2024-2025学年广东省茂名市化州一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省茂名市化州一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设向量，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.国家射击运动员甲在某次训练中的次射击成绩单位：环为，，，，，其中为整数，若这次射击成绩的第百分位数为，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象恒过定点，若点在直线上，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.牛顿冷却定律是牛顿在年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度单位：满足：已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？参考数据：，，( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若和图象存在个交点，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，给出下列四个选项，正确的有( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在区间上是减函数
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到
10.若三条直线：，：，：可以围成一个三角形，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
11.在正方体中，点满足，其中，，则( )
A. 当时，平面
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的面积为定值
D. 当时，直线与所成角的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过，两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______．
13.若二次函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是______．
14.若复数在复平面内对应的点位于直线上，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
估计这名同学体能成绩分数的平均分和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为和，第四组同学成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．
16.本小题分
直线的方程为．
证明直线过定点；
已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的两条中线，相交于点．
求；
若，，，求的面积．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，是的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
求的单调增区间只需写出结果即可；
求不等式的解集；
若方程在区间内有个不等实根，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意可知：，
解得：，
则每组的频率依次为：，，，，，
所以平均数为，
因为，，
设第百分位数为，则，
则，解得：，
故第百分位数为；
设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为，，，
且两组频率之比为，
所以第二组和第四组所有同学成绩的平均数，
则第二组和第四组所有同学成绩的方差为：
，
故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是．
16.解：直线的方程变形为，
由，得到，，
又，时，恒成立，故直线恒过定点；
由，
令，得到，令，得到，
故，
所以，
令，得到，
当且仅当，即时取等号，此时，
直线的方程为，
又，，，
当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为．
17.解：因为，
由正弦定理得，
整理可得，
由余弦定理得，
而，
所以；
因为，边上的两条中线，相交于点，则点是三角形的重心，
则，，
因为，，，，
所以在中，由余弦定理，
所以，又，，则，
所以，
所以的面积为．
18.解：证明：如图，连接，连接，
在三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，
又是的中点，所以，又平面，平面，
所以平面；
因为侧面，均为正方形，所以，．
又，平面，，
所以平面，
故以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系，
因为，侧面，均为正方形，所以，
又，，，
所以．
设平面的法向量为，
则，取，
又，
设平面的法向量，
则，取．
设二面角的大小为，由图知为锐角，
所以．
所以二面角的余弦值为．
19.解：由，得，解得，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
的单调增区间为；
的定义域关于原点对称，
且，
为偶函数，
由得，，
解得；
设，当时，，，即，
则方程有个不等实根，
可化为方程有两个不相等的实数根，，其中，，
，即，解得，
，
当，即时有最小值，最小值为．
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