2024-2025学年江西省宜春中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江西省宜春中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线：的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：和：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.如图，四面体中，点是的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
6.在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，动圆经过原点，且圆心在直线上当直线的斜率取最大值时，( )
A. B. C. D.
8.已知直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 直线过点，倾斜角为，则其方程为
C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D. 直线在轴上截距为
10.已知集合，，则下列结论不正确的是( )
A. 存在，使得 B. 当时，
C. 当时， D. 对任意的，都有
11.如图，已知正方体的棱长为，为底面内包括边界的动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 若，则的轨迹长度为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两平行直线与之间的距离为______．
13.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
14.已知圆：，为直线：上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，的中点为，若点的坐标为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，且满足，垂足为．
求的值及点的坐标．
设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
17.本小题分
如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，．
证明：平面；
在线段不含端点上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
18.本小题分
如图，矩形中，，，为边上的一点现将沿着折起，使点到达点的位置．
如图，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
如图，设点在平面内的射影落在线段上．
求证：平面；
当时，求直线与平面所成的角的余弦值．
19.本小题分
已知定点，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点．
过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值；
设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：显然，可得，，
由，
可得，
即，
解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，
解得，
所以点．
由直线：，直线：，
可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，
所以的外接圆方程是．
16.解：由及正弦定理，
可得，
又，
则有，
又，，所以，
即，又，
所以，即；
由为的平分线，可得，
由，
可得，
整理得，即，
由余弦定理，可得，
即，
由可得：，解得或舍去，
故．
17.解：证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
，，
又，，则，
又，，则，即，
又，则，，，平面，
平面；
由知，平面，，
以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设点，，，
，
，故E，
，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
为平面的一个法向量，
又，设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
为平面的一个法向量，
，
解得或，
则线段不含端点上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
18.证明：取的中点，连接，，
因为为边的中点，点为线段的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：由点在平面内的射影落在线段上，知平面，
因为平面，
所以，
由矩形知，，
又，、平面，
所以平面．
解：因为平面，
所以即为直线与平面所成的角，
因为，
所以在中，，
在中，，
在中，，
所以，
故直线与平面所成的角的余弦值为．
19.解：设动点的坐标为，
，，且，
，
整理得，即
动点的轨迹的方程为
直线不与轴重合，设直线的方程为，即，
则直线为，设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，，
则，
，
，
，
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上，四边形面积的最大值为．
设，，
联立，得，
则，
曲线与轴交于，两点，，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程得，
在定直线上．

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