2024-2025学年江苏省苏州市常熟中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市常熟中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点，，且倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上不含端点则斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的已知，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.过定点的直线与过定点的直线交于点与、不重合，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：，：以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.已知数列的通项公式是，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列这样得到新数列：，，，，，，，，，，记数列的前项和为，有下列选项中，判断正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公比为的等比数列，若，则的值为______．
13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______．
14.数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设公比为正的等比数列前项和为，，且，，成等差数列．
求的通项；
若数列满足，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
17.本小题分
已知中，顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高所在直线的方程是．
求点关于直线的对称点的坐标；
求顶点、的坐标；
过作直线，使，两点到的距离相等，求直线的方程．
18.本小题分
如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．
求直线的斜率的取值范围；
若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；
如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值．
19.本小题分
已知数列满足，且．
设，证明：是等比数列；
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为等比数列公比，，
所以，即，
由，，是等差数列，所以，
所以．
因为，所以，
所以，故，
累加法得出，
，
．
16.解：因为，
所以当时，，
又，所以．
当时，，
式减去式，得，
所以．
又，，
所以对，都有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
依题设得，
所以，所以．
所以，
所以，
上面两式相减可得
，
所以．
17.解：设关于的对称点，则，
解得，即点关于直线的对称点的坐标为；
由题知，则，所以直线的方程为，
联立，解得，即；
设，代入：，
则中点代入直线，
得，解得，即；
由题意知过的直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由题意，得，
整理得，解得或，
所以直线的方程为或．
18.依题意，得的方程为，即，
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
联立，得，
所以，解得．
所以的取值范围为
若，可得，解得，
所以直线的方程为，
整理得．
在中，由知，
，
设，
则，
因为，
因为在是单调递增，
所以当时，，
即当，即时，，
当时，，
即当，即时，，
所以时 ；时 ．
19.证明：由，且，
可得，
又，
所以，
又，所以，所以，
又，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
解：由等比数列的通项公式，可得，
即为，又，
可得；
由，可得；
综上，可得；
解：由可知，则，
所以，易知，
又，
有，
又由，有，得，
所以，所以满足题意的的最小值是．
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