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课题：6.1.1 算术平方根
教学目标：
1.理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；
2.会用计算器求算术平方根；会估算一些数的算术平方根了解无限不循环小数的特点；
3.会用算术平方根的知识解决实际问题。
重点：
算术平方根的概念和求法,会估算一些数的算术平方根.
难点：
算术平方根的求法,认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根.
教学流程：
一、情境引入
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
追问：你是怎么算出来的？
解：∵52＝25 ∴正方形画框的边长为5dm.
二、探究1
填表：
正方形的面积(dm2) 1 9 16 36
正方形的面积(dm)
答案：1，3，4，6，
追问1：你能指出它们的共同特点吗？
答案：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a ，即x2＝a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
a的算术平方根记为 ，
读作: “根号a ”,
a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0
追问2：与x有什么关系呢？
归纳：＝x(x≥0)
举例：
∵52＝25
∴25的算术平方根是5
∵25的算术平方根记为
∴＝5
三、应用提高1
例1：求下列各数的算术平方根：
(1)100；(2) ；(3)0.000 1．
解：(1)因为102＝100，
所以100的算术平方根是10．
即 ．
(2)因为，
所以的算术平方根是．
即 ．
(3)因为0.012＝0.000 1，
所以0.000 1的算术平方根是0.01．
即．
追问1：被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？
归纳：被开数越大，对应的算术平方根也越大
追问2：负数有算术平方根吗？
归纳：负数没有算术平方根.
即：被开方数是非负数
(a≥0)
例2：下列各式有意义吗？为什么.
解:(1) 无意义，负数没有算术平方根；
(2) 有意义，表示5的算术平方根的相反数；
(3) 有意义，表示 (－5)2 的算术平方根.(或表示25的算术平方根)
练习1：
下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
解:(1)表示49的算术平方根，
(2)表示112的算术平方根，
(3) 表示的算术平方根，
(4) 表示0的算术平方根，
四、探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？拼成的这个大正方形的面积是2dm2，它的边长是多少呢？21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
解: 设大正方形的边长为x dm，则 x2＝2，
由算术平方根的定义可知，
．
∴大正方形的边长为dm．
追问1：有多大呢？
∵12＝1, 22＝4
∴1＜＜2
∵1.42＝1.96, 1.52＝2.25
∴1.4＜＜1.5
……
追问2：是无限不循环小数，你以前见过这种数吗？
想一想：介于哪两个整数之间？
答：介于1与2这两个整数之间.
练习2：
1.说一说介于哪两个整数之间？
答：介于2与3这两个整数之间；
介于3与4这两个整数之间；
介于6与7这两个整数之间.
2.比较大小：
(1)3 _____；(2)12 _____；(3)_____0.5
答案：＜，＞，＞
五、探究3
例3：用计算器求下列各式的值：(1) ；(2) (精确到0.001)．
解：(1) 依次按键、3136、，
显示：56．
∴．
(2) 依次按键、2、，
显示：1.414213562．
∴．
问题：利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
答案：0.25，0.791，2.5，7.91，25，79.1，250
规律：被开方数的小数点向右(或向左)移动2位，其算术平方根的小数点向右(或向左)移动1位.
六、应用提高2
问题：你能用计算器计算(精确到0.001)吗？并利用刚才的得到规律说出，，的近似值．
答案：，，，
想一想：你能否根据的值说出是多少？
答：不能
例4：小丽想用一块面积为400 cm2为 ( http: / / www.21cnjy.com )的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？21世纪教育网版权所有
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，
则有：3x 2x＝300 ，
6x2＝300 ，
x2＝50，
，
故长方形纸片的长为cm，宽为cm．
追问：小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
∵50＞49，
∴＞3×7＝21，
∵原正方形的边长为：，而21＞20
∴＞20，
∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是算术平方根？如何求一个正数的算术平方根？
2. 什么数才有算术平方根？
3.如何估算算术平方根的大小．
八、达标测评
1. 0.25的算术平方根是 ； 是9的算术平方根；0 的算术平方根是 .
答案：0.5，3，0
2.若4a＋1的算术平方根是5，则a2的算术平方根是______.
答案：6
3.的算术平方根等于______
答案：3
4.估计的大小在( )
A. 5～6之间 B. 6～7之间 C. 7～8之间 D. 8～9之间
答案：C
5.利用规律填空：
已知则
答案：0.4472
6.一个长方形的长为5cm，宽为3cm，一个与它面积相等的正方形的边长是_______cm.
答案：
7.已知: (x－2)2＋| y－3 | ＋＝0，求2x－3y＋z的值？
解：∵ (x－2)2＋| y－3 |＋＝0
∴ (x－2)2＝0，| y－3 | ＝0，
∴ x＝2，y＝3，z＝4
∴ 2x－3y＋z＝4－9＋4＝－1
九、布置作业
教材30页习题6.1第1、2、6题．
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
6.1.1 算术平方根
学校：________
教师：________
情境引入
你是怎么算出来的？
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
解：
∵52=25
∴正方形画框的边长为5dm.
5dm
25 dm2
探究1
填表：
正方形的面积
（dm2） 1 9 16 36
正方形的边长
（dm）
1
3
4
6
你能指出它们的共同特点吗？
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
探究1
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a ，即x2＝a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
a的算术平方根记为 ，
读作: “根号a ”,
a叫做被开方数．
5dm
25 dm2
a
x
x2＝a
规定：0的算术平方根是0
与x有什么关系呢？
探究1
a的算术平方根记为 ，
a的算术平方根是正数x
＝ x
0的算术平方根是0
（x≥0）
∵52＝25
∴25的算术平方根是5
∵25的算术平方根记为
∴ ＝5
应用提高
＝ x
（x≥0）
例1：求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
解：（1）因为102＝100，
所以100的算术平方根是10．
即 ．
＝ x
（x≥0）
例1：求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
解：（2）因为 ，
所以 的算术平方根是 ．
即 ．
应用提高
＝ x
（x≥0）
例1：求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
解：（3）因为0.012＝0.000 1，
所以0.000 1的算术平方根是0.01．
即 ．
应用提高
＝ x
（x≥0）
例1：求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
被开数越大，
对应的算术平方根也越大
被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？
负数有算术平方根吗？
负数没有算术平方根
即：被开方数是非负数
（a≥0）
应用提高
例2：下列各式有意义吗？为什么.
解:(1) 无意义，负数没有算术平方根；
(2) 有意义，表示5的算术平方根的相反数；
(3) 有意义，表示 (-5)2 的算术平方根.
25
应用提高
练习1
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
解:(1) 表示49的算术平方根，
(2) 表示112的算术平方根，
(3) 表示 的算术平方根，
(4) 表示0的算术平方根，
探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
拼成的这个大正方形的面积是2dm2，它的边长是多少呢？
解: 设大正方形的边长为x dm，则 x2＝2，
由算术平方根的定义可知，
．
∴大正方形的边长为 dm．
∵12＝1, 22＝4
∴1＜ ＜2
探究2
有多大呢？
∵1.42＝1.96, 1.52＝2.25
∴1.4＜ ＜1.5
……
是无限不循环小数，你以前见过这种数吗？
有多大呢？
想一想： 介于哪两个整数之间？
答： 介于1与2这两个整数之间.
练习2
1.说一说 介于哪两个整数之间？
答： 介于2与3这两个整数之间.
介于3与4这两个整数之间.
介于6与7这两个整数之间.
2.比较大小：
（1）3 _____ （2）12 _____
（3） _____0.5
＜
＞
＞
探究3
例3：用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) （精确到0.001）．
解：(1) 依次按键 、3136、 ，
显示：56．
∴ ．
(2) 依次按键 、2、 ，
显示：1.414213562．
∴ ．
探究3
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
0.25
2.5
25
250
0.791
7.91
79.1
规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位.
应用提高
你能用计算器计算 （精确到0.001）吗？并利用刚才的得到规律说出 ， ， 的近似值．
想一想： 你能否根据 的值说出 是多少？
解：
答：不能
应用提高
例4：小丽想用一块面积为400 cm2为
的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面
积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之
比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．
小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，
则有：3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50 ，
， 故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
应用提高
例4：小丽想用一块面积为400 cm2为
的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面
积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之
比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．
小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
∵50＞49，
∴ ＞3×7＝21，
∵原正方形的边长为： ，而21 ＞20
∴ ＞20，
∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是算术平方根？
如何求一个正数的算术平方根？
2. 什么数才有算术平方根？
3.如何估算算术平方根的大小．
体验收获
达标测评
1. 0.25的算术平方根是 ； 是9的算术平方根；0 的算术平方根是 .
0.5
3
0
2.若4a+1的算术平方根是5，则a 的算术平方根是______.
6
3. 的算术平方根等于______
3
9
9
达标测评
4. 估计 的大小在（ ）
A. 5～6之间 B. 6～7之间
C. 7～8之间 D. 8～9之间
C
5. 利用规律填空：
已知 则
0.4472
6. 一个长方形的长为5cm，宽为3cm，一个与它面积相等的正方形的边长是_______cm.
达标测评
7.已知: (x－2)2＋| y－3 | ＋ ＝0，
求2x－3y ＋z的值？
解：∵ (x－2)2＋| y－3 | ＋ ＝0
∴ (x－2)2＝0，| y－3 | ＝0，
∴ x＝2，y＝3，z＝4
∴ 2x－3y ＋ z＝4－9 ＋4＝－1
布置作业
教材47页习题6.1第1、2、6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
6.1.1 算术平方根
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题(每小题6分，共30分)
1.0.49的算术平方根的相反数是( )
A.0.7 B. －0.7 C.±0.7 D. 0
2.若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是( )
A. 1 B. 0 C. －1 D. 0或1
3.已知，则0.005403的算术平方根是( )
A.0.735 B.0.0735 C.0.00735 D.0.000735
4.的算术平方根是( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
5.设＝a，则下列结论正确的是( )
A.4.5＜a＜5.0 B.5.0＜a＜5.5
C.5.5＜a＜6.0 D.6.0＜a＜6.5
二、填空题(每小题6分，共30分)
6. 9的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，的算术平方根是 .21世纪教育网版权所有
7.比较大小：
8.一个自然数的算术平方根为a,则比它大4的自然数的算术平方根为 .
9.已知＝14，则＝ .
10.已知：，那么a＋b的值为 .
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求代数式a2﹣a﹣b的值.
12.探索与应用.先填写下表，通过观察后再回答问题：
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(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
规律：
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
①已知≈3.16，则≈ ；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝ .
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )
4.C
【解析】根据算术平方根的定义解答即可.
∵
∴4的算术平方根是2.
故选C.
5.B
【解析】可根据估算来确定一个正数的算术平方根的大小
解：∵
∴
故选B.
6.3，4，
【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.
9的算术平方根是3，算术平方根是4，算术平方根是.
7.＞
【解析】先把两个数分别平方，再根据两个负数的比较方法比较即可.
∵，
∴.
8.
【解析】一个数的算式平方根为a，则这个数为，则比他大4的自然数为＋4
9.4
【解析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求得x的值，再根据负数没有平方根可确定最终结果.21教育网
解：∵，
∴，
或，
∵中，
∴舍去，
∴
10.－3
【解析】解：∵，
∴a﹣2＝0，b＋5＝0，
∴a＝2，b＝﹣5；
因此a＋b＝2﹣5＝﹣3.
故结果为：﹣3
三、解答题
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