判断 x＞0时y1与y2的大小 ，进行解答即可。
21．为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同.
（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；
（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由.
【答案】（1）解：设该农庄游玩人数的月平均增长率为x.
由题意得：1280（1+x）2=2880
解得：x1=0.5，x2= 2.5(不合题意，舍去)
答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%.
（2）解：1280（1+50%）3=4320<5000
答：该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设农庄游玩人数的月平均增长率为x，根据公式，其中a代表原始数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可，特别地，一元二次方程的实际运用，要检验根是否符合实际问题的解；
(2)根据公式，代入（1）中结果算出十月份需要接待的人数b，然后将b与5000比大小即可.
22．已知关于x的一元二次方程kx2+6x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
【答案】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即 ，
解得k＞﹣9，
∴实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0；
（Ⅱ）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
解：由（1）知，实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0，故取 ，
所以该方程为 ，解得 ， ．
（1）解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即 ，
解得k＞﹣9，
∴实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0；
（2）解：由（1）知，实数k的取值范围为k＞﹣9且k≠0，故取 ，
所以该方程为 ，解得 ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围；
（2）根据（1）中k的取值范围，任取k的值，然后解方程即可作答。
23．在 中， ， ， ，
（1）求 ；
（2）求 ．
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ．
（2）解：在 Rt△ABC 中， ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）根据正切的定义求解即可.
24．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设 ＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
【答案】（1）解：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝ ＝ ，
∴EF＝ ，
∴CF＝EF﹣EC＝ ﹣1；
（2）解：①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ ，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴ ，
∴ ，
∴EC＝ a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣ a＝ a，
∴λ＝ ．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DAG＝∠F，由角平分线的定义可得∠DAG＝∠EAG，从而得出∠EAG＝∠F，利用等角对等边可得EA＝EF，由线段的中点可得BE=CE=1，利用勾股定理可得AE=， 即得EF=，由CF＝EF﹣EC即得结论；
（2）①根据AAS可证△ADG≌△FCG，可得DG=CG，据此即得结论；
②设CD＝2a，则CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，根据两角对应相等可证△EGC∽△GFC，可得 ， 即得， 从而得出 EC＝ a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣ a＝ a，据此即可求出结论.
25．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ//BC；
（2）当 时，求S△BPQ：S△ABC的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：当 时，PQ//BC
解得：
（2）解：当 时
由（1）得 时，
设
则
．
（3）解：当 时
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴
解得
当 时
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴
解得： (舍去)
经检验，x=5是原分式方程的解．
综上所述，当 或x=5时相似.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 当PQ//BC ，根据平行线分线段成比例定理可得，根据P、Q的速度，利用运动时间为x秒表述出AP，AQ，然后代入比例式求出x的值即可；
（2）由 ，可得 ，即，从而得出，求出. 由（1）知PQ//BC，可得，利用相似三角形的性质可得，可设
， ，由于，可得，从而求出S△BPQ：S△ABC的值；
（3）分两种情况①当时，②当 时，据此分别解答即得.
26．如图，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝ 经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，若AB的对应线段CB恰好经过点O.
（1）求点B坐标及双曲线解析式.
（2）判断点C是否在双曲线上，请说明理由.
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBD的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵∠ABO＝∠CBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∵OB＝BD，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OD=OB=2
过P作PH⊥OD于点H，
∴∠OBH=30°
∴
由勾股定理得，
∴B（1， ），
∵双曲线y＝ 经过点B，
∴k＝1× ＝ ，
∴双曲线的解析式为y＝
（2）解：∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2OB，
∵AB＝BC，
∴BC＝2OB，
∴OC＝OB，
∴C（﹣1，﹣ ），
∵﹣1×（﹣ ）＝ ，
∴点C在双曲线上
（3）解：∵△PBD的周长＝BD+PB+PD，且BD是定值，
∴当PB+PD取最小值时，△PBD有最小值，
如图，作点B关于y轴的对称点B'（﹣1， ），连接B'D交y轴于点P，
∵B（1， ），
∴OB＝2，
∵△BOD是等边三角形，
∴BO＝OD＝2，
∴点D（2，0），
设直线B'D解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴点P（0， ）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABO＝∠BOD，由旋转的性质可得∠ABO＝∠CBD，推出∠BOD＝∠OBD，由等腰三角形的性质可得∠BOD＝∠BDO，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，OD=OB=2，过P作PH⊥OD于点H，易得OH=1，由勾股定理求出BH，进而得到点B的坐标，然后代入y＝中就可得到k的值，进而得到双曲线的解析式；
（2）由内角和定理可得∠A＝30°，则AB＝2OB，进而推出OC=OB，得到点C的坐标，据此判断；
（3）易知当PB+PD取最小值时，△PBD有最小值，作点B关于y轴的对称点B'（-1，），连接B'D交y轴于点P，由点B的坐标可得OB＝2，由等边三角形的性质可得BO＝OD＝2，进而确定出点D的坐标，求出直线B'D解析式，令x=0，求出y的值，进而可得点P的坐标.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
