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课题：6.2 立方根
教学目标：
了解立方根和开立方的概念；掌握立方根的性质；会求一个数的立方根．
重点：
立方根的运算
难点：
立方根的概念及其运算
教学流程：
一、知识回顾
问题1：什么叫做平方根？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根21世纪教育网版权所有
a的平方根记作：_______
9的平方根记作：_______
144的平方根记作：_______
答案：，，
追问：怎么求一个数的平方根？
填空：
（1）2的平方根是________;
（2）0的平方根是________;
（3）－16的平方根是____________.
答案：，0，没有平方根
问题2：平方根具有什么性质呢？
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
二、探究1
问题：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？
追问1：你还记得正方体的体积与棱长有什么关系吗？
答案：V＝a3
追问2：谁的立方等于27呢？
解：设这种包装箱的棱长为xm，则
x3＝27
∵ 33＝27
∴ x＝3
定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）.即：x3＝a，那么x叫做a的立方根21教育网
∵ 33＝27
∴____是27的立方根
答案：3
练习1：求下列各数的立方根：
解：（1）∵(－3)3＝－27
∴ －27的立方根是－3
（2）∵()3＝
∴ 的立方根是
（3）∵(－4)3＝－64
∴ －64的立方根是－4
填空：
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：1，－8，27，－27，1，－2，3，－3
定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
追问：左右两图中的运算有什么关系？
( http: / / www.21cnjy.com )
想一想：到现在我们学了哪些运算
答案：加、减、乘、除、乘方、开方.
三、探究2
根据立方根的意义填空.
∵（ 2 ）3 ＝8， ∴ 8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝0.064 , ∴ 0.064的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ 0， ∴ 0的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝－8 ， ∴ －8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ ，∴的立方根是（ ）．
答案：2，0.4，0.4，0，0，－2，－2，，
追问：你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
立方根的性质：
（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0.
一个数a的立方根，记作：
读作：“三次根号a”，
被开方数：a；根指数：3；根指数3，不能省略！
8的立方根，表示为：_____；表示_____的立方根
答案：，－8
强调： 的根指数是2，根指数2，可以省略！
思考：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
被开方数 平方根 立方根
正数 有两个互为相反数 有一个,是正数
负数 无平方根 有一个,是负数
零 零 零
练习2：判断下列说法是否正确, 并说明理由.
(1)的立方根是（ ）
(2) 25的平方根是5 （ ）
(3)－64没有立方根（ ）
(4)－4的平方根是±2（ ）
(5) 0的平方根和立方根都是0 （ ）
答案：×，×，×，×，√
追问1：立方根是它本身的数有那些
答案：0，±1
追问2：算术平方根是它本身的数有那些
答案：0，1
四、探究3
填空，你能发现其中的规律吗？
因为＝______，＝______ ，
所以______
因为＝______，＝______ ，
所以______
答案：－2，－2，＝，－3，－3，＝
规律：一般地， .
例：求下列各式的值 ：
解：；；
练习3：求下列各式的值 ：
解：；；
五、探究4
问题1：用计算器求下列各式的值：
(1)；(2)（精确到0.001）．
解：(1) 依次按键、8 、，
显示：2．
∴．
(2) 依次按键、1845、，
显示：12.264 940 81．
∴．
强调：有些计算器要用到第二功能键来求一个数的立方根.
答案：如第（1）问中，按键顺序为：、、8 、
问题2：利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
…… ……
…… ……
答案：0.06，0.6，6，60，
规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位.
问题3：你能用计算器计算（精确到0.001）吗？并利用刚才的得到规律说出，，的近似值．
解：，，，
想一想： 你能否根据的值说出是多少？
答：不能
六、应用提高
1. 你能比较3，4，的大小吗？
解：∵33＝27，
∴
∵ 43＝64 ，
∴
∵
∴
强调：被开方数越大，对应的立方根也越大.
2. 求下列各式中的 x：
（1）9x3＋72＝0； （2）2(x－1)3＝54.
解： (1) 9x3＋72＝0
9x3＝－72
x3＝－8
∵(－2)3＝－8
∴x＝－2
(2) 2(x－1)3＝54
(x－1)3＝27
∵33＝27
∴x－1＝3
x＝4
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是立方根？
2.如何求一个数的立方根？
3.立方根有什么性质？
八、达标测评
1. 8的立方根是（ ）
A.2 B.±2 C.4 D. ±4
答案：A
2.的绝对值是（ ）
A.－27 B. 27 C.－3 D. 3
答案：D
3. 1的平方根是_______；1立方根是_______.
答案：1；±1
4.
答案：－2
5. 现在要做一个体积为64cm3的立方体魔方，它的棱长要取多长？
解：设魔方的棱长为xcm, 则
x3＝64
x＝4
答：这个魔方的棱长为4cm.
6. 比较下列各组数的大小.
（1）与2.5； （2）与.
解： （1）∵9 ＜ 2.53，
∴＜2.5
（2）∵ 4＞，
∴＞
九、布置作业
教材52页习题6.2第3、5题．
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
6.2 立方根
学校：________
教师：________
知识回顾
1.什么叫做平方根？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）.
即：x2＝a，那么x叫做a的平方根
a的平方根记作:_______
144的平方根记作:_______
9的平方根记作:_______
怎么求一个数的平方根？
知识回顾
填空：
（1）2的平方根是________;
（2）0的平方根是________;
（3）－16的平方根是____________.
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
0
没有平方根
平方根具有什么性质呢？
探究1
要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？
解:设这种包装箱的棱长为xｍ，则
x3＝27
∵ 33＝27 ∴ x＝3
答：这种包装箱的棱长为3ｍ.
你还记得正方体的体积与棱长有什么关系吗？
V＝a3
谁的立方等于27呢？
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）.
即：x3＝a，那么x叫做a的立方根
∵ 33＝27
∴____是27的立方根
3
练习1
求下列各数的立方根：
解：（1）∵(－3)3＝－27
∴ －27的立方根是－3
（2）∵( )3＝
∴ 的立方根是
（3）∵(－4)3＝－64
∴ －64的立方根是－4
探究1
填空：
求立方
求立方根
左右两图中的运算有什么关系？
立方
开立方
互逆 运算
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
想一想：到现在我们学了哪些运算
加、减、乘、除、乘方、开平方、开立方.
开方
探究2
根据立方根的意义填空.
你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
∵（ ）3 ＝8， ∴8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝0.064 , ∴ 0.064的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ 0， ∴ 0的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝－8 ， ∴ －8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ , ∴ 的立方根是（ ）．
2
2
0.4
0.4
0
0
－2
－2
探究2
立方根的性质
（1）正数的立方根是正数；
（2）负数的立方根是负数；
（3） 0的立方根是0.
一个数a的立方根，记作:
读作：“三次根号a”，
被开方数
根指数
根指数3，不能省略！
8的立方根，表示为:_____
表示_____的立方根
－8
根指数
？
2
根指数2，可以省略！
探究2
思考:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
被开方数 平方根 立方根
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
练习2
判断下列说法是否正确, 并说明理由.
(2) 25的平方根是5 （ ）
(3) －64没有立方根（ ）
(4) －4的平方根是±2（ ）
(5) 0的平方根和立方根都是0 （ ）
0，±1
(1)
的立方根是
（ ）
×
×
×
×
√
立方根是它本身的数有那些
算术平方根是它本身的数有那些
0，1
一般地， .
探究3
填空，你能发现其中的规律吗？
因为 ＝ ，
所以
因为
所以
－2
＝
＝
－2
－3
－3
应用
例：求下列各式的值 ：
解：
练习3
求下列各式的值 ：
解：
探究4
用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) （精确到0.001）．
解：(1) 依次按键 、 8 、 ，
显示：2．
∴ ．
(2) 依次按键 、1845、 ，
显示：12.264 940 81．
∴ ．
有些计算器要用到第二功能键来求一个数的立方根.
8
探究4
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位.
…
…
…
…
0.06
0.6
6
60
你能用计算器计算 （精确到0.001）吗？并利用刚才的得到规律说出 ， ， 的近似值．
想一想： 你能否根据 的值说出 是多少？
解：
答：不能
探究4
应用提高
1. 你能比较3，4， 的大小吗？
解:∵33＝27，
∴
∵ 43＝64 ，
∴
∵
∴
被开方数越大，对应的立方根也越大.
应用提高
2. 求下列各式中的 x：
（1）9x3＋72＝0； （2）2(x－1)3＝54.
解: (1) 9x3＋72＝0
9x3＝－72
x3＝－8
∵(－2)3＝－8
∴x＝－2
(2) 2(x－1)3＝54
(x－1)3＝27
∵33＝27
∴x－1＝3
x＝4
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是立方根？
2.如何求一个数的立方根？
3.立方根有什么性质？
体验收获
达标测评
1. 8的立方根是（ ）
A.2 B.±2 C.4 D. ±4
A
2. 的绝对值是（ ）
A.－27 B. 27 C.－3 D. 3
D
3. 1的平方根是_______；1立方根是_______.
1
±1
4.
－2
达标测评
5. 现在要做一个体积为64cm3的立方体魔方，它的棱长要取多长？
解：设魔方的棱长为xcm, 则
答：这个魔方的棱长为4cm.
x3＝64
x＝4
达标测评
6. 比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5； （2） 与 .
解: （1） ∵9 ＜ 2.53，
∴ ＜2.5
（2） ∵ 4＞ ，
∴ ＞
布置作业
教材52页习题6.2第3、5题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
6.2 立方根
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题(每小题6分，共30分)
1.－8的立方根是( )
A.2 B.－2 C. D.
2.下列说法中，正确的有( )
A.只有正数才有平方根 B.27的立方根是
C.立方根等于－1的数是－1 D.1的平方根是1
3.计算的结果是( )
A.± B. C.±3 D.3
4.一个自然数n的算术平方根为m，则n＋1的立方根是( )
A. B. C. D.
5.下列语句：①的算术平方根是4；②；③平方根等于本身的数是0和1 ；④，其中正确的有( )个21教育网
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.，则＝ .
7.若和都是5的立方根，则－＝ .
8.若一个数的平方根是，则这个数的立方根是__________ .
9.若，则＝ .
10.一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 .21cnjy.com
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.求下列各式中的x：
(1) (2)
12.(1)已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根.
(2)我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.21·cn·jy·com
①试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
②若与互为相反数，求的值.
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )
4.C
【解析】算术平方根的定义：如果一个正数x的 ( http: / / www.21cnjy.com )平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.正数的算术平方根和立方根都是一个正数；0的算术平方根和立方根都是0；负数没有算术平方根，负数有一个负的立方根.www.21-cn-jy.com
解：∵一个自然数n的算术平方根为m，
∴，
∴；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，
∴n＋1的立方根表示为＝.故选C.
5.A.
【解析】①的算术平方根是2，故说法错误；②，故说法错误；
③平方根等于本身的数是0，故说法错误；④，，故说法正确.故正确的有1个.故选A.
二、填空题
6.±2
【解析】由题意可知，
7.－5
【解析】5的立方根为，易知a－1＝5，2b＋1＝3.解得a＝6，b＝1，所以－＝－5.
8.4
【解析】先根据平方根是，可得这个数为64，即可求得立方根.
∵平方根是，
∴这个数为64，
∴这个数的立方根是4，
故答案为4.
9.122.8
【解析】根据已知条件结合立方根的定义解题即可.
解：∵1850000＝1.85×1000000，
故答案为：122.8.
10.6cm
【解析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.
解：根据题意得：
则这个正方体的棱长为6 cm.
三、解答题
11.(1) ；(2)
【解析】根据立方根的定义可以求解.
解：(1)
(2)
12. (1)；(2) 结论成立；－1
【解析】(1)根据平方根和 ( http: / / www.21cnjy.com )立方根得出2a－1＝9，3a＋b－1＝8，求出a、b的值即可；(2)选根据题意举出例子，再由上问验证的结果可知，若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.21世纪教育网版权所有
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