2024-2025学年广东省广州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从分别写有，，，，，的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点( )
A. B. C. D.
5.已知事件、，且，，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则，分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，且，则的取值范围( )
A. B.
C. D.
8.直线：与直线：相交于点，对任意实数，直线，分别恒过定点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某社团开展“建党周年主题活动学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率
10.已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有个交点，则
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B. 点到平面的距离为
C. 四面体的体积为
D. 若线段的中点为，则一定平行于平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为______．
13.若直线：与直线：平行，则直线与的距离为______．
14.已知点在直线上，点，，则的最小值为______，此时点坐标为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分现从中随机选出名学生的成绩满分为分，按分数分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并求这名学生成绩的中位数保留一位小数；
若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于分的学生中随机抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的概率．
16.本小题分
如图所示，平行六面体中，，，．
用向量表示向量，并求；
求．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的正切值．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别是．
求角；
若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长．
参考答案
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15.解：根据题意可得，解得；
前组的频率和为，前组的频率和为，
中位数落在，
估计这名学生成绩的中位数为分；
在与内的学生的频率之比为：：，
抽取的名学生在内有人，在有人，
从这名学生中随机抽取名学生共有个结果，
而抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的情况共有个结果，
故所求概率为．
16.解：，
因为，，，
所以，，
所以，
所以．
由知，，，
而，，
所以，
所以．
17.证明：在三棱柱中，因为底面，
所以三棱柱是直三棱柱，故四边形是矩形，
又因为点是的中点，连接，则点是的中点，
连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：因为平面平面交于，平面，
所以平面，又平面，
所以，
过在平面内，作交于点，连接，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
又因为，所以，
故平面平面，
由可知，四边形是矩形，
取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
又因为，，是的中点，
所以在矩形内，利用等面积法可得，
，
又，
因此，
在中，，
因此二面角的平面角的正切值为．
18.解：由正弦定理得，化简得，
结合余弦定理得，而，所以．
设的外接圆半径为，则外接圆面积，解得．
根据正弦定理得．
由，得，
所以，，，
可得
．
因为为锐角三角形，所以，解得
因为，可得，
所以．
综上所述，的周长的取值范围为．
19.证明：因为，
所以，四边形为矩形，
在中，，，，
则
，
，
且平面平面，平面，
平面平面，
平面；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得．
设平面的法向量为，，
由，得，
．
二面角是钝角，
二面角的正弦值为．
设，
则
，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，
．
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