2024-2025学年山东省学情高一（上）诊断数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省学情高一（上）诊断数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. 或 B.
C. 或 D.
2.全称命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列各组函数中是同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则下列结论错误的是( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
6.已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，则( )
A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 无最小值
8.已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为( )
A. B. C. D.
10.若，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列说法不正确的是( )
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 若定义域为的函数值域为，则函数的值域为
C. 表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则函数为奇函数
D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为两个非空实数集合，，，定义集合中的元素是，其中，，则集合的真子集个数是______．
13.已知，且，则的最小值为______．
14.已知函数，，对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
二次函数满足，且．
求的解析式；
若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围．
17.本小题分
吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为万元每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于万盒时，；当产量大于万盒时，若每盒玩具手办售价元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．
求“冰墩墩”玩具手办销售利润万元关于产量万盒的函数关系式；
当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求实数和的值；
判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
若，求的取值范围．
19.本小题分
定义在上的函数，对任意，都有，且当时，．
求证：为奇函数；
求证：为上的增函数；
已知，解关于的不等式．
参考答案
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15.解：当时，，
由，解得，则，
所以．
由题意可得，
因为，，
则等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围是．
16.解：设二次函数，又，
所以，所以，
又因为
，
所以，解得，
所以；
由题意得在上恒成立，即在上恒成立，
令，即时，只需要，
函数开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
17.解：当产量小于或等于万盒时，
，
当产量大于万盒时，，
故销售利润万元关于产量万盒的函数关系式为．
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
故当时，取得最大值．
当时，，
故当时，取得最大值．
因为，所以当产量为万盒时，该企业在生产中所获利润最大．
18.解：由函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，．
在上是增函数．
证明：由可知，设，
则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以函数在上是增函数证毕．
由函数是定义在上的奇函数且，
得，
所以，解得，
所以的取值范围是，即．
19.解：证明：根据题意，对任意，都有，
令，则，
解得，
对任意，令，则，
于是，所以为上的奇函数．
证明：任意，，，则，则有，
，
所以为上的增函数．
由及，得，
不等式，
则，因此，
整理得，
当时，不等式为，解得，原不等式的解集为；
当时，不等式为，解得或，原不等式的解集为；
当时，不等式为，
若，则不等式无解，原不等式的解集为；
若，解得，原不等式的解集为；
若，解得，原不等式的解集为．
综合可得：
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
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