2024-2025学年北京市延庆一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市延庆一中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且与方向相反，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D. 或
4.已知，且角，的终边关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.在中，，则“”是“的面积为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于点对称
9.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若是线段上的点不含端点，设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.向量满足与的夹角为，则 ______．
12.在中，点，满足，若，则 ______．
13.已知是任意角，且满足，则常数的一个取值为 ．
14.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为______．
15.如图，在棱长为的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
；
面积的最小值是；
只存在唯一的点，使平面；
当时，平面平面D.
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点．
求直线与直线所成角的大小；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数
求的最小正周期及上的最值；
若函数在单调递增，求的取值范围．
18.本小题分
在中，且为锐角求：
求的大小；
求的面积．
19.本小题分
如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
求平面与平面所成的角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.本小题分
如图，三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，点为棱上动点不与，重合，平面与棱交于点．
求证：；
若，从条件、条件、条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件：
条件：二面角为直二面角
条件：．
21.本小题分
定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为．
写出函数的“伴随向量”为，并求；
已知的“伴随函数”为的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为．
若，求的取值范围；
求证：向量的充要条件是．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.解：因为底面是正方形，平面，
则以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系．

则，，，，，，
设直线与直线所成的角为，
因为，，
，
所以直线与直线所成角为；
因为，，，，
所以，
，
则为平面的一个法向量，
设点到平面的距离为，所以，
所以点到平面的距离为．
17.解：根据题意，，
的最小正周期；
，，
即，
函数在区间上的最大值为，最小值为；
由函数在单调递增，
令，得．
故实数的取值范围为．
18.解：因为，所以为锐角，
所以，由可得，
可得；
由正弦定理，
而，，
可得，
所以，
因为为锐角，所以，
所以存在且唯一确定，
因为，
所以，
所以．
从而．
19.解：，是的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，，
是正三角形，、、两两垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，
轴与平面垂直，是平面的一个法向量，
则，
由图可知，平面与平面所成的角为锐角，
平面与平面所成的角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，
，，
设，，
则，
直线与平面所成的角为，
，
由，解得，
在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且．
20.证明：在三棱柱中，，
又面，面，
平面，
又面面，面，
．
解：若，取中点，连接，，由题意易知，，
又二面角为直二面角，即面面，
面面，平面，面，
而平面，
，平面，
故A，
由，则，
故可以以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
，
设面的一个法向量为，
则，即，
令，故，
设直线与面所成角为，
则，
直线与面所成角的正弦值为；
若选，连接，取中点，连接，，
在菱形中，，
为等边三角形．
又为中点，，
二面角为直二面角，即面面，
面面，平面，
平面，
平面，
故A，
又，．
故可以以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，
设面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，故，
设直线与面所成角为，
则，
直线与面所成角的正弦值为；
若选，取中点，连接，，
由题意易知，，
又在菱形中，，为等边三角形．
又为中点，，则，
而，
故可以以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，
设面的一个法向量为，
则，即，
令，故，
设直线与面所成角为，
则，
直线与面所成角的正弦值为．
21.解：由题可知
，
故，
所以；
设，
由题可知，，
所以
，其中，
故；
证明：先判断必要性，由题可知，，
设，
则
，
故，
所以；
再判断充分性，由，
可设，
故，
故，
因为，，
所以，
所以有，
即，所以，
因为，得，
综上，可得向量的充要条件是．
第1页，共1页