2024-2025学年上海实验学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海实验学校高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面，直线不在上，直线在上，则“”是“的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. 与既不垂直也不平行 D. 与的位置关系不确定
3.设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，点为棱上一点，满足，则下列结论正确的个数为( )
平面；
在棱上不存在点，使得平面；
当时，异面直线与所成角的余弦值为；
点到直线的距离．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共11小题，共49分。
5.“直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件．
6.直线与平面所成角的取值范围是______弧度制
7.直线与平面的位置关系有______．
8.在长方体中，如果对角线与过点的相邻三个面所成的角分别是，，，那么 ______．
9.已知直角三角形中，，，若平面，，则到斜边的距离为______．
10.在长方体中，若，，则直线到平面的距离是______．
11.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
12.棱长为的正方体中，点，，分别是面，，的中心，给出下列结论：与是异面直线；平面；过，，的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形，以上结论正确的是______写出所有正确结论的序号
13.如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是______．
14.已知边长为的正，点，分别在边，上，且，以为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为______．
15.四面体中，已知，，，，则异面直线与所成的角的正弦值是______．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点．
若，求异面直线和所成角的正切值；
若，求证平面
17.本小题分
用文字语言叙述“直线与平面平行的判定定理”；
把中的定理写成“已知：，求证：”的形式；
证明直线与平面平行的判定定理．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，，为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，是底面内的任一点，与三侧面所成的角分别为，，求证：
；
．
20.本小题分
已知数列与满足：，，，且，．
设，，证明：是等比数列；
设，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.必要不充分
6.
7.，，与相交
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，
是异面直线和所成角，
在长方体中，平面，
，
，，，为棱上一点，，
，
，
异面直线和所成角的正切值为．
证明：时，，
，．
，
，
，
，
又，平面
17.解：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行；
解：已知直线，，平面，若，，，求证；
证明：用反证法，假设直线与平面不平行，
因为，所以与相交，
设，则，
若，过在内作直线，则与相交，
因为，所以，与已知与相交矛盾．
综上，假设不成立，原命题成立，即．
18.Ⅰ证明：取的中点，
连接，，由条件易知
，．
，．
所以，．
故所以．
又平面，平面
所以平面．
Ⅱ解：在平行四边形中，设，
则，，
连接，
因为
在中，可得，
在中，可得，
在中，因为，所以，
在正三角形中，为中点，所以．
由平面平面，
可知平面，．
取的中点，连线、，
所以，．
因为交于，
所以平面，
则为直线与平面所成的角．
在中，，，，
则．
所以直线与平面所成角的余弦值为．
19.证明：如图所示，可建立以为原点的平面直角坐标系，
可设、、，，
则、、，，
由是底面内的任一点，故有，且，，，
则平面，，的法向量分别为，
则有，
同理可得，，其中，，，
则，
则
，
由，，故，则，
则，又，故，
故，则，
故，
即有，即，
由知，，且，，，
当为定值时，可该，其中，
则
化简上式可得，
即，
即，
由知，，又，则，
故要使最大，需取最大，即需取最大，
则当且仅当时，最大；
同理可得当为定值时，当且仅当时，最大，
当为定值时，当且仅当时，最大，
综上所述，当且仅当时，取最大，
此时有，即，
即．
20.证明：对任意，，
，
，
，得
将代入，可得
即
又，故，
因此，所以是等比数列．
由可得，
于是，对任意且，有
，
，
，
．
将以上各式相加，得，
即，
此式当时也成立．由可得：，
得．
从而，．
所以，对任意，，
，
对于，不等式显然成立．
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