2024-2025学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）第二次培优数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）第二次培优
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与垂直，则实数的值是( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.已知、，则以为直径的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，直线：与：的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.，分别为直线与上任意一点，则最小值为( )
A. B. C. D.
7.直线：与直线：相交于点，对任意实数，直线，分别恒过定点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 已知向量，，若，则为钝角
B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是
C. 若直线经过第三象限，则，
D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
10.下述四个结论，正确的是( )
A. 过点在轴，轴上截距都相等的直线方程为
B. 直线与圆相交的充分不必要条件是
C. 直线表示过点的所有直线
D. 过点与圆相切的直线方程为
11.已知点和，是直线：上的动点，则( )
A. 存在，使最小
B. 存在，使最小
C. 存在，使最大
D. 存在，使最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、满足，则的最大值为______．
13.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为______．
14.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在轴上，并且过原点和．
求圆的方程；
若线段的端点，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
16.本小题分
已知直线过定点
若到直线的距离为，求直线的方程；
若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程．
17.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求直线的方程；
求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
19.本小题分
已知点，圆：直线与圆相交于、两点，．
若直线过点，求直线的方程；
若线段的中点为，求点的轨迹方程；
过点作直线与曲线交于两点、，设，、的斜率分别为、，求证：为定值．
参考答案
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15.解：先设圆方程：，
根据题干已知，解得，
所以圆方程为．
设点，，
因为，
所以．
解得，，
又因为点在圆上，因此，
所以点的轨迹方程为．
16.解：当直线斜率存在时，设直线方程为即，
点到直线的距离为，解得．
此时直线的方程为即．
当直线斜率不存在时，
由过得：，满足到的距离为．
综上所述，所求的直线方程为或．
若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，
则设直线为，，则，
，当且仅当时取等号，
故面积的最小值为，此时直线的方程为．
17.解：由题意可得，
因为所在直线的方程为，设直线的方程为：，
将点代入直线的方程：，可得，
所以直线的方程为；
设，则的中点，
联立，解得，，
即，
联立，解得，，
即，
所以，
到直线的距离，
所以．
18.解：证明：如图所示，连接，交于点，连接．
底面是正方形，点是的中点．
在中，是中位线，．
而平面且平面，
平面；
证明：底面，且平面，．
，是等腰直角三角形．
又是斜边的中线，
由底面，得．
底面是正方形，．
又，平面．
又平面，
由和推得平面．
而平面，．
又，且，平面；
由知，，故是二面角的平面角．
由知，，．
设正方形的边长为，则，，，
，，
在中，．
在中，，．
故平面与平面的夹角的大小为．
19.解：圆：的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，即直线：，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
直线的方程为；
综上，直线的方程为或．
若线段的中点为，可得，即，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
点的轨迹方程：；
证明：由可知：直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，点、，
联立方程，消去可得，
则，解得，
则，，
则
．
为定值．
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